“函数的单调性”教学设计

（北师大版高中数学必修1第２章第3节）

—— 吴如梅 阜阳市第三中学

【教学目标】

【知识与技能】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像和单调性定义处理问题。

【过程与方法】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力。

【情感、态度与价值观】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。 【教学重点】函数单调性的概念、判断。 【教学难点】归纳抽象出函数单调性的定义。

【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下:

（1）函数的单调性起着承前启后的作用。一方面，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。

（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。

（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。

因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。 【学情分析】

从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的图像，从图像的直观变化，学生能粗略的得到函数增减性的定义，所以引入函数的单调性的定义应该是顺理成章的。

从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括和语言转换能力。

【教学过程】 一、问题导学：

（1）观察第一组函数图像，指出其变化趋势。

y

y -1

从左至右，图像呈 趋势。

（2）观察第二组函数图像，指出其变化趋势。

y y y=-x+1

从左至右，图像呈 趋势。

（3）观察第三组函数图像，指出其变化趋势。 y y

从左至右，图像呈 趋势。

x O x x y=x2 y x x y x x x 1 y=x+1 y x

思考1.如何理解图像是上升的，它反映了变量之间怎样的依赖关系？ 思考2.如何把这种依赖关系用函数符号表达出来？

思考3.对于图像上某两点满足“当x当x1x2时，有fx1fx2成立”，能否说明函数

fx在某区间上单调递增？能，说明原因；不能则举个反例。

引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．并引导学生用区间明确描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质． 思考4：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

预案：如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数．完成对函数概念的第一次认识。

二、．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 通过探究，得出增函数严格的定义，然后类比得出减函数的定义． (1)增函数的定义

设函数yf(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I中的任意两个值

x1,x2,当x1x2时，有fx1fx2成立，那么就称函数yf(x)在区间I上是增函数，

I称为fx的增区间。

（2)减函数的定义:

设函数yf(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I中的任意两个值

x1,x2,当x1x2时，有fx1fx2成立，那么就称函数yf(x)在区间I上是减函数，

I称为fx的减区间

〖设计意图〗：由形到数，完成对函数的第二次认识。 三、巩固概念（两个判断题）

判断题：

是单调增函数（1)函数fxx在，2( ).

（2)函数 f (x)在区间[1，2]上满足 f (1)＜f(2)，则函数f (x)在[1，2]上是增函数.( )

通过判断题，强调两点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。 ②单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?

说明：要说明一个命题是正确的，必须给出完整的证明。说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可。

〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

四、归纳小结，提高认识 小结

(1) 单调性的概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 数学思想方法和思维方法：数形结合 ．

教学反思

1、本节微课的教学设计在分析学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础上，让学生通过观察函数图像的变化规律，然后归纳猜测，勇于实践探究式的教学方法，取得了较好的教学成果。

2、函数的单调性是函数的一个重要性质

在理解函数单调性的定义时，值得注意以下两点：

(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.

(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1,x2具有任意性，不能用特殊性替代.

3、由于时间的，这节课没有给出用定义法证明具体函数的单调性。在下一节的微课视频中继续来探就如何判断和证明函数的单调性。