等比数列的前n项和

§2.5等比数列的前n项和(1)

学习目标 1. 掌握等比数列的前n项和公式；

2. 能用等比数列的前n项和公式解决实际问题. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P55 ~ P56，找出疑惑之处）

复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前n项和公式是什么？

复习2：已知等比数列中，a33，a681，求a9,a10.

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务： 等比数列的前n项和

故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”

新知：等比数列的前n项和公式

设等比数列a1,a2,a3,an它的前n项和是Sna1a2a3

公式的推导方法一：

2n2n1Sna1a1qa1qa1qa1q则

qSn(1q)Sn 当q1时，Sn ①

或Sn ②

当q=1时，Sn an，公比为q≠0，

公式的推导方法二：

由等比数列的定义，

a2a3a1a2anq， an1有

a2a3anSa1nq，

a1a2an1Snan即

Sna1q.

Snan∴ (1q)Sna1anq（结论同上）

公式的推导方法三：

Sna1a2a3an

＝a1q(a1a2a3an1) ＝a1qSn1＝a1q(Snan). ∴ (1q)Sna1anq（结论同上）

试试：求等比数列

※ 典型例题 例1已知a1=27，a9=

111，，，…的前的和. 2481，q<0，求这个等比数列前5项的和. 243

变式：a13，a548. 求此等比数列的前5项和.

例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?

※ 动手试试

39练1. 等比数列中，a3,S3,求a1及q.

22

练2. 一个球从100m高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m）

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 等比数列的前n项和公式；

2. 等比数列的前n项和公式的推导方法；

3. “知三求二”问题，即：已知等比数列之a1,an,q,n,Sn五个量中任意的三个，列方程组可

以求出其余的两个.

※ 知识拓展

1. 若q1，mN*，则Sm,S2mSm,S3mS2m,构成新的等比数列，公比为qm.

a2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,a,aq. 若四个同符号的数成等比

qaa数列，可设这四个数为3,,aq,aq3.

qq3. 证明等比数列的方法有：

a（1）定义法：n1q；（2）中项法：an12anan2.

anSa14. 数列的前n项和构成一个新的数列，可用递推公式1表示.

SnSn1an(n1) 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 数列1，a，a2，a3，…，an1，…的前n项和为（ ）.

1an1an1A. B.

1a1a1an2C. D. 以上都不对

1a2. 等比数列中，已知a1a220，a3a440，则a5a6（ ）.

A. 30 B. 60 C. 80 D. 160

3. 设{an}是由正数组成的等比数列，公比为2，且a1a2a3a30230，那么a3a6a9a30（ ）.

A. 210 B. 220 C. 1 D. 260

4. 等比数列的各项都是正数，若a181,a516，则它的前5项和为 . 5. 等比数列的前n项和Sn3na，则a＝ . 课后作业 1. 等比数列中，已知a11,a4,求q及S4.

2. 在等比数列an中，a1a633,a2a532，求S6.

§2.5等比数列的前n项和(2)

学习目标 1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；

2. 会用公式解决有关等比数列的Sn,an,a1,n,q中知道三个数求另外两个数的一些简单问题. 学习过程 一、课前准备

（预习教材P57 ~ P62，找出疑惑之处） 复习1：等比数列的前n项和公式.

当q1时，Sn ＝ 当q=1时，Sn

复习2：等比数列的通项公式. an = .

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务：等比数列的前n项和与通项关系 问题：等比数列的前n项和 Sna1a2a3an1an，

Sn1a1a2a3an1 （n≥2）， ∴ SnSn1 ， 当n＝1时，S1 .

反思：

等比数列前n项和Sn与通项an的关系是什么？

※ 典型例题

例1 数列{an}的前n项和Snan1（a≠0，a≠1），试证明数列{an}是等比数列.

变式：已知数列{an}的前n项和Sn，且Sn14an2， a11，设bnan12an，求证：数列{bn}是等比数列.

例2 等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，求证：Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比.

变式：在等比数列中，已知Sn48,S2n60，求S3n.

※ 动手试试

练1. 等比数列{an}中，S3013S10，S10S30140，求S20.

练2. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n项和Sn.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 等比数列的前n项和与通项关系；

S2n，S3n，S2nSn，S3nS2n2. 等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，则数列Sn，也成为等比数列.

※ 知识拓展

1. 等差数列中，SmnSmSnmnd；

2. 等比数列中，SmnSnqnSmSmqmSn.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 等比数列{an}中，S33，S69，则S9（ ）.

A. 21 B. 12 C. 18 D. 24

2. 在等比数列中，a14，q＝2，使Sn4000的最小n值是（ ）.

A. 11 B. 10 C. 12 D. 9

3. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是12312202112013，那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是（ ）.

A. 292 B. 281 C. 282 D. 271

4. 在等比数列中，若2S3a32S2a4，则公比q＝ . 5. 在等比数列中，a11，an512，Sn341， 则q＝ ，n＝ . 课后作业 1. 等比数列的前n项和sn21，求通项an.

2. 设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；

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