数学压轴题必知定理

定理1.（罗比达法则）

若

g(x0)h(x0)0h(x)g(x)h'(x)limxx0g'(x).

g'(x0)0h(x0)g(x0)

.则

limxx0定理2.（拉格朗日余数定理）

f'(x0)1f(x0)(xx0)f(x)1

f''(x0)f'''(x0)23(xx0)(xx0)12123f(x0)f(c)nn1(xx0)(xx0)123n123n(n1)

(n)(n1)(0cx)

xxe1x12123 定理3.

x23xe123n123n(n1)nc(0cx)定理4.

ln(1x)n1nxxx23n23

(1)n(1)n1xxn1(n1)(1c)

(1cx)练习题

1. 设函数

f(x)e1xaxx2.

(1) 若

a0，求f(x)的单调区间.

(2) 若当

x0时，f(x)0，求a的取值范围.

f(x)ln(1x)2. 设

x(x0).

(1) 判断函数

f(x)的单调性.

(2) 若ln(1x)ax在(0,)上恒成立，求

a(11)ne,n(3) 求证：nN

f(x)2(ln1x1x2)3. 已知函数

2ax

（1） 若

f(x)在（0,1）上单调递增，求a的取值范围.

（2） 求证：

的取值范围.

123n1n1222ln2234n2

1110ln(1)2,kNkk2k4. 求证：

5. 已知函数

f(x)ln(x1)k(x1)1（1）

求

f(x)的单调区间.

（2）

f(x)0若恒成立，试确定实数k的取值范围.

ln2ln3ln4lnn345n1

(3)证明：

n(n1)(nN,n1)4