2014年(课标II卷)数学(文科)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标II卷）数学（文科）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A{2,0,2},B{x|x2x20},则AA.  B. 2 C. {0} D. {2} （2）

B（ ）

13i（ ） 1iA.12i B. 12i C. 12i D. 12i

（3）函数f(x)在xx0处导数存在，若p:f(x0)0：q:xx0是f(x)的极值点，则 A．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件，学科 网也不是q的必要条件

（4）设向量a,b满足ab10，ab6，则ab=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

（5）等差数列{an}的公差是2，若a2,a4,a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn（ ） A. n(n1) B. n(n1) C.

n(n1)n(n1) D. 22（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零

件由一个底面半径为3cm，学科 网高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，学科网则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.

175101 B. C. D. 279273

（7）正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥 AB1DC1的体积为

（A）3 （B）

33 （C）1 （D） 22（8）执行右面的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

xy10,（9）设x，y满足约束条件xy10,则zx2y的最大值为

x3y30,（A）8 （B）7 （C）2 （D）1

（10）设F为抛物线C:y+3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，则 AB

（A）230 （B）6 （C）12 （D）73 3（11）若函数fxkxInx在区间1,单调递增，则k的取值范围是

（A）,2 （B）,1 （C）2, （D）1,

22（12）设点Mx0,1，若在圆O:x+y1上存在点N，使得OMN45，则x0的取

值范围是

2211, （A）1,1 （B）, （C）2,2 （D） 2222二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）甲，乙两名运动员各自等可能地从红、学科 网白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选

择相同颜色运动服的概率为_______.

（14） 函数f(x)sin(x)2sincosx的最大值为________.

（15） 偶函数yf(x)的图像关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)=________. （16） 数列{an}满足an1三、解答题：

（17）（本小题满分12分）

四边形ABCD的内角A与C互补，AB1,BC3,CDDA2. （1）求C和BD；

（2）求四边形ABCD的面积.

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E是PD的重点. （1）证明：PB//平面AEC； （2）设AP1,AD1,a82，则a1________. 1an3，三棱锥PABD学科网的体积V3，求A到平面PBC的距离. 4

（19）（本小题满分12分）

某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机学科网访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：

（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；

（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价.

（20）（本小题满分12分）

x2y2设F1,F2分别是椭圆C:221(ab0)的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，

ab直线MF1与C的另一个交点为N. （1）若直线MN的斜率为

3，求C的离心率； 4（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a,b.

（21）（本小题满分12分） 已知函数

曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2. f(x)x33x2ax2，

（1）求a； （2）证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如多做，则按所做的第一题记分。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，P是

O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于B,C，PC2PA，DO学科网于点E.证明：

为PC的中点，AD的延长线交（1）BEEC； （2）ADDE2PB2

（23）(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，学科网x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos,[0,（1）求C得参数方程；

（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)|x2].

1||xa|(a0) a（1）证明：f(x)2；

（2）若f(3)5，求a的取值范围.

2014年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参

一、 选择题

（1）B （2）B （3）C （4）A （5）A （6）C （7）C （8）D （9）B （10）C （11）D （12）A

二、 填空题

11（13） （14）1 （15）3 （16）

32

三、 解答题

（17）解：

（I）由题设及余弦定理得

222BCCD2 BDBCcCoDs C =1312cosC ， ①

22ABD2A2 BDABcDoAs ACs. ② 54co 由①，②得cosC1，故C600，BD7。 2 （Ⅱ）四边形ABCD的面积 S11ABDAsinABCCDsinC 2211 (1232)sin600

22 23

（18）解：

（I）设BD与AC的交点为O，连结EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又

E为PD的中点，所以EO∥PB. EO平面AEC，PB平面AEC, 所以PB∥平面AEC. （Ⅱ）V由V

作AHPB交PB于H。

由题设知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC。

又AHPAAB313. PB1313PAABADAB. 6633，可得AB.

24所以A到平面PBC的距离为

（19）解：

313. 13 （I）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75 。

50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66,68，故样本中位数为

666867，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. 2

（Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为

580.1，0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为50500.1，0.16.

（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差较大。（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分。）

（20）解：

b2 解：（I）根据cab及题设知M(c,),2b23ac

a22 将b2a2c2代入2b23ac，解得 故C的离心率为

1. 2c1c,2（舍去） a2a （Ⅱ）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)

b2是线段MF1的中点，故4，即

a b24a ①

由MN5F1N得DF12F1N。 设N(x1,y1)，由题意知y10，则

3xc,2(cx1)c1，即2 2y12y119c21代入C的方程，得221。

4ab9(a24a)11 将①及cab代入②得4a24a22解得a7,b24a28， 故a7,b27.

（21）解：

（I）f'(x)=3x26xa，f'(0)a.

曲线yf(x)在点（0,2）处的切线方程为yax2。 由题设得

（Ⅱ）由（I）知，f(x)x33x2x2 设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4 由题设知1k0.

22，所以a=1. a 当x≤0时，g'(x)3x26x1k所以g(x)=0在,0有唯一实根。

当x0，g(x)单调递增，g(1)k10,g(0)4，

0时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)。

2 h'(x)3x6x3x(x，2h)(x)在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增，所以

g(x)h(x)h(2)

所以g(x)0在(0,)没有实根.

综上，g(x)=0在R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点。

（22）解：

（I） 连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA

∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD，从而BEEC。

因此BE=EC.

（Ⅱ）由切割线定理得PA2PBPC。 因为PA=PD=DC，所以DC=2PB,BD=PB。

由相交弦定理得ADDEBDDC， 所以ADDE2PB2.

（23）解：

（I）C的普通方程为(x1)2y21(0y1).

可得C的参数方程为

x1cost,（t为参数，0tx） ysint,

（Ⅱ）设D(1cost,sint).由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。

因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，

t tan3t,3.

故D的直角坐标为(1cos

（24）解：

（I）由a0，有f(x)x33,sin)，即(,)。 3322111xax(xa)a2. aaa 所以f(x)≥2.

（Ⅱ）f(3)313a. a

当时a＞3时，f(3)=a1521，由f(3)＜5得3＜a＜。 a2115当0＜a≤3时，f(3)=6a，由f(3)＜5得＜a≤3.

a2 综上，a的取值范围是（

15521，）. 22