概率论与数理统计习题及答案

3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；

（2） X的分布函数并作图； (3)

133P{X},P{1X},P{1X},P{1X2}.

222【解】

故X的分布律为 X P 0 1 2 （2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

22 3534 35当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数 (3)

4.射手向目标地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

故X的分布律为 X P 分布函数

5.（1） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a0 0.008 1 0.096 2 0.384 3 0.512 kk!，

其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.

（2） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，

试确定常数a.

【解】（1） 由分布律的性质知

故 ae(2) 由分布律的性质知

即

（1） 两人投中次数相等的概率;



a1.

6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：

（2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)

(1) P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)P(X2,Y2)

212(0.4)3(0.3)3C130.6(0.4)C30.7(0.3)+

(2) P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0)

=0.243

7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有

即 利用泊松近似

查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.

8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p，则

故 所以

kN1200k200kCk0.01 200(0.02)(0.98)p

1

3

104142. P(X4)C5()332439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】（1） 设X表示5次试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

(2) 令Y表示7次试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

10.某在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间

隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

【解】（1）P(X0)ekk3252 (2) P(X1)1P(X0)1e, k=0,1,2

P{Y=m}=C4p(1p)mm4m

11.设P{X=k}=C2p(1p)2k, m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X5，试求P{Y≥1}. 91)54，故P(X1). 992而 P(X1)P(X0)(1p)

4(1p)2,

91即 p.

3故得 从而

P(Y1)1P(Y0)1(1p)4650.80247 8112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概

率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

e2250.0018 得 P(X5)5!13.进行某种试验，成功的概率为

31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的44分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】X1,2,,k,

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每

个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为 由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有 (2) P(保险公司获利不少于10000)

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P（保险公司获利不少于20000）P(300002000X20000)P(X5) 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae|x|, ∞求：（1）A值；（2）P{0

f(x)dx1得

1. 211x11(2) p(0X1)edx(1e)

202x11exdxex (3) 当x<0时，F(x)22x101x1|x|xedxedxexdx 当x≥0时，F(x)2202故

A1xe,2故 F(x)11ex2x0

x017.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的

概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

故当x<0时F（x）=0 当0≤x≤a时F(x)当x>a时，F（x）=1 即分布函数

18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即

故所求概率为

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E(xxxf(t)dtf(t)dt001xdt aa1).某顾客在窗口等待服务，若超5过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X1~E()，即其密度函数为

5该顾客未等到服务而离开的概率为

Y~b(5,e2),即其分布律为

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；

第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.

（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则

若走第二条路，X~N（50，42），则

X506050P(X60)P(2.5)0.9938++

44故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若X~N（40，102），则 若X~N（50，42），则

故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X~N（3，22），

（1） 求P{222.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合

23X353 222格品的概率. 【解】P(|X10.050.12X10.05|0.12)P

0.060.0623.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？

【解】P(120X200)P120160X160200160

故

24.设随机变量X分布函数为

4031.25 1.29ABex,x0,F（x）=(0),

x0.0,（1） 求常数A，B；

（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f（x）.

limF(x)1A1x【解】（1）由得

limF(x)limF(x)B1x0x0（2） P(X2)F(2)1e2

ex,x0(3) f(x)F(x)

x00,25.设随机变量X的概率密度为

x,f（x）=2x,0,【解】当x<0时F（x）=0

当0≤x<1时F(x)当1≤x<2时F(x)当x≥2时F(x)0x1,1x2, 其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

x0xxf(t)dtf(t)dt

f(t)dtf(t)dt

0xf(t)dt1

0,2x,2故 F(x)2x2x1,21,x00x1

1x2x226.设随机变量X的密度函数为

（1） f(x)=aeλ|x|,λ>0;

bx,0x1,1(2) f(x)=2,1x2,

x0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【解】（1） 由

f(x)dx1知1ae|x|dx2aexdx02a

故

a

2

xe,x02即密度函数为 f(x)

exx02当x≤0时F(x)当x>0时F(x)故其分布函数 (2) 由1xf(x)dx1exdxex 22xxf(x)dx102exdxx20exdx

f(x)dxbxdx0211b1dx x222得 b=1 即X的密度函数为 当x≤0时F（x）=0 当00当1≤x<2时F(x)当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为

xf(x)dx0dxxdx001x11dx x227.求标准正态分布的上分位点， （1）=0.01，求z; （2）=0.003，求z，z/2. 【解】（1） P(Xz)0.01

即 1(z)0.01 即

(z)0.09

故 z2.33

（2） 由P(Xz)0.003得 即

(z)0.997

查表得 z2.75 由P(Xz/2)0.0015得 即

(z/2)0.9985

查表得 z/22.96

28.设随机变量X的分布律为 X Pk 2 1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值为0，1，4，9

故Y的分布律为

Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=(

1k

), k=1,2,…,令 2P(X2k)

求随机变量X的函数Y的分布律. 【解】P(Y1)P(X2)P(X4)30.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)P(Yy)0

当y>0时，FY(y)P(Yy)P(ey)P(Xlny) 故 fY(y)2xdFY(y)111ln2y/2fx(lny)e,y0 dyyy2π(2)P(Y2X11)1

当y≤1时FY(y)P(Yy)0

当y>1时FY(y)P(Yy)P(2X1y) 故 fY(y)2d1FY(y)dy42fXy1y1y1fX 22(3) P(Y0)1

当y≤0时FY(y)P(Yy)0

当y>0时FY(y)P(|X|y)P(yXy) 故fY(y)dFY(y)fX(y)fX(y) dy32.设随机变量X的密度函数为

2x,0xπ,f(x)=π2

其他.0,试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0Y1)1

当y≤0时，FY(y)P(Yy)0

当033.设随机变量X的分布函数如下：

试填上(1),(2),(3)项.

【解】由limF(x)1知②填1。

x由右连续性

+xx0limF(x)F(x0)1知x00，故①为0。

从而③亦为0。即

34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=

则

故抛掷次数X服从参数为

1.且A1与A2相互。再设C={每次抛掷出现6点}。611的几何分布。 3635.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则

X~b(n,0.1)

即 (0.9)0.1 得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。

36.已知

n0,1F（x）=x,21,则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.

x0,10x,

21x.2（A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型.

【解】因为F（x）在（∞,+∞）上单调不减右连续，且

xlimF(x)0

xlimF(x)1,所以F（x）是一个分布函数。

但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）

37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b]等于（ ）

(A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [π/2,0]; (D) [0,

【解】在[0,3π]. 2π/2π]上sinx≥0，且sinxdx1.故f(x)是密度函数。

02在[0,π]上在[π0sinxdx21.故f(x)不是密度函数。

π,0]上sinx0，故f(x)不是密度函数。 233在[0,π]上，当πxπ时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。

22故选（A）。

38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为X~N(0,2),P(1X3)P(1X3)

利用微积分中求极值的方法，有 得0224,则 0 ln3ln3又 g(0)0 故02为极大值点且惟一。 ln32时X落入区间（1，3）的概率最大。 ln3故当39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物品的概率为p，

并且各个顾客是否购买该种物品相互，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.

em,m0,1,2,【解】P(Xm)m!由全概率公式有

设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即

此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1e2X在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为

由于P（X>0）=1，故0<1e2X<1，即P（0当041.设随机变量X的密度函数为

2x1y)

13,0x1,2f(x)=,3x6,

9其他.0,若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P（X≥k）=

21知P（X1k1dx0333 1 当k=1时P（X311k1若1≤k≤3时P（X031311k2211若30339933若0≤k≤1,P(X6,则P（X故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=

42.设随机变量X的分布函数为

2. 3x1,0,0.4,1x1,F(x)=

0.8,1x3,x3.1,求X的概率分布. （1991研考）

【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为

X P 现的概率.

1 0.4 1 0.4 3 0.2 43.设三次试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出【解】令X为三次试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则

X~b(3,p)

由P（X≥1）=故p=

198知P（X=0）=（1p）3= 27271 344.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】

45.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2P{X<0}= . 【解】0.3P(2X4)P(22X242)

故 因此

2()0.8

X2P(X0)P(022)()

46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可

以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互）.求

（1） 全部能出厂的概率α；

（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β；

（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则

A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}

由题意知B=A∪AB，且

令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）, 故

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的

占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）

故 查表知 从而X~N（72，122） 故 P(60X84)P(24)0.977

242,即σ=12

6072X728472

12121248.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001

和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求：

（1） 该电子元件损坏的概率α;

(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}，

A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N（220，252）知 由全概率公式有 由贝叶斯公式有

49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).

1,1x2【解】fX(x)

0,其他因为P（12Xy)

0,ye2124即 FY(y)lny1,eye

241,ye124,eye故 fY(y)2y

0,其他50.设随机变量X的密度函数为

ex,x0,fX(x)=

0,x0.求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). (1995研考) 【解】P（Y≥1）=1

当y≤1时，FY(y)P(Yy)0 当y>1时，FY(y)P(Yy)P(eXy)P(Xlny)

11,y即 FY(y)0,y>1y1

12,故 fY(y)y0,51.设随机变量X的密度函数为

y>1y1

fX(x)=

1,

π(1x2)求Y=1

3x的密度函数fY(y).

【解】FY(y)P(Yy)P(13Xy)P(X(1y)3)

3(1y)2故 fY(y)

π1(1y)652.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.

（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考） 【解】（1） 当t<0时，FT(t)P(Tt)0

当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有

1et,t0即 FT(t)

t00,即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。

e168（2） QP(T16|T8)P(T16)/P(T8)8e

e53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}. (1997研考)

【解】显然当x<1时F（x）=0；而x≥1时F（x）=1

由题知P(1115X1)1

848x|1X1)x1 2当154. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考) 解： 依题意

x)P(X1)1 8X11N(0,1)，

Y22N(0,1)，则

P{X11}P{X1111}，

P{Y21}P{因为P{XY2212}.

11}P{Y21}，即

P{11X1111}P{Y1212}，

所以有

，即12.

12