等比数列前n项和公式教案

课题:§2.5等比数列的前n项和Ⅱ.讲授新课

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。 1、 等比数列的前n项和公式：

aanqa1(1qn)当q1时，Sn①或Sn1②

1q1q当q=1时，Snna1 当已知a1,q,n时用公式①；当已知a1,q,an时，用公式②. 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是 Sna1a2a3an由 n1aaq1n2n2n1Sna1a1qa1qa1qa1q得 23n1nqSna1qa1qa1qa1qa1qaanqa1(1qn)∴当q1时，Sn①或Sn1② 1q1q当q=1时，Snna1 公式的推导方法二： ana2a3q 有等比数列的定义，a1a2an1根据等比的性质，有a2a3anSa1nq a1a2an1Snan即

Sna1q(1q)Sna1anq（结论同上）

Snan围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)

＝a1qSn1＝a1q(Snan)

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(1q)Sna1anq（结论同上）

课题:§2.5等比数列的前

●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容：

等比数列的前n项和公式：

n项和

aanqa1(1qn)当q1时，Sn①或Sn1②

1q1q当q=1时，Snna1 当已知a1,q,n时用公式①；当已知a1,q,an时，用公式② 课题：数列复习小结 教学过程： 一、本章知识结构 二、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法． 三、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，

有时用到换元法．

3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．

4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

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四、知识精要： 1、数列

[数列的通项公式]an2、等差数列 [等差数列的概念]

[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 [等差数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。 2．等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。 [等差数列的通项公式] 如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为ana1(n1)d。 [说明]该公式整理后是关于n的一次函数。 [等差数列的前n项和]1．Snn(a1an)n(n1)d 2.Snna122a1S1(n1)[数列的前n项和]Sna1a2a3an

SnSn1(n2)[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。 [等差中项] 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：Aab或2Aab 2[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 [等差数列的性质] 1．等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公差为d，则有anam(nm)d

2.对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq。

*3．若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列。

3、等比数列 [等比数列的概念]

[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。

精心整理 [等比中项]

如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即Gab。 [等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列an，若

an1q(q0)，则数列an是等比数列。 an222．等比中项：对于数列an，若anan2an1，则数列an是等比数列。

[等比数列的通项公式]

n1如果等比数列an的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为ana1q。 [等比数列的前n项和] aanqa1(1qn)Sn(q1)Sn1(q1)当q1时，Snna1 1q1q[等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：anamqnm 2． 对于等比数列an，若nmuv，则anamauav 4．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。如下图所示： 4、数列前n项和 （1）重要公式： 123nn(n1)； 2n(n1)(2n1)； 6122232n211323n3[n(n1)]2 2（2）裂项求和：

111；

n(n1)nn1