几种特殊力做功的归纳总结
李毅 吴玉泰（黑龙江省大庆实验中学黑龙江大庆163316）
原载《中学物理》2013年12月
利用功能关系解决力学问题，是学生应该掌握的最基本的方法之一，也是解决涉及过程复杂问题的有效途径，而利用这种方法能够准确找出力做功的多少是解决此类问题的关键.因此学生能够准确、快速计算功就显得非常重要．然而，这需要学生熟悉关于各种力求功的方法，尤其是特殊力的做功问题.在这里我们进行归纳总结，以作参考．
1恒力功的计算
（1）若拉力F在某运动过程中为恒力，用功的计算公式直接计算，即W = Fscosθ计算力F做功时，特别应弄清是哪个力对物体做了功，位移、是物体在运动过程中对地的位移；
（2）若拉力F在某运动过程中为恒力，作用在绳上，使物体运动了一段距离，则力做功的位移、应该是作用点的位移．
例1如图1所示，某人用恒力F通过滑轮把放在水平而上的物体向右拉动的距离为L，力的方向始终与水平方向成θ角，求拉力F对物体做的功．
A．Fscosθ B．Fs(1 + cosθ)
图1
C．2Fs D．2 Fscosθ
解法一：注意恒力功公式中F与s的同一性，s应是F的作用点发生的位移，作用点的位移如图1中的BB′．因ΔBB′C为等腰三角形，有BB′ = 2scos(θ/2)
所以力F做功为 W = F·BB′·cos(θ/2) = 2Fs cos2(θ/2) = Fs(1 + cosθ) 所以选B． 解法二：由功能转化关系知，人做功就是人通过绳子对木块做功，消耗的都是人的体能，根据功的标量性，人做的功等效为两段绳子对木块做的功，因而有W = Fs + Fscosθ，
解法三：人做的功就是滑轮与木块间的细杆对木块做的功，细杆对木块的水平分力为F(1+cosθ)，其对木块做功为W = Fs(1 + cosθ)．
2可以转化的变力做功问题 2.1滑动摩擦力的计算方法
滑动摩擦力总是与物体的相对运动方向相反而常做负功，而且摩擦力做功的特点是做功的多少不仅与初末位置有关，还与具体的运动路径也有关系，因此训一算摩擦力做功时，摩擦力的功是力与路程的乘积，即W = Fs（在此s为某过程中物体的运动路程）．同时注意摩擦力做功与摩擦生热的区别．
例2如图2所示，AB为1 /4圆弧轨道，半径为R = 0.8m，BC是水平轨道，长s =3m，BC处的摩擦系数为μ =1/15，今有质量m =1 kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止．求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功． 图2
解析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的
阻力、BC段的摩擦力共三个力做功，WG = mgR、fBC = μmg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求．根据动能定理可知，W外 = 0，所以mgR – μmgs – WAB = 0，即WAB = mgR – μmgs = 6J．
在此种类型问题基础上进行扩展：当某力满足大小不变，方向总与运动方向相同（或相反）时，可用分段研究．再求代数和的方法计算整个运动过程的功，即此类变力功也是力与
运动路程的乘积，即W = Fs．
2.2弹簧弹力功的计算方法
在这里弹力特指轻质弹簧的弹力（在弹性限度内，满足胡克定律F = kx），因为弹簧的弹力与形变量成正比，若在某过程中弹簧的形变量从x1 → x2，计算弹力做功时，有
F1+F2W = (x1 – x2)
2（F1和F2为初末状态的弹力）或用功能关系，则弹簧的弹力做功等于弹性势能的变化，即W = – △EP．
例3 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比．在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm．问击第二次时，能击入多少深度?（设铁锤每次做功相等）
解析 铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F = – f = kx，可用平均阻力来代替．
11kx1，做功为W1 = F1平均x1 = kx12； 221第二次击入深度为x1到x2，平均阻力F2平均 = k(x1+x2)，位移为x2 – x1，做功为W2 =
21F2平均(x2 – x) = k(x22 – x12)．
2第一次击入深度为x1，平均阻力F1平均 =
两次做功相等 W1 = W2
解后有 x2 = x1 = 1.41cm，则△x = x2 – x1 = 0.41cm． 3场力做功问题
（1）如果场力是恒力，由做功公式求解．
（2）如果是非匀强场中的场力做功问题可以由动能定理求解． 例4一平行板电容器的电容为C，两板间的距离为d，上板带正
+Q
电，电荷量为Q，下板带负电，电荷量也为Q，它们产生的电场在+ q 无穷远处的电势为零．两个带异号电荷的小球用一绝缘刚性杆相连，
– q 小球的电荷量分别为+q，和 – q，杆长为l（l < d）．现将它们从无穷
– Q
远处移到电容器的两板之间，处于图3所示的静止状态（杆与板而图3 垂直）．在此过程中，电场力对两个小球所做总功的大小等于多少?（设两球移动过程中极板上电荷分布情况不变）．
解法一：设无穷远处为A、正电荷+q，所在处为B，负电荷 – q，所在处为C，根据W = qU得电场力做的功 W = +qUAB + (– qUAC) = qUAB - qUAC = qUC – qUB，即
W = qUCB = – qEl =
-qlUQlq= –． dCd解法二：当小球从无穷远处移至图示位置时，设+q处的电势为φl，– q处的电势为φ2，
则具有的电势能分别为 E1 = qφl，E2 = – qφ2 < 0．
对+q：电势能增加了qφl，所以电场力做负功W1 = qφl，所以电场力做正功W2 = qφ2．电场力做的总功 W = W1 + W2 = – q(φl – φ2)，因两板间的场强 E = U/d = Q/Cd，故两板间的电势差又可表示为φl – φ2 = El = Ql/Cd，所以W = – Qql/Cd．
4汽车牵引力做功问题 当机车启动时，不管是启动还是匀速运动过程，只要我们知道某过程的恒定功率或平均功率，就可以计算在该过程的功W = Pt（P为平均功率）．
例5额定功率为80 kW的无轨电车，最大速度为72km/h，质量为2×103 kg．如果电车从静止开始，先以2 m/s2的加速度匀加速开出，阻力f大小一定．又如果已知电车从静止驶出到增至最大速度共经历21s．求在此过程中，电车通过的位移是多少?
解析：当电车速度达到最大时，牵引力F=f，因此有f = P/vm = 4×103 N
电车做匀加速运动，由牛顿第二定律得F = f + ma = 8×103 N，匀加速结束时 P = Fv，即v = P/F = 10m/s；故匀加速所用时间为t1 = v/a = 5s，无轨电车的位移为s1 =
12
at1 = 25m． 2电车从匀加速结束到速度达到最大过程中的功率为额定功率，由动能定理得 P(t – t1) – s2 =
11mvm2 –mv2 22将数值代入上述方程，解得 s = 245 m，所以在整个过程中的位移s = s1 + s2 = 270m．
5一般变力做功问题总结
（1）对于一般的变力做功，特别是瞬间过程的力做功（比如脚踢球），可用动能定理W = ΔEk．
（2）如果在变力做功时，我们能画出力随位移变化的图象，我们可以用图象与位移轴围成的而积来求功．
O y （3）微元思想用定积分方法求解． x 例6一圆柱形蓄水池高H m，底半径为R m，池内盛满了水．问
x + dx 要把池内的水全部吸出，需做多少功?
解析：建立坐标系如图4取x为积分变量，x∈[0，]，取任H 2
一小区间[x，x + dx]，这一薄层水的重力为πRρgdx，元功dW = x 图4 πR2ρgxdx，则需要做功
x2H12
W = ∫． πRρgxdx=πRρg[]0=πRρgH2（kJ）
022H22
例7自地而垂直向上发射质量为m的火箭，当离地面为h时，克服地球引力做功为多
少？若一去不复返，克服地球引力做的功为多少？并计算第二宇宙速度．
解析：设地球半径为R，地球质量为M，当离地为h时，所受地球引力为F =
GMm2
(R+h)mgR2当h = 0时，F = mg，因而GM = gR，因而 F = 2．
(R+h)2
mgR2设再上升距离dh时，由微元法，功的微元为dw = Fdh =dh
(R+h)211mgR22
故而升至高度为h时，克服地球引力做功W = ∫= mgR( – )． dh0(R+h)2R+hRh当h → + ∞ 时，W = mgR，这时
1mv02 ≥ mgR，即v0 ≥2gR≈ 11.2km/s． 2
