函数单调性教案

“函数的单调性”是新课标人教版《数学1》第一章第三节的教学内容。函数的单调性是函数的一条重要的性质，从知识的结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数等内容的基础，在研究各种具体函数的性质，解决各种问题中都有着广泛的应用。 二、教学目标：

（1） 知识与技能：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性与函数

图象的关系。初步掌握判断函数单调性的方法。

（2） 过程与方法：通过观察、归纳、抽象、概括等形成概念领会数

形结合的数学思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力。 （3） 情感态度与价值观：在研究的过程中，激发学生的兴趣，调动

学生的积极性，使学生勇于提出问题，乐于探索问题，最终解决问题，感受数学的魅力。 三、教学重点和难点：

（1）教学重点：函数单调性的概念。 （2）教学难点：根据定义证明函数单调性。 四、教学方法和教学手段的选择：

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用多媒体辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．

五、教学过程：

1.创设情境，导入课题

图示是某市一天24小时内的气温变化图，观察这个气温变化图，

问题1：（1）请同学们指出该天的气温在如何变化？怎样用数学语言

来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ （2）同学们还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

学生活动：思考

教师行为：提问、引导学生作答

设计意图：要想认识和理解函数单调性这一抽象的定义，，必须从几何直观入手，即从函数图象入手。这个问题的设置就是想通过实际生活中的一个例子，让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认识，为下一步对概念的理性认识做好铺垫。同时通过这个实例，让学生感受到函数的单调性和我们的生活密切相关，进而激发学生的兴趣，引发学生进一步学习的好奇心。

2．抽象思维，概念的形成过程

问题2：给同学们一分钟的时间画出函数YX1和Y=X2 的图象，

回答下面两个问题：

（1）分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的，在哪个

区间是下降的？

学生活动：小组合作探求问题的答案

教师行为：在问题1的基础之上，通过学生们熟悉的两个图象，进一步强化他们对图象的感性认识，引导学生能用自然语言描述出图象的变化规律，让学生大胆去说，教师逐步修正、完善学生的说法，最后给出正确答案。

设计意图：从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律，在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象。以同学们熟悉的一次函数和二次函数为切入点，顺应了同学们的认知规律，做到了直观和具体。

（2）同学们能根据初中学过的知识，用数学语言来描述一下“上

升”和“下降”的含义吗？

学生活动：小组合作探求问题的答案

教师行为：在知识过渡的关键点处，教师引导学生从函数变量的角度去分析问题，给学生一定的时间，让他们通过观察、思考、探究对问题做出答案。有条件的情况下，教师可通过“几何画板”展示YX1图象上A点的运动情况，让x学生观察x和y值的变化。运用初中所

学知识就能得到结论：函数YX1在R上随着x的增大，y也增大。我们称这样的函数y为增函数。同理我们把y随着x的增大而减小的函数称为减函数。

用类比的方法，我们得到：函数Y=X2在区间,0上，随着x的增大，y相应的减少。在区间0,上，随着x的增大，y相应的增大。 设计意图：学生对图象的认识由感性上升到理性，这是一个难点。如果能运用几何画板，就会使问题变得直观，让学生更好的体会数与形的完美结合。

问题3：你能推断yx1x图象的升降趋势吗？ 学生活动：小组合作、交流

教师行为：就学生目前的认知水平，无法得知函数yx1x的图象，学生陷入了困境，在不知图象的前提下，我们能得知图象的升降趋势吗？教师把问题抛给学生，让学生大胆猜想。可以推想，同学们在没有图象的前提之下，会想通过给函数的自变量取特殊值来说明函数的增减性，对学生的思考的预想：

预想1：如当x10.5时，y12.5；当x21时，y22，显然0.5＜1，

2.5＞2由此推断：当x增大时，y随着减小，会得出结论函数在区间

0,上为减函数。

预想2：如当x1=1时，y12；当x2=2时，y22.5，显然1＜2，2＜当x增大时，y随着增大，会得出结论函数在区间0,上2.5此推断：为增函数。

同学们的猜想对吗？用“几何画板”做出yx1x图象，并及时提问，为什么会出错？因为不能用特殊的两个值来判断。我们以前学的概念是描述性定义，怎样用精确的数学语言来定义呢？

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3.给出定义，剖析概念

教师提问：1.请大家说说上述定义的“增大”是什么意思？（比较） 2.比较至少是几个量之间？（两个） 3.怎样取这两个量？取特殊值可以吗？

（不可以，必需取遍整个区间的所有值）

4.能做到一一全部都取出来吗？

（不能，任意取x1和x2）

引导学生写出单调性的严格定义：

设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1和x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数, D称为函数f(x)的单调增区间。

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1和x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数, D称为函数f(x)的单调减区间。 图象的变化趋势为：

对定义的分析：

（1）区间：函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质 （2）任意： x1和x2具有任意性，不能用特殊值代替。

（3）函数的单调性与x1,x2的谁大谁小无关，表现的是函数值随自变

量的变化而变化的一种趋势

设计意图：函数的单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，留给学生思维的时间和空间，在课堂上随学生的

思路的变化而变化，从而培养学生的创新意识，提高学生的探究能力。

4.范例讲解，运用概念

例1如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数yf(x)的图象，根据图象说出yf(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是yf(x)是 函数还是减函数？

学生活动：思考 教师行为：直接提问

设计意图：心理学认为概念一旦形成，必须及时加以巩固.设计例1，通过直观的的图象加深学生对函数单调性等概念的理解.

注意：函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题，同时，在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。

例2判断函数f(x)=x2在(0,)上是增函数还是减函数？并证明结论. 学生活动：思考

教师行为：直接提问

证明：设任意的x1,x2(0,)且x1＜x2，则

2f(x1)f(x2)x12x2(x1x2)(x1x2)

由x1＜x2，得x1x2＜0

x1,x2(0,)，x1x2＞0

于是 f(x1)f(x2)＜0即f(x1)＜f(x2) 所以，f(x)=x2在(0,)上是增函数。

设计意图：使学生从简单的函数入手，体会用定义证明函数单调性的方法，有助于学生的理解。

例3物理学中的玻意耳定律pkv（k是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积v减小时压强p将增大．试用函数单调性证明之． 学生活动：思考

教师行为：提问：1.pkv是函数吗？

2.你能画出pkv的图像吗？ 3.pkv是否具有单调性，请猜想. 4.证明你的猜想.

证明：设任意的v1,v2(0,)且v1＜v2

p1p2kv1kv2kv2v1 v1v2因为v1＜v2，则v1v2＜0 又因为v1,v2(0,)，则v1v2＞0 因为k＞0所以

kv2v1＞0 v1v2即p1＞p2，所以体积v减小，压强p将增大．

设计意图：用数学方法证明物理学中的一个定理，体现了学科之间的整合，突出了函数单调性的重要性。没有按照传统的证明函数单调性的“四步曲”，而是设置了四个问题，尽可能的让学生去思考，这样 不仅可以提高学生探究问题的能力，还可以加深学生对定义的理解. 总结：利用定义证明函数单调性的步骤：

①任意取值：即设该区间内的任意两个值x1和x2，且x1＜x2 ②作差变形：作差f(x1)f(x2)（因式分解、配方、有理式等）

③判断定号：确定f(x1)f(x2)的符号 ④得出结论：根据定义作出结论

5. 归纳小结，巩固新知

归纳小结是巩固新知不可或缺的环节之一，这个环节对培养学生的归纳概括能力、自我获取知识的能力是十分重要的。本节课我们采用了探究的方法来研究函数单调性的概念，从几何直观入手，最终抽象出概念，希望同学们能够学会这种探究问题的方式。对于函数单调 性的应用，学习中要注意证明单调性的过程、步骤和格式。感受数学与实际相结合，体会数学的魅力，注重数与形的和谐美。

6.布置作业，提高升华

必做题：1.举一个实际生活中的例子，说明函数在定义域上是减函数.

2.书后32页第4题，39页第1、2题

yx选作题：探究函数 x的单调性；探究一次函数ykxb和

12yaxbxc及反比例函数yk的单调性。 二次函数x设计意图：基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和深化探究题.学生完成作业的形式为必做、选做两种.设置必做题的目的是巩固本节课应知应会的内容，面向全体学生，人人必须完成。设置选做题的目的是为了提升能力，发展智力，选做题难度稍大一些，要求学生根据个人的实际情况尽力完成，对学有余力的尖子生要求他们要完成，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣. 六、教学评价

学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的自信心、团队精神、合作意识、思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础。