第10课时：函数的奇偶性

课题：函数的奇偶性

考纲要求：

会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.

教材复习

奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对函数f(x)的定义域内 x都有 ，那么称函数f(x)是偶函数 如果对函数f(x)的定义域内 x都有 ，那么称函数f(x)是奇函数 图像特点 关于 对称. 关于 对称. 基本知识方法 1.奇偶函数的性质：

1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； 2f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称； f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称；

3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的

单调性.

2.f(x)为偶函数f(x)f(x)f(|x|)． 3.若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)0．

4.判断函数的奇偶性的方法：

1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否定义域上的恒等式； 2图象法；

3性质法：①设

DD1f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域

D2上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；

f(x)1． f(x)②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；

5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)f(x)0，

典例分析：

题型一：判断或证明函数的奇偶性

问题1．判断下列各函数的奇偶性：

1xlg(1x2)； 2 f(x)； 1 f(x)(x1)1x|x2|2

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3

f(x)lg(1x2x)； 4

2(x0)xx f(x)2(x0)xx

题型二：函数的奇偶性的应用

问题2．1(04上海)设奇函数f(x)的定义域为5,5若当x0,5时，

f(x)的图象如右图，则不等式f(x)0的解是 y

yf(x)   O 2 5  x 2（2013哈九中模拟）奇函数f(x)在0,上的解析式是f(x)x1x， 则在,0上，函数的解析式是

A.f(x)x1x B.f(x)x1x C.f(x)x1x D.f(x)xx1

3（2011广东）设函数f(x)x3cosx1．若f(a)11，则f(a)

问题3．1设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若

f(1m)f(m)，求实数m的取值范围

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2（2013江苏）已知f(x)是定义在R上是奇函数，当x0时，f(x)x24x，

则不等式f(x)x的解集用区间表示为

3(06黄岗中学月考)已知函数f(x)xlog2f(

111x)f() ，求f(200520041x11)f()的值. 20042005题型三：抽象函数的奇偶性的证明

问题5．1已知函数f(x)满足：f(xy)f(xy)2f(x)f(y)对任意的实数x、y总成立，且f(1)f(2).求证：f(x)为偶函数.

2定义在R上的增函数yf(x)对任意的x,yR，都有f(xy)f(x)f(y).

①求证：f(x)为奇函数；②若f(k2)f(242)0对任意xR恒成立，求实数

xxxk的取值范围.

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课后作业：

1.已知函数f(x)ax2bxc,x2a3,1是偶函数,则ab

2.已知f(x)

1m为奇函数，则f(1)的值为 x213.已知f(x)ax7bx5cx3dx5，其中a,b,c,d为常数，若f(7)7， 则f(7)_______

4.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于

A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.以上均不对

5.函数F(x)(12)f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x) 2x1A.是奇函数 B.是偶函数

C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数

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6.判断下列函数的奇偶性：

1f(x)x21x21； 2f(x)

122xx2；

3

f(x)11x4f(x)log313x； ； x21225

f(x)loga1x（其中a0，a1） 1x 7.（03南昌模拟）给出下列函数①yxcosx②ysin2x③yx2x④yexex，其中是奇函数的是（ ） A.①② B.①④ C.②④ D.③④

8.已知函数yf(x)在R是奇函数，且当x≥0时，f(x)x22x，则x0时， f(x)的解析式为_______________

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9.（06上海春）已知函数f(x)是定义在,上的偶函数.当x,0时，

f(x)xx4，则当x0,时，f(x)

1110.已知f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)，那么f()的值为

233 B. 3 C. 3 D. 9 A. 3

x2x,x011.（2012郑州二模）设奇函数f(x)0,x0 ，则g(3)

g(x),x011A. 8 B. C. 8 D. 、

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12.若f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)g(x)g(x)

1，则f(x) ， x113.定义在(1,1)上的函数f(x)

xm是奇函数，则常数m____,n_____ 2xnx1

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，14.（2013皖南八校联考）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)x22x（x≥0）

2若f(3a)f(2a)则实数a的取值范围是

走向高考：

1. （04全国）已知函数f(x)lg1x，若f(a)b，则f(a) 1x11 C. D. 

bbA. b

B. b

2. (06全国Ⅰ文）已知函数fxa

1,，若fx为奇函数，则a 2x13.（2013山东）已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x21，则f(1) xA.2 B.0 C.1 D.2

4.（07辽宁文）已知yf(x)为奇函数，若f(3)f(2)1，则f(2)f(3)

5.（2011广东）设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 A. f(x)g(x)是偶函数 B. f(x)g(x)是奇函数

C. f(x)g(x)是偶函数 D. f(x)g(x)是奇函数

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6.（07广东）若函数f(x)sin2xπA.最小正周期为的奇函数

2C.最小正周期为2π的偶函数

1xR，则f(x)是 2B.最小正周期为π的奇函数

D.最小正周期为π的偶函数

7.（07海南）设函数f(x)

(x1)(xa)为奇函数，则a x8.（2012重庆）设函数f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a

2a是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是 9.(07江苏)设f(x)lg1xA.(1，0)

B.(0，1) 0) C.(，0)(1，) D.(，10.（2013辽宁文）已知函数f(x)ln A.1

119x23x1，则f(lg2)flg

2 D.2

B.0

C.1

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log10，fgl11.（2013重庆文）已知函数f(x)ax3bsinx4（a,bR）25则flglg2 A.5 B.1 C.3 D.4

，

12.（2013湖南文）已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，

f(1)g(1)4，则g(1) A.4 B.3 C.2 D.1

2xb是奇函数。 13. （06重庆文）已知定义域为R的函数f(x)x12a（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）若对任意的tR，不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立，求k的取值范围；

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14.(02全国)设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR．

1讨论f(x)的奇偶性； 2求f(x)的最小值．

15.（07上海，本题满分14分）已知函数f(x)x2a(x0，常数aR). x1讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由

2若f(x)在x2,上是增函数，求a的取值范围.

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不会学会，会的做对. 59 没有不会做，只有没努力！