分式形式函数值域

分式函数求值域方法

一：只在分母中含有变量的

12xx2

例1

y分析：求值域之前要考虑函数的定义域。只在分母上含有变量，可先求分母部分函数的取值范围，再利用整体代换的思想求反比例函数的值域。

x2xx解：函数的定义域为

1992xx2(x)2244 又

20

令t2xx，则

2t94且t0

从而

y19tt，4且t0

419y(,0),)yt9t的图像知，当4且t0时，由

4(,0),)9所以原函数的值域为

二：分子分母中都有变量，且变量同次幂，分离常数

1x2y1x2 例2

分析：将分子转化成分母的形式，注意变量形式。再利用例1的方法。

解：函数定义域为R

(x21)22y11x21x2 =

令t1x，则t1

2由

y

2220,211,12t的图像可知，当t1时，t1x ，从而

所以原函数的值域为1,1

三：分子分母都有变量，且变量不同次幂，将高次幂转化成低次幂的形式

x22x1yx1 例3

解：函数的定义域为xx1

(x1)24(x1)44yx14x1x1

令tx1，t0

则

yt44t，t0

由对号函数性质知

44t（当且仅当t2时等号成立）

当t0时，

t当t0时，

t44(t)4tt（当且仅当t2时等号成立）

所以，y8或y0

从而原函数的值域为,08,

x1x22x1

例4

yxx解：函数定义域为

y22x10xx1

x1(x1)24(x1)4

x1时，y0

y1(x1)44x1

x1时，

令tx1,t0且t2

44,08,t

由例3可知

t1y,00,8 所以

1y,8 综上，注：以上仅是求分式函数值域的一些方法，还有待进一步完善，希望大家批评指正