第6讲 函数的单调性与最值(原卷版)

第6讲 函数的单调性与最值

思维导图

知识梳理 1．增函数、减函数

定义：设函数f(x)的定义域为I：

(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

2．单调性、单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.

3．函数的最值

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M． (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．

核心素养分析 能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 重点提升数学抽象、逻辑推理素养.

题型归纳 题型1 函数的单调性（区间）

【例1-1】（2019•西湖区校级模拟）函数f(x)x2x1的单调递增区间为( ) 1A．[,)

21B．[,)

21C．(,]

21D．(,]

2【例1-2】（2019秋•闵行区期末）已知函数f(x)

1x．判断f(x)在(,0)上的单调性，并给予证明． x【跟踪训练1-1】（2019秋•天津期中）函数yx25x4的单调递增区间是( ) 5A．[,)

25B．[,4)

2C．[4，)

5D．[1,),[4,)

2【跟踪训练1-2】（2019秋•河西区期中）用函数单调性的定义证明：f(x)axax在(0,)上是增函数（这里a0且a1)

【名师指导】

判断函数单调性常用方法

(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.

(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性. (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.

(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；

②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断. 题型2 函数单调性的应用

1【例2-1】（2020•绵阳模拟）已知f(x)在(,)上是减函数，若af(ln3),bf(2ln),cf(3)，则a，

2b，c的大小关系为( )

A．acb B．cab C．bac D．cba

x22x1,x1【例2-2】（2020•济南二模）已知函数f(x)，若f(a24)f(3a)，则实数a的取值范围

|x1|,x1是( ) A．(4,1) C．(1,4)

B．(，4)(1，) D．(，1)(4，)

exx2a,x0【例2-3】（2020•郑州三模）若函数f(x)在(,)上是单调函数，则a的取值范围

(a1)x3a2,x0是( ) A．[1，)

B．(1，3]

1C．[，1)

2D．(1，2]

x22x,x0【跟踪训练2-1】（2020春•静海区校级期中）已知函数f(x)，1x,x02111113af(()),b(log1),cf(()2)，则a，b，c的大小关系是( )

2323A．abc B．cab C．bac D．bca

2x1,x0【跟踪训练2-2】（2019秋•金华期末）已知函数f(x)1x，若f(a2)f(2a3)，则实数a的

()1,x02取值范围是 ．

x22ax,x1【跟踪训练2-3】（2019秋•黄山期末）已知函数f(x)，若f(x)在R上是增函数，

(2a1)x2a4,x1则实数a的取值范围是 ． 【名师指导】

解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f(x1)＞f(x2)的形式；(2)考查函数f(x)的单调性；(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f”，转化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的常规不等式，从而得解．

题型3 函数的值域（最值）

【例3-1】（2019秋•历城区校级期末）若函数yax(a0,a1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为则a的值为( ) A．

1 2a，2B．

3 2C．

2或2 3D．

13或 22x22ax8,x1【例3-2】（2020•辽宁模拟）已知函数f(x)，若f(x)的最小值为f（1），则实数a的值4xa,x1x不可能是( ) A．1

B．2

C．3

D．4

2x1,x2(a0且a1)的最大值为3，【跟踪训练3-1】（2020•江苏模拟）已知函数f(x)则实数a的

4logx,x2a取值范围是 ．

【跟踪训练3-2】（2020春•浙江期中）用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)min{x4，x6}，则f(x)的最大值为( )

A．4 【名师指导】

B．5 C．6 D．10

求函数最值的五种常用方法及其思路

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．