2013年福建省高考数学试卷(理科)

2013年福建省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的. 1．（5分）已知复数z的共轭复数的点位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

（i为虚数单位），则z在复平面内对应

2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）双曲线A． B． C．

的顶点到渐近线的距离等于（ ） D．

4．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）

A．588 B．480 C．450 D．120

5．（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ） A．14 B．13 C．12 D．10

6．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（ ）

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A．计算数列{2n﹣1}的前10项和 B．计算数列{2n﹣1}的前9项和 C．计算数列{2n﹣1}的前10项和 7．（5分）在四边形ABCD中，为（ ） A．

B．

C．5

D．10

D．计算数列{2n﹣1}的前9项和

=（﹣4，2），则该四边形的面积

=（1，2），

8．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ） A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）

B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点

C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点

9．（5分）已知等比数列{an}的公比为q，记bn=am（n﹣1）+1+am（n﹣1）+2+…+am（n﹣1）+m，cn=am（n﹣1）+1•am（n﹣1）+2•…•am（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确的是（ ） A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为D．数列{cn}为等比数列，公比为

10．（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）

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＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A．A=N*，B=N

B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10} C．A={x|0＜x＜1}，B=R D．A=Z，B=Q

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.

11．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为 ．

12．（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．

13．（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=AB=3

，AD=3，则BD的长为 ．

，

14．（4分）椭圆Γ：若直线y=

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，

与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的

离心率等于 ．

15．（4分）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+xn+…=两边同时积分得：

dx+

xdx+

x2dx+…+

xndx+…=

dx

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从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： ×+

×（）2+

×（）3+…+

×（）n1+…=ln2

+

×（）n+1= ．

三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 17．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）

（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值．

18．（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi，交于点

．

（1）求证：点

都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；

（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．

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19．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0） （1）求证：CD⊥平面ADD1A1

（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值

（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

20．（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（

，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来

单位长度后得到函数g（x）

的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个的图象．

（1）求函数f（x）与g（x）的解析式 （2）是否存在x0∈（

），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种

顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；

（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

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本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分. 21．（7分）选修4﹣2：矩阵与变换 已知直线l：ax+y=1在矩阵（I）求实数a，b的值

（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且22．（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为在直线l上．

（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）圆C的参数方程为系．

23．设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值

（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．

对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1

，求点P的坐标．

，直线l的极坐标方程为，且点A

，试判断直线l与圆C的位置关

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2013年福建省高考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的. 1．（5分）已知复数z的共轭复数的点位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

（i为虚数单位），则z在复平面内对应

【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项． 【解答】解：因为复数z的共轭复数

，

所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）． z在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D．

【点评】本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查．

2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．

【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B； 反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3 故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件 故选：A．

【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．

3．（5分）双曲线

的顶点到渐近线的距离等于（ ）

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A． B． C． D．

【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点

到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离． 【解答】解：由对称性可取双曲线则顶点到渐近线的距离d=故选：C．

【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键．

4．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）

．

的顶点（2，0），渐近线

，

A．588 B．480 C．450 D．120

【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．

【解答】解：根据频率分布直方图，

成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．

由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人． 故选：B．

【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．

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5．（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ） A．14 B．13 C．12 D．10

【分析】由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解． 【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；

此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种． （2）当a≠0时，方程为一元二次方程， ∴△=4﹣4ab≥0，

∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种， 关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种， 故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用．考查分类讨论思想．

6．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（ ）

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A．计算数列{2n﹣1}的前10项和 B．计算数列{2n﹣1}的前9项和 C．计算数列{2n﹣1}的前10项和

D．计算数列{2n﹣1}的前9项和

【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．

【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值， S=0，i=1；

判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2； 判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；

判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4； …

判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11； 判断i＞10成立，输出S=1+2+22+…+29． 算法结束．

故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和． 故选：A．

【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．

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7．（5分）在四边形ABCD中，为（ ） A．

B．

C．5

D．10

=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积

【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可． 【解答】解：因为在四边形ABCD中，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又

，

该四边形的面积：故选：C．

【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．

8．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ） A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）

B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点 =

=5． ，

，

，

=0，

C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点

【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确； B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；

C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；

D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点．

【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；

对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；

对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极

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小值点，故C错误；

对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确． 故选：D．

【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

9．（5分）已知等比数列{an}的公比为q，记bn=am（n﹣1）+1+am（n﹣1）+2+…+am（n﹣1）+m，cn=am（n﹣1）+1•am（n﹣1）+2•…•am（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确的是（ ） A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为D．数列{cn}为等比数列，公比为【分析】①

+m

，当q=1时，bn=mam（n﹣1），bn+1=mam（n﹣1）

=mam（n﹣1）=bn，此时是常数列，可判断A，B两个选项

②由于等比数列{an}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得

，

即可判断出C，D两个选项． 【解答】解：①

（n﹣1）+m

=，得出

，当q=1时，bn=mam（n﹣1），bn+1=mam

=mam（n﹣1）=bn，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确； q

≠

1

时

，

，

当

=，此时，选项B不正确，

又bn+1﹣bn=，不是常数，故选项A不正确，

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②∵等比数列{an}的公比为q，∴，

∴=，

∴===，故C正确D不正确．

综上可知：只有C正确． 故选：C．

【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式是解题的关键．

10．（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） A．A=N*，B=N

B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10} C．A={x|0＜x＜1}，B=R D．A=Z，B=Q

【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．

【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；

对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数

，满足：

（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），

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所以选项B是“保序同构”；

对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（|x∈A}； （ii）对任意

x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”； 前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D． 故选：D．

【点评】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.

11．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为

．

），满足：（i）B={f（x）

【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解． 【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，

则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P=故答案为：．

=．

【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．

12．（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 12π ．

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【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．

【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2， 球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=所以球的表面积为：4πr2=12π． 故答案为：12π．

，r=

，

【点评】本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体以及球的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．

13．（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=AB=3

，AD=3，则BD的长为 ．

，

【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长． 【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，

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∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°， ∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=在△ABD中，AB=3

，AD=3，

，

根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3， 则BD=

．

故答案为：

【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

14．（4分）椭圆Γ：若直线y=离心率等于 【分析】由直线

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，

与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的 ．

可知斜率为

，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与

，进而

椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得

．

设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得

，解出a，c即可．

【解答】解：如图所示， 由直线

可知倾斜角α与斜率

有关系

=tanα，∴α=60°．

，∴

又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴

．

设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．

∴该椭圆的离心率e=

．

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故答案为．

【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．

15．（4分）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+xn+…=两边同时积分得：

dx+

xdx+

x2dx+…+

xndx+…=

dx

从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： ×+

2+×（）

3+…+×（）

n+1= ×（）

×（）n+1+…=ln2

．

【分析】根据二项式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．

【解答】解：二项式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n， 对Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n 两

边

同

时

积

分

得

：

从而得到如下等=

式

：

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故答案为：．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用．是道好题，解决问题的关键在于对Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了．

三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

【分析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．

（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．

【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，

记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，

第18页（共28页）

因为P（X=5）=，∴P（A）=1﹣P（X=5）=

．

；

即他们的累计得分x≤3的概率为

（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，

小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）

都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2） 由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，）， ∴E（X1）=2×=，E（X2）=2×=， 从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=由于E（2X1）＞E（3X2），

∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．

【点评】本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键．

17．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）

（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值．

【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；

（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值． 【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，

所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1）， 即x+y﹣2=0

第19页（共28页）

，

．

，

（2）由，x＞0知：

①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；

②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．

又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．

从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；

当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．

【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．

18．（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi，交于点

．

（1）求证：点

都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；

（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．

【分析】（I）由题意，求出过且与x轴垂直的直线方程为

．联立方程

，

x=i，Bi的坐标为（10，i），即可得到直线OBi的方程为

第20页（共28页）

即可得到Pi满足的方程；

（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S△OCM=S△OCN，可得|x1|=4|x2|．即x1=﹣4x2．联立即可得到k，进而得到直线方程． 【解答】（I）证明：由题意，过为x=i，Bi的坐标为（10，i）， ∴直线OBi的方程为设Pi（x，y），由∴点

． ，解得

，即x2=10y．

且与x轴垂直的直线方程

都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x2=10y．

（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10， 联立

消去y得到x2﹣10kx﹣100=0，

此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，

设为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=﹣100， ∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=﹣4x2． 联立

，解得

．

∴直线l的方程为．即为3x+2y﹣20=0或3x﹣2y+20=0．

【点评】本题主要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力、转化与化归方法、计算能力、数形结合的思想方法、函数与方程得思想方法、分析问题和解决问题的能力．

19．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0） （1）求证：CD⊥平面ADD1A1

（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值

第21页（共28页）

（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案

新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．

【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k， ∴四边形ABED是平行四边形，

∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．

∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD， ∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1． （2）解：以D为坐标原点，间直角坐标系，

则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）． ∴

，

，

．

，取y=2，则

、

、

的方向为x，y，z轴的正方向建立空

设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则

第22页（共28页）

z=﹣6k，x=3．∴设

AA1

与

平

面=

． AB1C

=所

成

角

为

θ

，

则

=，解得k=1，故所求k=1．

（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．

写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=

【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．

20．（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（

，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来

单位长度后得到函数g（x）

的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个的图象．

（1）求函数f（x）与g（x）的解析式 （2）是否存在x0∈（

），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种

顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；

（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=（x）=sinx；

（2）依题意，当x∈（

，

）时，＜sinx＜

，0＜cosx＜⇒sinx＞cos2x

，

）内是否有解．通）＜0，G（

）

，利用三角函数的图象变换可求得g

＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（过G′（x）＞0，可知G（x）在（

，

）内单调递增，而G（

第23页（共28页）

＞0，从而可得答案；

（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣

，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线

y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案．

【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π， ∴ω=

=2，

，φ∈（0，π）， ，所以f（x）=cos2x．

又曲线y=f（x）的一个对称中心为故f（

）=sin（2×

+φ）=0，得φ=

将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，

再将y=cosx的图象向右平移图象，

∴g（x）=sinx． （2）当x∈（

，

）时，＜sinx＜

，0＜cos2x＜，

个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣

）的

∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，

问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（

，，

）内是否有解． ），

则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx）， ∵x∈（

，

），

，）=

）内单调递增，

＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函

，

）

∴G′（x）＞0，G（x）在（又G（

）=﹣＜0，G（

，

数G（x）在（满足题意．

）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（

（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，

第24页（共28页）

当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，

∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣令h（x）=﹣

，x∈（0，π）∪（π，2π），

，x≠kπ（k∈Z）． 的解的情况．

则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况． h′（x）=

，令h′（x）=0，得x=

或x=

，

当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x

（0，）

（，π）

（π，

）

（，

2π）

0 ﹣1

+ ↗

h′（x） h（x）

+ ↗

0 1

﹣ ↘

﹣ ↘

当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞， 当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞， 当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞， 当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，

故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；

当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；

当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；

由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；

又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3

第25页（共28页）

个交点，由周期性，2013=3×671， ∴依题意得n=671×2=1342．

综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

【点评】本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，属于难题．

本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分. 21．（7分）选修4﹣2：矩阵与变换 已知直线l：ax+y=1在矩阵（I）求实数a，b的值

（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且

，求点P的坐标．

对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1

【分析】（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值； （II）由

得

，从而解得y0的值，又点P（x0，y0）在直

线l上，即可求出点P的坐标．

【解答】解：（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y）， 经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），则有可得可得（II）由

=

，

，又点M′（x′，y′）在直线l′上，∴x+（b+2）y=1， ，解得

得

，从而y0=0，

第26页（共28页）

又点P（x0，y0）在直线l上，∴x0=1， ∴点P的坐标为（1，0）．

【点评】本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，考查矩阵变换，关键是正确利用矩阵的乘法公式．

22．（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为在直线l上．

（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）圆C的参数方程为系．

【分析】（Ⅰ）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较． 【解答】解：（Ⅰ）点A

在直线l上，得

，∴a=

，

，试判断直线l与圆C的位置关

，直线l的极坐标方程为

，且点A

故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2， 得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；

（Ⅱ）消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1 圆心C到直线l的距离d=所以直线l和⊙C相交．

【点评】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及圆的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．

23．设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值

（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．

第27页（共28页）

＜1，

【分析】（Ⅰ）利用接求a的值．

，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直

（Ⅱ）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x﹣2|的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）因为所以解得

且，

，

，

因为a∈N*，所以a的值为1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3， 当且仅当（x+1）（x﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1时取等号， 所以函数f（x）的最小值为3．

【点评】本题考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，转化与化归思想．

第28页（共28页）