高三数学模拟试题理科

高三数学模拟试题理科

第Ⅰ卷〔选择题，共60分〕

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．

1．若集合M＝{x＜|x|＜1}，N＝{x|≤x}，则MN＝〔 〕

A． B． C． D．{x|1x1}{x|0x1}{x|1x0}{x|0x1} 2．若奇函数f〔x〕的定义域为R，则有〔 〕

A．f〔x〕＞f〔-x〕 C．f〔x〕≤f〔-x〕C．f〔x〕·f〔-x〕≤０D．f〔x〕·f〔-x〕＞０ 3．若a、b是异面直线，且a∥平面 ，那么b与平面的位置关系是〔 〕

A．b∥a B．b与相交 C．b D．以上三种情况都有可能 4．〔理〕已知等比数列{}的前n项和，则…等于〔 〕

1n1n(21)n(41)(21)3341A． B． C． D．

n25．若函数f〔x〕满足，则f〔x〕的解析式在下列四式中只有可能是〔 〕

x1log1xxx222A． B． C． D．2

6．函数y＝sinx|cotx|〔0＜x＜〕的图像的大致形状是〔 〕

7．若△ABC的内角满足sinA＋cosA＞0，tanA-sinA＜0，则角A的取值范围是〔 〕 A．〔0，〕 B．〔，〕 C．〔，〕 D．〔，〕 8．〔理〕若随机变量的分布列如下表，则E的值为〔 〕  P 0 2x 1 3x 2 7x 3 2x 4 3x 5 x 11209A． B． C． D．1920

9．〔理〕若直线4x-3y-2＝0与圆有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是〔 〕 A．-3＜a＜7 B．-6＜a＜4 C．-7＜a＜3 D．-21＜a＜19

10．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为〔 〕 A． B． C．mn D．2mn

2(mR)(nR)(mR)(nR)

11．某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①；②；③；④．其中正确的结论是〔 〕 A．仅有① B．仅有② C．②和③ D．仅有③

12．将函数y＝2x的图像按向量平移后得到函数y＝2x＋6的图像，给出以下四个命题：①的坐标可以是〔-3.0〕；②的坐标可以是〔0，6〕；③的坐标可以是〔-3，0〕或〔0，6〕；④的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是〔 〕

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A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷〔非选择题，共90分〕

二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上

f(x)为________．A'B'C'D'C'

13．已知函数，则________．

14．已知正方体ABCD－，则该正方体的体积、四棱锥-ABCD的体积以及该正方体的外接球的体积之比15.〔理〕已知函数在区间〔-1，1〕上是增函数，则实数a的取值范围是________．

16．〔理〕已知数列{}前n项和其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若存在，则________． 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．〔12分〕已知函数．〔1〕若x∈R，求f〔x〕的单调递增区间；〔2〕若x∈[0，]时，f〔x〕的最大值为4，求a的值，并指出这时x的值．

18．〔12分〕设两个向量、，满足||＝2，||＝1，、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

19甲．〔12分〕如图，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等边三角形，ABCD是矩形，AB∶AD＝∶1，F是AB的中点．

111(x1)f()1x23

〔1〕求VC与平面ABCD所成的角；〔2〕求二面角V-FC-B的度数； 〔3〕当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离．

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20．〔12分〕商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款〔年利率5％，按复利计算〕，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．

〔1〕若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；

〔2〕若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元〔精确到元〕．〔参考数据：lg1.7343＝0.2391，lgl.05＝0.0212，＝1.4774〕

21．〔12分〕已知数列{}中，〔n≥2，〕，数列，满足〔〕〔1〕求证数列{}是等差数列； 〔2〕求数列{}中的最大项与最小项，并说明理由； 〔3〕记…，求．

22．〔14分〕〔理〕设双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．

〔1〕求双曲线C的离心率e的值；〔2〕若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为求双曲线c的方程．

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参

1．D 2．C 3．D 4．〔理〕D 〔文〕A 5．C 6．B 7．C 8．〔理〕C 〔文〕A 9．〔理〕B 〔文〕D 10．A 11．C 12．D

13．-2 14．6∶2∶ 15．〔文〕7 〔理〕a≥3 16．〔文〕a≥3〔理〕1 17．解析：〔1〕．

2kπ 解不等式．得

πππππ2x2kπkπxkπ(kZ)26236

∴ f〔x〕的单调增区间为，．

〔2〕∵ ，]， ∴ ．

πππx626f(x)max3a ∴ 当即时，．

πx6 ∵ 3＋a＝4，∴ a＝1，此时．

22e4e1ee21cos601 1212 18．解析：由已知得，，．

2222 ∴ ．(2te17e2)(e1te2)2te1(2t7)e1e27te22t15t7

2x 欲使夹角为钝角，需．得 ．2t15t7027t12

2t2te7ei(ete)(0)7t2t27 212 设．∴ ，∴ ．11414tt21422te17e2e1te2 ∴ ，此时．即时，向量与的夹角为 ．

∴ 夹角为钝角时，t的取值范围是〔-7，〕〔，〕．

19．解析：〔甲〕取AD的中点G，连结VG，CG．

〔1〕∵ △ADV为正三角形，∴ VG⊥AD．又平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线， ∴ VG⊥平面ABCD，则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．

VG 设AD＝a，则，．在Rt△GDC中，

223a2DC2a

2a23VG3GCDCGD2aatanVCG42GC3 ．在Rt△VGC中，．

 ∴ ．即VC与平面ABCD成30°．VCG30

〔2〕连结GF，则．

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FCFB2BC2 而 ．在△GFC中，． ∴ GF⊥FC．

连结VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．

6a2GC2GF2FC2

VGGF3a2

在Rt△VFG中，．∴ ∠VFG＝45°．二面角V-FC-B的度数为135°． 〔3〕设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG＝3． 此时，，，．ADBC23FB6FC32VF32

11SVFCVFFC9SBFCFBBC32VVFCBVBVCF 22 ∴ ，．∵ ，

1VGSFBC1hSVFC13321h9333 ∴ ．∴ ．3

∴ 即B到面VCF的距离为．h22

〔乙〕以D为原点，DA、DC、所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则D〔0，0，0〕，A〔a，0，0〕，B〔a，a，0〕，〔0，0，a〕，E〔a，a，〕，F〔a，，0〕，G〔，a，0〕．

〔1〕，，-a〕，，0，，

aaaD1FEGa()0(a)()0D1FEG 222 ∵ ，∴ ．

〔2〕，a，〕，∴ ．

∴ ．∵ ，∴ 平面AEG．D1FAEEGAEED1F 〔3〕由，a，〕，＝〔a，a，〕，

1a2a2522AED1B15a2222D1B0aaa(a)|AE||DB|41 ∴ ，．cosAE

20．解析：依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．

〔1〕设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80〔元〕＝800000〔元〕＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．

2n1n162[1(15%)(15%)(15%)]500(15%) 依题意有 …．

nn162(1.051)251.051.05n1.7343 化简得．∴ ．

两边取对数整理得．∴ 取n＝12〔年〕．

∴ 到2014年底可全部还清贷款．

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〔2〕设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了8年，

1000x(18)[1(15%)(15%)279(15%)]500(15%)10000 依题意有…．

10.581(0.1x18)5001.0591.051 化简得．

∴ 〔元〕

故每生每年的最低收费标准为992元． 21．解析：〔1〕，而 ，

bnbn1 ∴ ．

an111an11an11(nN)

bnb1 ∴ {}是首项为，公差为1的等差数列．

15a112

〔2〕依题意有，而，∴ ．

对于函数，在x＞3.5时，y＞0，，在〔3.5，〕上为减函数．

故当n＝4时，取最大值3，而函数在x＜3.5时，y＜0，，在〔，3.5〕上也为减函数．故当n＝3时，取最小值，＝-1． 〔3〕，， ∴ ．

(n1)bn2(n1)(n3.5)lim2nnSn1(n1)(n5)lim

22．解析：〔1〕双曲线C的右准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：．

a2aba2ab

P()Q()cccc ∴ 两交点坐标为 ，、，．

∵ △PFQ为等边三角形，则有〔如图〕．

a23ababc2a23abcc()e2c2ccccb3aa∴，即．解得 ，c＝2a．∴ ．

〔2〕由〔1〕得双曲线C的方程为把．

2222yax3a(a3)x23ax6a0

把代入得．

2a30,12a424(a23)a20a26a23 依题意 ∴ ，且．

∴ 双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

222222l(xx)(yy)(1a)(xx)(1a)[(xx)4x1x2] 12121212

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12a424(a21)a2(1a)22(a3)

72a212a4b2c222l12a144a(1a)22(a3)a ∵ ．∴ ．

512a42213 整理得 ．∴ 或．13a77a1020a22x2y213x213y211651153 ∴ 双曲线C的方程为：或．2

〔文〕〔1〕设B点的坐标为〔0，〕，则C点坐标为〔0，＋2〕〔-3≤≤1〕， 则BC边的垂直平分线为y＝＋1 ① ②

y0yy033(x)2y02

y0y26x83y012yy012 由①②消去，得．∵ ，∴ ．

2y6x8(2y2) 故所求的△ABC外心的轨迹方程为：．

〔2〕将代入得．

44x2[2y6x82y233] 由及，得．所以方程①在区间，2有两个实根．

4[22设，则方程③在，2上有两个不等实根的充要条件是：f(x)9x6(b1)xb83]

[6(b1)]249(b28)0，f(4)9(4)26(b1)4b280，33322f(2)926(b1)2b80，46(b1)2．3294b3 之得．

2b2822|x1x2|(x1x2)4x1x2[(b1)]42b7393 ∵

2|EF|1k2|x1x2|102b73 ∴ 由弦长公式，得

|b|d10 又原点到直线l的距离为，

2|EF|20d3 ∴

2b720722011217()b23b2b3b77

11111EF5||max4b4b4d3 ∵ ，∴ ．∴ 当，即时，．4b33b

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