《等差数列及其前n项和》梳理导学案
执教： 张 壬 平 2010-10-28
学习目标：
1. 理解A.P的定义和主要性质； 2. 掌握A.P通项公式、求和公式； 3. 能够在具体问题情境中识别等差关系，并能解决相关问题；
4. 通过A.P知识梳理和问题解决过程，进一步体会转化化归和函数方程思想.
学习重点：
1. 理解A.P的定义和主要性质； 2. 掌握A.P的通项公式、求和公式.
高考分析：
数列在数学中的重要地位，决定了高考中占有的较大比重。数列解答题是高考固定题型，还常设选择、填空题。主要考查等差等比数列的概念、性质、通项及求和；与函数、三角、解几、不等式、推理与证明知识的综合是命题的“常态”和热点；对探究思维、符号运算和推理论证能力要求很高.从解题思想方法的规律着眼，数列内容主要有： ① 待定系数、整体换元等解题方法的运用； ② 方程思想的应用（设定基本参数，利用通项等公式列方程）； ③ 函数思想的应用（如图像、单调、最值等）.
链接高考：
（2010山东18）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，其前n项和为Sn 。 （Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn1an12(nN*)，求{bn}的前n项和Tn .
知识梳理：
1.判定：{an} 成A.P n∈N*，an+1—an=d n∈N*，an=pn+q
n∈N*，an +an+2=2an+1 .
2.公式：{an} 成A.P，则① an=a1+( )d = a2+( )d= am+( )d
②Sna1anna2 nan-k n= na1+ .
2223.中项：① a，A，b成A.P A= ；② {an}成A.P，则an-k+an+k= . 4.对称性：{an}成A.P，则a1+an=a2+ =a3+ = a n-k+ .
5.下标和：{an}成A.P，若m+n=p+q，则am+an= .（其逆命题成立吗？） 6.片断和：若{an}成A.P，则Sn，S2n—Sn，S3n—S2n，„„成A.P，公差Dn= . 7.单调性：若{an}成A.P，则{an}递增 d＞0 n∈N*， . 若{an}成A.P，则{an}递减 n∈N*， . 8.共线性：若{an}成A.P，则n∈N*，点列{n，an}共线； 点列{n，n}共线.
Sn
自学检测：
1. {an}通项an=3n-2，判断{an}是否成A.P ？
2. {an}成A.P，则用a3=13，a10= —1，则该数列的公差d = . 3. {an}成A.P，a5=6，则a2+a8= ；S9= . 4. {an}成A.P，项数为n，前3项和为9，最后3项和为21，Sn=25，则n= . 5. {an}成A.P，a1+a2=1，a3+a4=3，则a5+a6= ，a 2009+a 2010= . 6. {an}、{bn}成A.P，
※
a1a2an3n4a，则6= . b1b2bn2n1b6典例剖析：
例1. (09全国) {an}成A.P，a3·a7= -16，a4+a6= 0，求Sn
例2. 已知{an}前n项和Sn =
n2.①求通项an；②判断{a3n-2}是否成A.P？；
变式1. 在{an}中，若n∈N*，an+1—an =常数，且{an}前n项和为Sn，求证：数列{成A.P.
Sn}n
变式2. {an}成G.P，an=2·3
n -1
，bn=log3 an，判断{bn}是否成A.P？
学习总结：
作业设计：
1.必做：10年山东高考18题；作业手册P.255第8题；类比等差梳理等比相关知识. 2.选做：数列{an}首项a1=4，且n∈N*，点M(an，an＋1)∈L：y=x＋2. ① 求an；
② 已知b1+b2+„+bn=an，试探究an与bn大小.
走进高考：
1.（10重庆）在等差数列an中，a1a910，则a5的值为 （ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
2.（09湖南）设Sn是等差数列{an}前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= （ ） A. 13 B. 35 C. 49 D. 63
3.（09山东）{an}成A.P，a3=7，a5=a2+6，则a6 = .
4.（10福建）设等差数列｛an｝前n项和为Sn . 若a1= -11,a4+a6=-6, 则当Sn 取最小值时，n等于 （ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
a5.（10辽宁）已知数列an满足a133,an1an2n,则n的最小值为______.
n
达标检测：
1.{an}成A.P，且a1+a8+a15=2π，则tan（a2+a14）的值为 （ ）
A.
3 B. 3 C.
33 D. 332.{an}成A.P，且a2+2a 7+a12=96，则2a 8—a9的值为 （ ）
A. -8 B. 20 C. 22 D. 24 3.{an}成A.P，a2=1，a5= -5. 求：① a n ；②Sn
4. 已知{an}前n项和Sn = 3n.①求通项an；②判断{a4n－3}是否成A.P？
2探究学习：
已知{an}成等差，且a1=11，S3=S9，求(Sn)max .
1.判定：{an} 成A.P n∈N*，an+1—an=d n∈N*，an=pn+q
n∈N*，an +an+2=2an+1 .
2.公式：{an} 成A.P，则① an=a1+( )d = am+( )d
②Sna1annna1+ . 23.中项：① a，A，b成A.P A= ；② {an}成A.P，则an-k+an+k= . 4.对称性：{an}成A.P，则a1+an=a2+ =a3+ = „„.
5.下标和：{an}成A.P，若m+n=p+q，则am+an= .（其逆命题成立吗？） 6.片断和：若{an}成A.P，则Sn，S2n—Sn，S3n—S2n，„„成A.P.
2. {an}成A.P，则用m，n，am，an (m，n∈N*，且m≠n) 表示的公差d = . 例2. 已知{an}前n项和为Sn ① 若{an}成A.P，求证：数列{ ② 若Sn= n2，令cn=
Sn}成A.P； na2n，求{cn}前n项和Tn.
变式3. 已知{an}成等差，a1= -11，S3=S9，求Sn的最值. 例3.
3.已知log2x，log2y，2成等差数列，则动点M（x，y）轨迹的图像为 （ ）
y y y y O x O x O x O x A B
C D
解：①由题知：
当n＞1时，an=Sn—Sn-1=n2—(n-1)2=2n—1
当n=1时，a1=S1=1，经检验n=1时符合上式，∴an=2n—1 ②令bn=a3n-2=2(3n-2)—1=6n—5 ∴bn+1—bn=6(n+1)—5—6n+5=6 ∴数列{a3n－2}成A.P.
解：①由题知：
当n＞1时，an=Sn—Sn-1=3[n2—(n-1)2]=6n—3
当n=1时，a1=S1=3，经检验n=1时符合上式，∴an=6n—3 ②令bn=a4n-3=6(4n-3)—3=24n—21 ∴bn+1—bn=24∴{bn}成A.P 即 数列{a4n－3}成A.P.
思路：利用通项,待定系数（油印时可删除，下同）
思路1：s1. {an}成A.P；s2. a13＋a14=0，a13＞0，a14＜0，(Sn)max = S13；s3.d=-2 思路2：s1. {an}成A.P；s2.待定系数求得an=27-2n；s3.求函数Sn=S(n)的最值. 要点：a6 +a7 =0，d=2，Sn有最小值；(Sn)min =S6 思路：令bn
Sn，利用和式,依据定义判断；利用万能公式求通项，分组转化法求和. n
