概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

概率论与数理统计

.

实用文档

<概率论>试题

一、填空题

1．设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C不多于一个发生

2．设 A、B为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。则P(BA)＝

3．若事件A和事件B相互, P(A)=,P(B)=0.3，P(AB)=0.7,则 4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词

SCIENCE的概率为

5. 甲、乙两人的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X分布律为P{Xk}5A(1/2)kA=______________

(k1,2,)则

axb,0x17. 已知随机变量X的密度为f(x),且P{x1/2}5/8,则

0,其它a________ b________

8. 设X～N(2,2),且P{2x4}0.3,则P{x0} _________ 9. 一射手对同一目标地进行四次射击，若至少命中一次的概率为射手的命中率为_________

10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是 11.设P{X0,Y0}34，P{X0}P{Y0}，则P{max{X,Y}0} 7780，则该8112.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{aXb,Yc} 13.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{Xa,Yb}

.

实用文档

14.设平面区域D由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。

15.已知X~N(2,0.42)，则E(X3)2＝ 16.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互，则D(3XY) 17.设X的概率密度为f(x)1ex，则D(X)＝ 218.设随机变量X1，X2，X3相互，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=

19.设D(X)25,DY36,xy0.4，则D(XY) 20.设X1,X2,,Xn,是同分布的随机变量序列,且均值为,方差为2,那么当n充分大时,近似有X～ 或 nX～ 。特别是，当

同为正态分布时，对于任意的n，都精确有X～ 或

nX～ .

21.设X1,X2,,Xn,是同分布的随机变量序列,且EXi，

1n2DXi(i1,2,) 那么Xi依概率收敛于 .

ni1222.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的样本，令

Y(X1X2)2(X3X4)2, 则当C 时CY～2(2)。

23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差= 24.设X1,X2,…Xn为来自正态总体1ni服从

ni1.

N(,2)的一个简单随机样本，则样本均值

实用文档

二、选择题

1. 设A,B为两随机事件，且BA，则下列式子正确的是 （A）P (A+B) = P (A); （B）P(AB)P(A); （C）P(B|A)P(B); （D）P(BA)P(B)P(A)

2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为 （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销” （C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 （A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5 4. 对于事件A，B，下列命题正确的是 （A）若A，B互不相容，则A与B也互不相容。 （B）若A，B相容，那么A与B也相容。

（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互。 （D）若A，B相互，那么A与B也相互。 5. 若P(BA)1，那么下列命题中正确的是

（A）AB （B）（C）AB （D）P(AB)0 BA 6． 设X～N(,2),那么当增大时，P{X} A）增大 B）减少 C）不变 D）增减不定。

7．设X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，且f(x)f(x)。那么对任意给定的a都有

A）f(a)1f(x)dx B） F(a)0aa1f(x)dx 20 C）F(a)F(a) D） F(a)2F(a)1 8．下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是

.

实用文档

A）F(x)1111 B） F(x)arctanx x221xx(1e),x0 C）F(x)2 D） F(x)f(t)dt，其中f(t)dt1

0,x09． 假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是

A）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).

Aex,x10．已知随机变量X的密度函数f(x)=(>0,A为常数)，则概率

x0,P{X<+a}（a>0）的值

A）与a无关，随的增大而增大 B）与a无关，随的增大而减小 C）与无关，随a的增大而增大 D）与无关，随a的增大而减小 11．X1,X2,且分布率为 (i1,2),那么下列结论正确的是 A）X1X2正确

Ｂ）P{X1X2}1 C）P{X1X2}12Ｄ）以上都不

(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) P1/61/91/181/312．设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 且X,Y相互，则

A） 2/9,1/9 B） 1/9,2/9 C） 1/6,1/6 D） 8/15,1/18

2)那么(X,Y)的联合分布为 13．若X～(1,12)，Y～(2,2 A） 二维正态，且0 B）二维正态，且不定 C） 未必是二维正态 D）以上都不对

14．设X，Y是相互的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是

A）FZ（z）= max { FX(x),FY(y)}; B) FZ（z）= max { |FX(x)|,|FY(y)|}

.

实用文档

C) FZ（z）= FX（x）·FY(y) D)都不是

15．下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

cosx,x,0y1 A）f(x,y)= 220,其他1cosx,x,0yB) g(x,y)=222

0,其他cosx,0x,0y1C) (x,y)=

其他0,1cosx,0x,0yD) h(x,y)=2

0,其他16．掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为

A） 50 B） 100 C）120 D） 150

117． 设X1,X2,X3相互同服从参数3的泊松分布，令Y(X1X2X3)，

3则

E(Y2) A）1. B）9. C）10. D）6. 18．对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)E(X)E(Y)，则

A）D(XY)D(X)D(Y) B）D(XY)D(X)D(Y) C）X和Y D）X和Y不

19．设P()(Poission分布)，且E(X1)X21，则=

A）1， B）2， C）3， D）0 20． 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(XY)DXDY是X和Y的

A）不相关的充分条件，但不是必要条件； B）的必要条件，但不是充分条件；

.

实用文档

C）不相关的充分必要条件； D）的充分必要条件 21．设X～N(,2)其中已知，2未知，X1,X2,X3样本，则下列选项中不是统计量的是

A）X1X2X3 B）max{X1,X2,X3} C）i13Xi22 D）X1

22．设X～(1,p) ,X1,X2,,Xn,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是

p(1p)A）当n充分大时，近似有X～Np,

nkkB）P{Xk}Cnp(1p)nk,k0,1,2,,n

kkkC）P{X}Cnp(1p)nk,k0,1,2,,n

nkkp(1p)nk,1in D）P{Xik}Cn23．若X～t(n)那么2～ A）F(1,n) B）F(n,1) C）2(n) D）t(n)

24．设X1,X2,Xn为来自正态总体N(,2)简单随机样本，X是样本均值，记

1n1n1n2222S(XiX)，S2(XiX)，S3(Xi)2， n1i1ni1n1i1211nS(Xi)2，则服从自由度为n1的t分布的随机变量是

ni124A) tXS1/n1 B) tXS2/n1 C) tXS3/n D) tXS4/n

25．设X1,X2,…Xn，Xn+1, …,Xn+m是来自正态总体N(0,2)的容量为n+m的样本，

mi2ni2in1i1nmn则统计量V服从的分布是

A) F(m,n) B) F(n1,m1) C) F(n,m) D) F(m1,n1)

.

实用文档

三、解答题

1．10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。 2.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。

1） 3本一套放在一起。 2）两套各自放在一起。 3）两套中至少有一套放在一起。

3.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。 1）至少购买一种电器的； 2）至多购买一种电器的； 3）三种电器都没购买的；

4．仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。 5．一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？ 6．有标号1∼n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。

7．从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回 （2）不放回

x8．设随机变量X的密度函数为f(x)Ae (x),

求 (1）系数A, (2) P{0x1} (3) 分布函数F(x)。

.

实用文档

9．对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[a,b]内。求体积的密度函数。 10．设在重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

11．公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高XN(168,72),问车门的高度应如何确定？

12． 设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-x). 求：（1）系数A与B；

（2）X落在（-1，1）内的概率； （3）X的分布密度。

13．把一枚均匀的硬币连抛三次，以X表示出现正面的次数，Y表示正、反两面次数差的绝对值 ，求(X,Y)的联合分布律与边缘分布。 14．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为

xyF(x,y)A(Barctan)(Carctan)

23求（1）A、B、C的值， （2）(X,Y)的联合密度， （3） 判断X、Y的性。

Ae(3x4y),x0,y015．设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=,

其他0,求 （1）系数A；（2）落在区域D：{0x1,0y2}的概率。 16． 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)Ay(1x),0x1,0yx，

（1）求系数A，（2）求(X,Y)的联合分布函数。

17．上题条件下：（1）求关于X及Y的边缘密度。 （2）X与Y是否相互？ 18．在第16）题条件下，求f(yx)和f(xy)。

19．盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数

X的数学期望E(X)和方差D(X)。

20． 有一物品的重量为1克，2克，﹒﹒﹒，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组

.

实用文档

为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?

21． 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。

22．设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？

23．一袋中有n张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，n，从中有放回地抽取出k张来，以X表示所得号码之和，求E(X),D(X)。

24．设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f

k,0x1,0yx(x ,y)=

其他0,求：① 常数k， ② EXY及D(XY).

25．设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

26．一系统是由n个相互起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为

0.9，且必须至少由 80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.95？

27．甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于

1%。

28．设总体X服从正态分布，又设X与S2分别为样本均值和样本方差，又设

Xn1N(,2)，且Xn1与X1,X2,,Xn相互，求统计量 Xn1XSn的n1分布。

29．在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互且同服从正态分布N(,0.22)，若以Xn表示n次称量结果的算术平均值，为使

.

实用文档

PXna0.10.95成立，求n的最小值应不小于的自然数？

30．证明题 设A，B是两个事件，满足P(BA)P(BA)，证明事件A，B相互。

31．证明题 设随即变量X的参数为2的指数分布，证明Y1e2X在区间（0，1）上服从均匀分布。

.

实用文档

<数理统计>试题

一、填空题

1．设X1,X2,,X16 是来自总体X~N(4,2) 的简单随机样本，2已知，令

4X16116XXi，则统计量服从分布为 （必须写出分布的参

16i1数）。

2．设X~N(,2)，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X中抽取的样本，则的矩估计值为 。

3．设X~U[a,1]，X1,,Xn是从总体X中抽取的样本，求a的矩估计为 。

4．已知F0.1(8,20)2，则F0.9(20,8) 。

ˆ都是参数a的无偏估计，如果有 成立 ，则称ˆ有ˆ和ˆ是比5．效的估计。

6．设样本的频数分布为

X 0 1 2 3 4 频数 1 3 2 1

2

则样本方差s2=_____________________。

7．设总体X~N（μ，σ²），X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D（X）＝________________________。

8．设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，X1，X2，…，Xn为其

样本。若假设检验问题为H0：2＝1H1：21，则采用的检验统计量应

.

实用文档

________________。

9．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, …，

xn）落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。

10．设样本X1，X2，…，Xn来自正态总体N（μ，1），假设检验问题为：

则在H0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域H0：＝0H1：0，W应为______________________。

11．设总体服从正态分布N(,1)，且未知，设X1,,Xn为来自该总体的一个

1nXXini1样本，记，则的置信水平为1的置信区间公式是 ；若

已知10.95，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n至少要取__ __。

2X,X,,XN(,)的一个简单随机样本，12n12．设为来自正态总体其中参数n1n22Q(XX)XXii2ni1i1和均未知，记，，则假设H0：0的t检

验使用的统计量是 。（用X和Q表示）

2X~N(,)，且已知、2未知，设X1,X2,X3是来自该总体的一13．设总体

1(X1X2X3)2X2X3XX2X2X2X22323，1个样本，则3，1，(1)中是统计量的有 。

14．设总体X的分布函数F(x)，设X1,X2,,Xn为来自该总体的一个简单随机样本，则X1,X2,,Xn的联合分布函数 。

15．设总体X服从参数为p的两点分布，p（0p1）未知。设X1,,Xn是

来自该总体的一个样本，则计量的有 。

X,(Xii1i1nn2X),Xn6,max{Xi},XnpX1i1in中是统

16．设总体服从正态分布N(,1)，且未知，设X1,,Xn为来自该总体的一个

.

实用文档

1nXXini1样本，记，则的置信水平为1的置信区间公式是 。

2217．设X~N(X,X)，Y~N(Y,Y)，且X与Y相互，设X1,,Xm为来自

总体X的一个样本；设Y1,22,Yn为来自总体Y的一个样本；SXSY和分别是其无

22SX/X22偏样本方差，则SY/Y服从的分布是 。

18．设XN,0.32，容量n9，均值X5，则未知参数的置信度为0.95的置信区间是 (查表Z0.0251.96）

19．设总体X～N(,2)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D（X）＝________________________。

20．设总体X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ未知，X1，X2，…，Xn为其样

本。若假设检验问题为H0：2＝1H1：21，则采用的检验统计量应________________。

21．设X1,X2,,Xn是来自正态总体N(,2)的简单随机样本，和2均未知，

n1n2记XXi,(XiX)2,则假设H0:0的t检验使用统计量Tni1i1＝ 。

1m1n22．设XXi和YYi分别来自两个正态总体N(1,12)和N(2,22)的

mi1ni12样本均值，参数1，2未知，两正态总体相互，欲检验H0:122 ，应

用 检验法，其检验统计量是 。

23．设总体X～N(,2)，,2为未知参数，从X中抽取的容量为n的样本均

*值记为X，修正样本标准差为Sn，在显著性水平下，检验假设H0:80，

H1:80的拒绝域为 ，在显著性水平下，检验假设H0:202（0已知），H1:102的拒绝域为 。

.

实用文档

24．设总体X～b(n,p),0p1,X1,X2,,Xn为其子样，n及p的矩估计分别是 。

25．设总体X～U0,,(X1,X2,,Xn)是来自X的样本，则的最大似然估计量是 。

26．设总体X～N(,0.92)，X1,X2,,X9是容量为9的简单随机样本，均值x5，则未知参数的置信水平为0.95的置信区间是 。

27．测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下： +2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4 则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是

28．设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的样本，令

Y(X1X2)2(X3X4)2, 则当C 时CY～2(2)。

29．设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差= 30．设X1,X2,…Xn为来自正态总体1n值i服从

ni1N(,2)的一个简单随机样本，则样本均

二、选择题

1.X1,X2,,X16是来自总体X~N(0，1）的一部分样本，设：

2222ZX1X8YX9X16，则

Z~（ ） Y(A)N(0,1) (B)t(16) (C)2(16) (D)F(8,8)

2.已知X1,X2,,Xn是来自总体的样本，则下列是统计量的是（ ）

1n12(A)XX +A (B)(C)XaX +10 (D)XaX1+5 n1i1i33.设X1,,X8和Y1,,Y10分别来自两个相互的正态总体N(1,22)和N(2,5).

实用文档

的样本, S12和S22分别是其样本方差，则下列服从F(7,9)的统计量是( )

2S124S125S125S12 (B) (C) (D) 2 (A)2224S25S25S22S21n4.设总体X~N(,)，X1,,Xn为抽取样本，则(XiX)2是（ ）

ni12(A)的无偏估计 (B)2的无偏估计 (C)的矩估计 (D) 2的矩估计

5、设X1,,Xn是来自总体X的样本，且EX，则下列是的无偏估计的是（ ）

1n11n11n1nXi (C)Xi (D)Xi (A)Xi (B)ni1n1i1ni2n1i12X,X,,XN(,)的一个样本，若进行假设检验，当12n6．设为来自正态总体

t__ __时，一般采用统计量

X0S/n

2222未知，检验＝已知，检验＝00(A) (B) 22(C)未知，检验＝0 (D)已知，检验＝0

7．在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为样本，则下列说法正确的是___ __ (A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验

mi的

(C)方差分析中

Se(yijyi.)2i1j1rrmi包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D)方差分析中

SAmi(yi.y)2i1包含了随机误差外,还包含效应间的差异

8．在一次假设检验中，下列说法正确的是______ (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变

.

实用文档

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

2X~N(,)的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，9．对总体

意义是指这个区间

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值 (C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含的值 10．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 (B)在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率 (C)在H00成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 (D)在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率 11. 设总体X服从正态分布N,2,X1,X2,大似然估计为

221n1n1n2XiX （C）Xi （D）（A）XiX （B）ni1n1i1ni1,Xn是来自X的样本，则2的最

X2

212.X服从正态分布，EX1，EX5，(X1,,Xn)是来自总体X的一个样

本，则

X1ni1Xin服从的分布为___ 。

(A)N(1,5/n) (B)N(1,4/n) (C)N(1/n,5/n) (D)N(1/n,4/n)

2X,X,,XN(,)的一个样本，若进行假设检验，12n13．设为来自正态总体

UX0当___ __时，一般采用统计量

/n

2222未知，检验＝已知，检验＝00(A) (B) 22未知，检验＝0(C) (D)已知，检验＝0

14．在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为mi的样本，则下列说法正确的是____ _ (A)方差分析的目的是检验方差是否相等

.

实用文档

(B)方差分析中的假设检验是双边检验

(C) 方差分析中

Se(yijyi.)2i1j1rrmi包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D) 方差分析中

SAmi(yi.y)2i1包含了随机误差外,还包含效应间的差异

15．在一次假设检验中，下列说法正确的是___ ____ (A)第一类错误和第二类错误同时都要犯

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误

(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

ˆˆˆ16．设是未知参数的一个估计量，若E，则是的___ _____

(A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计 17．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, …，

xn）落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为__________。 (A) 0.1 (B) 0.15 (C) 0.2 (D) 0.25

18.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用

（A）t检验法 （B）u检验法 （C）F检验法 （D）检验法 19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有 （A）样本值与样本容量 （B）显著性水平 （C）检验统计量 （D）A,B,C同时成立

20.对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受

H0:0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是

2（A）必须接受H0 （B）可能接受，也可能拒绝H0 （C）必拒绝H0 （D）不接受，也不拒绝H0

21.设X1,X2,,Xn是取自总体X的一个简单样本，则E(X2)的矩估计是 .

实用文档

1n1n22S(XiX)S2(XiX)2n1i1ni1（A）（B）

2122SXS12（C） （D）X

2222.总体X～N(,2)，2已知，n 时，才能使总体均值的置信水平为0.95的置信区间长不大于L

（A）152/L2 （B）15.362/L2 （C）162/L2 （D）16 23.设X1,X2,,Xn为总体X的一个随机样本，E(X),D(X)2，

C(Xi1Xi)2为 2的无偏估计，C＝ i12n1（A）1/n （B）1/n1 （C） 1/2(n1) （D） 1/n2 24.设总体X服从正态分布N,2,X1,X2,大似然估计为

221n1n1n2Xi （D）（A）XiX （B）XiX （C）nni1n1i1i1,Xn是来自X的样本，则2的最

X2

25.设X～(1,p) ,X1,X2,,Xn,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是

p(1p)(A)当n充分大时，近似有X～Np,

nkk(B)P{Xk}Cnp(1p)nk,k0,1,2,,n

kkk(C）P{X}Cnp(1p)nk,k0,1,2,,n

nkkp(1p)nk,1in (D）P{Xik}Cn26.若X～t(n)那么2～ 2F(1,n)F(n,1)(A） (B） (C）(n) (D）t(n)

27.设X1,X2,Xn为来自正态总体N(,2)简单随机样本，X是样本均值，记

.

实用文档

1n1n1n2222S(XiX)，S2(XiX)，S3(Xi)2， n1i1ni1n1i1211nS(Xi)2，则服从自由度为n1的t分布的随机变量是

ni124(A) tXS1/n1

(B) tXS2/n1 (C) tXS3/n (D)

tXS4/n28.设X1,X2,…Xn，Xn+1, …,Xn+m是来自正态总体N(0,2)的容量为n+m的样本，则

mi2ni2in1i1nmn统计量V服从的分布是

(A) F(m,n) (B) F(n1,m1) (C) F(n,m) (D)

F(m1,n1)

29．设 X~N,2，其中已知,2未知,X1,X2,X3,X4为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿

14 (Ａ)XXi (Ｂ)X1X42

4i114(Ｃ)K2(XiX) (Ｄ)S(XiX)

i13i1122430. 设 ~N,2，其中已知，2未知，X,X,X为其样本， 下列各项

123不是

统计量的是（ ）

(A)1(X2X2X2) (Ｂ)X3

11232(Ｃ)max(X,X,X) (D)1(XXX)

1231233.

实用文档

三、计算题

1.已知某随机变量X服从参数为的指数分布，设X1,X2,,Xn是子样观察值，求的极大似然估计和矩估计。（10分）

2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 已知原来直径服从N(,0.06)，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定（0.05，Z0.051.5，Z0.0251.96）（8分） 3.某包装机包装物品重量服从正态分布N(,42)。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为x900，样本均方差为S22，试检查今天包装机所包物品

22（15）27.488）重量的方差是否有变化？（0.05）（0（8.975(15)6.262，0.025分）

(1)x0x14.设某随机变量X的密度函数为f(x) 求的极大似然估

其他0计。 （6分）

5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为20.04，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对0.05求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）

(Z0.051.5,Z0.0251.96)

6.某种动物的体重服从正态分布N(,9)，今抽取9个动物考察，测得平均体重为（0.05）（8分）51.3公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤。（Z0.051.5Z0.0251.96）

0x1(a1)xa7.设总体X的密度函数为：f(x) ， 设X1,,Xn是

其他0（10分） X的样本，求a的矩估计量和极大似然估计。

8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样

.

实用文档

2算得S0.2，求的置信区间（0.1，（8(11)19.68，2(11)4.57）

212分）

9．某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单

211.3，s2位：cm）后算得x＝175.9，y＝172.0；s129.1。假设两市新生

身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2)，Y-N（μ2，σ2）其中σ2未知。试求μ1－μ2的置信度为0.95的置信区间。（t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010） 10．（10分）某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。 随机地抽查了9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得x20（分

22钟），无偏方差的标准差s3。若假设此样本来自正态总体N(,)，其中,均未知，试求的置信水平为0.95的置信下限。

2N(,)，且与2都未知，设X1,11．（10分）设总体服从正态分布

,Xn为

来自总体的一个样本，其观测值为x1,求和的极大似然估计量。

1n1n2XXiSn(XiX)2,xn，ni1ni1设，。

12．（8分）掷一骰子120次，得到数据如下表

出现点数 次数 2 1 2 3 4 5 6 x 20 20 20 20 40－x 若我们使用检验，则x取哪些整数值时，此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05下被接受？

2X~N(,)正态分布， 13.（14分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从

22规定每袋标准重量为1kg,方差0.02。某天开工后，为检验其机器工作

是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数

据为：均值为x0.998，无偏标准差为s0.032，

.

(xx)ii1n20.008192。

实用文档

问(1)在显著性水平0.05下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异？

(2) 在显著性水平0.05下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？

(3)你觉得该天包装机工作是否正常？ 14．（8分）设总体X有概率分布

取值 xi 1 2 3 2概率 pi 2 2(1) (1) 现在观察到一个容量为3的样本,x11,x22,x31。求的极大似然估计值? 15．（12分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间X（秒）和 腐蚀深度Y（毫米）的数据见下表：

X 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120

Y 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46

假设Y与X之间符合一元线回归模型Y01X

（1）试建立线性回归方程。

（2）在显著性水平0.01下，检验H0:10

16. (7分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产量

机器 日 产 量 I 138 144 135 149 143 II 163 148 152 146 157 III 155 144 159 141 153 现把上述数据汇总成方差分析表如下

.

实用文档

方差来源 A e T 平方和 352.933 3.733 自由度 12 14 均方和 F比 17.（10分）设总体X在(0,)(0)上服从均匀分布，X1,,Xn为其一个

Xmax{X1,,Xn}样本，设(n)

XE[X(n)]p(x)(1)(n)的概率密度函数n (2)求

218.（7分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从X~N(,)正态分布，规定22每袋标准重量为1kg,方差0.02。某天开工后，为检验其机器工作是否

正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为x0.998，无偏标准差为s0.032，在显著性水平0.05下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？

2N(,)，X1,19.（10分）设总体X服从正态分布

,Xn是来自该总体的一个

1kXkXi(1kn1)ki1样本，记，求统计量Xk1Xk的分布。

20．某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高

211.3，s2（单位：cm）后算得x＝175.9，y＝172.0；s129.1。假设两市新生

身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2)，Y-N（μ2，σ2）其中σ2未知。试求μ1－μ2的置信度为0.95的置信区间。（t0.025(9)=2.2622,t0.025(11)=2.2010）

<概率论>试题参

一、填空题

1． （1） ABC （2） ABCABCABC

.

实用文档

（3） BCACAB 或 ABCABCABCABC

2． 0.7， 3．3/7 ， 4．4/7! = 1/1260 ， 5．0.75， 6． 1/5， 7． 8．0.2， 9．2/3， 10．4/5， 11． a1，b1/2，5/7，12．F(b,c)-F(a,c)， 13．F (a,b)， 14．1/2， 15．1.16， 16．7.4， 17．1/2， 18．46， 19．85 220．N(,2n),N(0,1),N(,n),N(0,1)； 21．22， 1/8 ， 23．=7，S2

=2 ， 24．N2,n，

二、选择题

1．A 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B 10 ．C

11．C 12．A 13．C 14．C 1 5．B 16．B 17．C 18．B 20 ．C

21．C 22．B 23．A 24．B 25．C 三、解答题 1. 8/15 ；

2. （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21; 3. （1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72; 4. 0.92;

5. 取出产品是B厂生产的可能性大。 6. m/(m+k);

7.（1）

P{XK}(3/13)k1(10/13) （2） X 1 2 3 4

P 10/13 (3/13)(10/12) (3/13)(2/12)(10/11) (3/13)(2/12)(1/11) .

22，

9．C 19．A 实用文档

1xe,x0128. （1）A＝1/2 ， （2）(1e1) ， （3）F(x)

211ex,x0209. f(x)161/312/3ba()3x10. n4

其他 ， x()a3,()b36611. 提示：P{xh}0.01或P{xh}0.99，利用后式求得h184.31（查表

(2.33)0.9901） 1A=1/2，B=12. ○13.

X12 1/2； ○3 f (x)=1/[(1+x2)] ； ○0 1 3/8 2 3/8 3 Y 1 3 Pj 3/4 1/4 1 0 1/8 1/8 0 1/8 1/8 0 3/8 0 3/8 Pi 14. （1）A立 ；

12,B2,C2 ；（2） f(x,y)6；（3） 独

2(4x2)(9y2)15. (1) 12; (2) (1-e-3)(1-e-8) 16. （1）A24

03y48y312(xx2/2)y2（2）F(x,y)3y48y36y24x33x41x0或y00x10yxx10y1 0x1xyx1y112x2(1x),0x112y(1y)2,0y1 17. （1）fx(x) ； fy(y)

0,其他0,其他（2）不

.

实用文档

2y,0yx,0x118. fYX(yx)x2 ；

其他0,2(1x),2 fXY(xy)(1y)0,19. E(X)20. 丙组 21. 10分25秒 22. 平均需赛6场

k(n1)k(n21),D(X)23. E(X) ; 212yx1,0y1其他

12,7D(X)24 4924. k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144 25. 0.9475 26. 0.9842 27. 537 28. t(n1) 29. 16

30. 提示：利用条件概率可证得。

2e2xf(x)031. 提示：参数为2的指数函数的密度函数为

利用Y1e2xx0x0 ，

1ln(1y)的反函数x20即可证得。

<数理统计>试题参

一、填空题

1n2nˆ)D(ˆ) 1．N(0,1)， 2．Xi=1.71， 3．xi1， 4．0.5， 5．D(ni1ni1.

实用文档

n22

6．2 ， 7．， 8．(n-1)s或(xi-x)2， 9．0.15 ， 10．|u|u，

ni12其中uxn

Xu111．

21nt, 385；

12．

XQn(n1) 222XXX， X(1)2 ； 14．F(x1,12313．

F(xi),xn)为i1，

n15．

X,(Xii1i1nniX),Xn6,max{Xi}21inXu1 ；

16．

21n，

2n2F(m,n)17．， 18．(4.808，5.196)， 19．， 20．(n-1)s或(xi-x)2 ，

ni1m21． TXn(n1)i1， 22．F，F ， nQ(m1)(YiY)2i1(n1)(XiX)223

X80S*n__nn22(xx)(xx)ii22i1i1nt(n1),(n1)(n1)， 22100222．

XS224．n,p1 ， 25．max{X1,X2,,Xn} ，

pX2N, 26． 27．2 ， 28．1/8 ， 29． S=2， 30．=7，[4.412,5.588]，

n2

二、选择题

1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．A 9．D 10．C

11．A 12．B 13．D 14．D 15．C 16．D 17．B 18．B

.

实用文档

19．D 20．A

21．D 22．B 23．C 24．A 25．B 26．A 27．B 28．C 29．C 30．A 三、计算题 1．（10分）

解：设X1,X2,,Xn是子样观察值 极大似然估计： L()ei1nxiennxii1n

lnL()nlnxi

i1lnL()nnxi0

i1 1 x 矩估计：

E(X)xexdx01 1n样本的一阶原点矩为：XXi

ni1所以有：EXX2．（8分）

1ˆ1 XX解：这是方差已知，均值的区间估计，所以有： 置信区间为：[XZ,XZ] n2n21由题得：X(14.615.114.914.815.215.1)14.95

6 0.05.

Z0.0251.96n6

实用文档

代入即得：[14.950.060.061.96,14.951.96] 66所以为：[14.754,15.146] 3．（8分） 解：统计量为：

(n1)S2~X2(n1)

22242，H1：20H0：20

n16，S22，242代入统计量得

21.8750.975(15)6.262

1521.875 16所以H0不成立，即其方差有变化。 4．（6分）

解：极大似然估计：

L(X1,,Xn；)(1)Xi(1)(Xi)

ni1i1nnlnLnln(1)lnXi

i1ndlnLnlnXi0 d1i1nˆ 得 nlnXii1nlnXi1n

i5．（8分）

解： 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：

[xZ,xZ] n2n2由题意得：

x15.

20.040.05n9代入计算可得

实用文档

[150.20.21.96,151.96] 化间得：[14.869,15.131] 996．（8分）

解：H0:052，H1:0

xn251.3520.7 391.96

|0.7|0.70.0251.96

所以接受H0，即可以认为该动物的体重平均值为52。 7．（10分） 解： 矩估计为：

1E(X)x(a1)xadx0a1a21a1 x0a2a21n样本的一阶原点矩为：Xxi

ni1所以有：

a12X1ˆXa

a21X极大似然估计：

f(x1,x2,,xn)[(a1)xi](a1)xai

ani1i1nn两边取对数：lnf(x1,,xn)nln(a1)aln(xi)

i1nnlnfln(xi)=0 两边对a求偏导数：

a1ai1nˆ1所以有：anln(x)ii1n

8．（8分）

.

实用文档

解：由212(n1)S2222得 2 2(n1)S222，(n1)S221

2(n1)S2(n1)S2所以的置信区间为：[，] 22(11)(11)212将n12，S0.2代入得 [0.15，0.31]

9．解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知，

2n15,n26,x175.9，y172，s111.3，s2，0.05.29.1

2(n1-1)s1(n2-1)s22swn1n2-2 (2分)

（4分）

=3.1746,

选取t0.025(9)=2.2622,

则1－2置信度为0.95的置信区间为： x-y-t(n1n2-2)sw21111,x-yt(n1n2-2)sw (8分) n1n2n1n22 (10分)

＝[-0.4484,8.2484].

注：置信区间写为开区间者不扣分。 10． 解：由于未知，故采用

2(n1)S22~2(n1)作枢轴量 （2分）

要求P(L)1 （2分）

22P()1， L这等价于要求

P(也即

P((n1)S22(n1)S2(n1)S22L)1 （2分）

而

.

212(n1))1 （2分）

实用文档

(n1)S22(n1)S2所以

221(n1)L，故

L21(n1) （1分） n1)S2故的置信水平为1L(的置信下限为

21(n1)

由于这里n9，0.05，20.95(8)15.507

所以由样本算得ˆL2.155 （1分） 即的置信水平为0.95的置信下限为2.155。 11． 解：写出似然函数

nxxi)2i)2(1L(,2)n1(22(22)nei222

i12e （4分）

lnL(,21n)nln(222)22(x2取对数

i)i1 （2分）

求偏导数，得似然方程

lnL1n(x2i)02i1lnLn2n13(xi)0i1 （3分）

解似然方程得：ˆX，ˆS2n （1分）

12．解：设第i点出现的概率为pi，i1,,6

H0:p1p2p616，H1:p1,p2,,p16中至少有一个不等于62r(ninp2采用统计量 i)i1npi (1分) 在本题中，r6，0.05，20.95(5)11.07 (1分)

所以拒绝域为W{211.107} (1分) 算实际的2值，由于npi1201620，所以

.

(1分)

实用文档

(ninpi)2(x20)24(2020)2(20x)2(x20)2np2010i1i (1分)

26(x20)2011.10710 所以由题意得时被原假设被接受

即9.46x30.54，故x取[10,30]之间的整数时， (2分) 此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05下被接受。(1分)

13. 解：“这几天包装是否正常”，即需要对这天包装的每袋食盐净重的期望与方差分别作假设检验

(1)（检验均值，总共6分）H0:1，H1:1 选统计量，并确定其分布

tX1~t(n1)S/n

确定否定域

W{|t|t1}{|t|2.306}2

t 统计量的观测值为 因为

x10.1875s/n

2|t|0.18752.306t1，所以接受H0:1。

(2)（检验方差，总共6分）

H0:20.022，H0:20.022

120.02选统计量

2(Xi1niX)2~2(n1)

222W{(n1)}{15.5} 1确定否定域

1n80.03222(xix)20.48220.020.02i1统计量的观测值为

2222220.4815.5(n1)H:0.0210因为，所以拒绝

(3)（2分）结论：综合(1)与(2)可以认为，该天包装机工作是不正常的。 14．解：此时的似然函数为

L()P(X11,X22,X31)P(X11)P(X22)P(X31) （2分）

225L()2(1)2(1) （2分） 即

.

实用文档

lnL()ln25lnln(1) （1分）

dlnL()51d1 （1分）

dlnL()0d令 （1分）

得的极大似然估计值

ˆ56.（1分）

15．解：(1)解：根据公式可得

ˆˆ Y01X

ˆlXY0lXXˆYˆX11 其中 （2分） lXXn

lXY1nXnX(XiX)X(Xi)2ni1i1i1i1 （1分）

2i222innnnnn1nXiYinXY(XiX)(YiY)XiYi(Xi)(Yi)ni1i1i1i1i1（1分）

ˆ4.3750ˆ0.323 用上述公式求得1 （2分）

ˆ4.3750.323X 即得线性回方程为YST(yiy)14.5312i111(2)，

ˆiy)21418.8744SR(yi111

SESTSR45.6565 （1分）

检验假设H0:10,H1:10 （1分）

H0的检验统计量为H0FSRSE/(n2)F1(1,n2) （1分）

的临界值

F1(1,n2)F0.01(1,9)10.6F（1分）

由前面的计算可知

SR279.67910.6F1(1,n2)SE/(n2)（1分）

所以在显著性水平0.01下，拒绝原假设，认为10。（1分）

.

实用文档

16．解： (1)

方差来源 A e T 平方和 352.933 540.8 3.733 自由度 2 12 14 均方和 176.467 45.067 （每空1分，共5分） (2)又因为F3.916F0.95(2,12)3.，所以样本落入拒绝域，即认为三台机器的生产能力有显著差异。 （2分） 17． 解：(1)由公式可得

xn110＜x＜1　n()•，　pn(x)X(n)0 , 其它的概率密度函数 （5分） nn10＜x＜1　nx，　pn(x)0 , 其它即 （2分）

E[X(n)]x•pn(x)dxx•0011F比 3.916 n(2)

nxn1dxnn1 （3分）

2222H:0.02H:0.020018． 解：， （2分）

120.02选统计量

2(Xi1niX)2~2(n1) （2分）

222W{(n1)}{15.5} （1分） 1确定否定域

1n80.03222(xix)20.48220.02i10.02统计量的观测值为 （1分）

2222220.4815.5(n1)H:0.0210因为，所以拒绝 （1分）

19．解：因为正态分布的线性组合还是正态分布

所以Xk1Xk服从正态分布 （2分）

所以下面只需要确定这个正态分布的期望与方差就可以了。

1k11kXk1XkXiXik1ki1 i1由于

.

实用文档

1k1k1k(XiXi)ki1 k1i1

k1k11k(XiXiXi)k1ki1i1i1

1(Xk1Xk)k1 （3分）

由于Xk1与Xk是相互的，且求得

E[11(Xk1Xk)](EXk1EXk)0k1k1 （2分）

Var[11(Xk1Xk)][Var(Xk1)Var(Xk)]k1(k1)2

2112[]22kk(k1) （2分） (k1)可知统计量Xk1Xk服从正态分布

N(0,12)k(k1) （1分）

20．解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知，

2n15,n26,x175.9，y172，s111.3，s2，0.05.29.1

2(n1-1)s1(n2-1)s22swn1n2-2 (2分)

（4分）

=3.1746,

选取t0.025(9)=2.2622,

则1－2置信度为0.95的置信区间为： x-y-t(n1n2-2)sw21111,x-yt(n1n2-2)sw (8分) n1n2n1n22 (10分)

＝[-0.4484,8.2484].

注：置信区间写为开区间者不扣分。

.

实用文档

.