一、选择题（本大题共8小题，共16.0分） 1.
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴、∠𝐵是锐角，且|𝑠𝑖𝑛𝐴−|+(√−𝑡𝑎𝑛𝐵)2=0，则∠𝐶的度数为( )
23
1
3
A. 30°
2.
B. 60° C. 90° D. 120°
如图所示，在离某建筑物4𝑚处有一棵树，在某时刻，1.2𝑚长的竹竿垂直地面，影长为2𝑚，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2𝑚，则这棵树高约有多少米( )
A. 6.4米
3.
B. 5.4米 C. 4.4米 D. 3.4米
一元二次方程𝑥2+3𝑥−4=0的解是( )
A. 𝑥1=1，𝑥2=−4 C. 𝑥1=−1，𝑥2=−4
4.
B. 𝑥1=−1，𝑥2=4 D. 𝑥1=1，𝑥2=4
如图，已知等边△𝐴𝐵𝐶的面积为1，𝐷、𝐸分别为𝐴𝐵、𝐴𝐶的中点，若向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是(不考虑落在线上的情形)( )
A. 4 B. 2 C. 4 D. 3
5.
小明准备到一家公司应聘职员，他了解到该公司17名员工的月收入如下 月收入(单位：元) 10000 8000 5000 4500 3000 2000 人数(单位：名) 1 231
1
1 6 2 其中有两个数据被污损，根据这组数据，小明一定能确定的统计量是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
6. 10.在一幅长80𝑐𝑚，宽50𝑐𝑚的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使
整个挂图的面积是5400𝑐𝑚2，设金色纸边的宽为𝑥𝑐𝑚，那么𝑥满足的方程是
A. 𝑥2+130𝑥−1400=0 C. 𝑥2−130𝑥−1400=0
B. 𝑥2+65𝑥−350=0 D. 𝑥2−𝑥−1350=0
7. 如图，一张等腰三角形纸片，底边长12 𝑐𝑚，底边上的高位12 𝑐𝑚，
现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为2 𝑐𝑚的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )
A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. .第7张
8. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴=50°，以𝐵𝐶为直径的⊙𝑂交𝐴𝐵
⏜=𝐶𝐷⏜，连接𝑂𝐸.过点𝐸作⊙𝑂的切线交𝐴𝐶于点𝐷.𝐸是⊙𝑂上一点，且𝐶𝐸的延长线于点𝐹，则∠𝐹的度数为( )
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分） 9. 若𝑦=3，则
𝑥
2
2𝑦−𝑥𝑥
=______．
10. 一组数据−1、2、5、𝑥的极差为8，则𝑥= ．
11. 在以𝑂为圆心3𝑐𝑚为半径的圆周上，依次有𝐴、𝐵、𝐶三个点，若四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为菱形，则该菱形
的边长等于______𝑐𝑚；弦𝐴𝐶所对的弧长等于______𝑐𝑚．
12. 如图，点𝐸、𝐹分别是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵、𝐵𝐶的中点，连𝐴𝐹、𝐶𝐸交于点𝐺，则𝑆
𝑆▱𝐴𝐺𝐶𝐷
▱𝐴𝐵𝐶𝐷
= ．
𝑠𝑖𝑛𝐵=2，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐷为斜边上的高，𝐴𝐸为∠𝐶𝐴𝐵的平分线，13. 如图，直角△𝐴𝐵𝐶中，且𝐶𝐷、
𝐴𝐸交于点𝐹，点𝑀为𝐴𝐶上一点，联结𝑀𝐹并延长，交边𝐴𝐵于点𝑁，已知𝐴𝐶=2√3，𝐴𝑀=2，那么𝐴𝑀+𝐴𝑁的值为______．
1
1
1
14. 11.若方程
的两实根为
，则
______________
△𝐴𝑂𝐵为等边三角形，15. 如图，在平面直角坐标系中，已知𝐴(0,2)，
𝑃是𝑥轴上的一个动点，以线段𝐴𝑃为一边，在其右侧作等边三角形𝐴𝑃𝑄，点𝑃的运动过程中，𝑂𝑄的最小值为______．
16. 半径为2的圆的内接正三角形的面积是______． 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 17. 计算：
四、解答题（本大题共8小题，共60.0分）
18. 在对某玉米品种进行考察时，农科所从一块试验田里随机抽取了15株玉米，称得各株玉来的产
量如下(单位：𝑘𝑔)：
0.25，0.16，0.16，0.15，0.20，0.13，0.10，0.18， 0.14，0.12，0.13，0.13，0.18，0.15，0.10． 由此估计这块试验田每株玉米产量的方差是多少？
𝑠𝑖𝑛45°+𝑐𝑜𝑠30°3−2𝑐𝑜𝑠60∘
−𝑠𝑖𝑛30°(𝑐𝑜𝑠45°−𝑠𝑖𝑛60°)
19. 电视节目“奔跑吧兄弟”播出后深受中学生喜爱，小睿想知道大家最喜欢哪位“兄弟”，于是
在本校随机抽取部分学生进行抽查(每人只能选一个自己最喜欢的“兄弟”)，得到如图所示的统计图，
请结合图中提供的信息解答下列问题：
(1)若小睿所在学校有1800名学生，估计全校喜欢“鹿晗”兄弟的学生人数．
(2)小睿和小轩都喜欢“陈赫”，小彤喜欢“鹿晗”，从他们三人中随机抽选两人参加“撕名牌”游
戏，求选中的两人中“一人喜欢陈赫，一人喜欢鹿晗”的概率．(要求列表或画树状图)
20. 为支援玉树灾区建设，某帐篷生产厂现有20台机器，每台机器平均每天生产40顶帐篷．现准备
增加一批同类机器以提高生产总量，在生产过程中，由于其他生产条件没变，因此每增加4台机器，平均每台每天将少生产1顶篷．问至少增加多少台机器，可以使每天的生产总量达到1800顶？
21. (9分)如图所示，在边长为100的等边三角形𝐴𝐵𝐶中作内接矩形𝐸𝐹𝐺𝐻，使𝐹，
𝐺在𝐵𝐶边上，𝐸，𝐻分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶边上，求这个矩形的面积𝑆的最大值．
22. 关于𝑥的一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥−(𝑚+1)=0． (1)求证：方程必有两个实数根；
(2)若方程有一个根为负数，求𝑚的取值范围．
23. (本小题满分10分)
如图，小芸在自家楼房的窗户𝐴处，测量楼前的一棵树𝐶𝐷的高.现测得树顶𝐶处的俯角为45°，树底𝐷
处的俯角为60°，楼底到大树的距离𝐵𝐷为20米.请你帮助小芸计算树的高度．
24. (1)计算：4𝑠𝑖𝑛60°−(𝜋−2021)0−√12+|−3|； (2)(𝑚−2−𝑚+2)÷𝑚2−4．
25. 如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷是它的一条对角线，过𝐴、𝐶两点分别作𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，𝐶𝐹⊥𝐵𝐷，𝐸、𝐹为
垂足．
(1)求证：四边形𝐴𝐹𝐶𝐸是平行四边形．
(2)若𝐴𝐷=15𝑐𝑚，𝐴𝐸=12𝑐𝑚，𝐴𝐵=20𝑐𝑚，过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐴𝐵，求𝐶𝐻的长．
3𝑚
𝑚
𝑚
参及解析
1.答案：𝐷
解析：解：∵|𝑠𝑖𝑛𝐴−|+(√−𝑡𝑎𝑛𝐵)2=0，
23∴|𝑠𝑖𝑛𝐴−|=0，(√3−𝑡𝑎𝑛𝐵)2=0，
2
3
1
1
3
∴𝑠𝑖𝑛𝐴−2=0，√3−𝑡𝑎𝑛𝐵=0，
3
1
𝑠𝑖𝑛𝐴=2，𝑡𝑎𝑛𝐵=√3，且∠𝐴、∠𝐵是锐角，
3
1
∴∠𝐴=30°，∠𝐵=30°，
∴∠𝐶=180°−30°−30°=120°． 故选D．
3
先根据非负数的性质求出𝑠𝑖𝑛𝐴=2，𝑡𝑎𝑛𝐵=√，再根据特殊角的三角函数值即可求解．
3
1
本题考查的知识点为：①考查了非负数的性质；②考查了三角形内角和为180°；③考查了特殊角的三角函数值．
2.答案：𝐶
解析：解：过点𝐶作𝐶𝐸//𝐴𝐷交𝐴𝐵于点𝐸， 则𝐶𝐷=𝐴𝐸=2𝑚，△𝐵𝐶𝐸∽△𝐵′𝐵𝐴′， ∴𝐴′𝐵′：𝐵′𝐵=𝐵𝐸：𝐵𝐶， 即1.2：2=𝐵𝐸：4， ∴𝐵𝐸=2.4，
∴𝐴𝐵=2.4+2=4.4． 答：这棵树高约有4.4𝑚． 故选：𝐶．
因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的𝐵𝐸.𝐵𝐶是𝐵𝐸的影子，然后加上𝐶𝐷加上树高即可．
考查了相似三角形的应用，此题主要是要知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，然后根据题目条件就可以求出树高．
3.答案：𝐴
解析：解：𝑥2+3𝑥−4=0 (𝑥−1)(𝑥+4)=0
解得：𝑥1=1，𝑥2=−4； 故选A．
原方程可运用二次三项式的因式分解法求解，求出方程的根后再判断各选项是否正确．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
4.答案：𝐶
解析：解：观察这个图可知：非阴影部分的底与高都为原三角形的2，其面积为原三角形面积的4， 则阴影部分的面积为原三角形面积的4，
所以向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是(不考虑落在线上的情形)4 故选：𝐶．
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影区域的概率即转飞镖落在阴影区域的面积与总面积的比值． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(𝐴)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(𝐴)发生的概率．
3
3
1
1
5.答案：𝐵
解析：解：∵这组数据的样本容量为17，
∴这组数据的中位数是第9个数据，即中位数为4500， 则根据这组数据，小明一定能确定的统计量是中位数， 故选：𝐵．
根据中位数的定义求解可得．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的概念．
6.答案：𝐵
解析：本题可设长为(80+2𝑥)，宽为(50+2𝑥)，再根据面积公式列出方程，化简即可． 依题意得：(80+2𝑥)(50+2𝑥)=5400， 即4000+260𝑥+4𝑥2=5400， 化简为：4𝑥2+260𝑥−1400=0， 即𝑥2+65𝑥−350=0． 故选B．
7.答案：𝐵
解析：解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是2𝑐𝑚，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为𝑥𝑐𝑚， 则12=12，解得𝑥=2， 所以另一段长为12−2=10， 因为10÷2=5，所以是第5张． 故选：𝐵．
根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．
2
𝑥
8.答案：𝐵
解析：解：∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴=50°， ∴∠𝐴𝐵𝐶=40°， ⏜=𝐶𝐷⏜， ∵𝐶𝐸
∴2∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶𝑂𝐸=80°， 又∵∠𝑂𝐶𝐹=∠𝑂𝐸𝐹=90°，
∴∠𝐹=360°−90°−90°−80°=100°． 故选：𝐵．
直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠𝐶𝑂𝐸的度数，再利用四边形内角和定理得出答案即可． 此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠𝑂𝐶𝐸的度数是解题关键．
9.答案：2
解析：解：∵𝑦=3， ∴设𝑥=2𝑘，𝑦=3𝑘(𝑘≠0)， ∴
2𝑦−𝑥𝑥
𝑥
2
=
2⋅3𝑘−2𝑘2𝑘
=2．
故答案为：2．
根据比例设𝑥=2𝑘，𝑦=3𝑘(𝑘≠0)，然后代入比例进行计算即可得解． 本题考查了比例的性质，利用“设𝑘法”求解更简便．
10.答案：−3或7
解析：试题分析：根据极差的公式：极差=最大值−最小值求解即可．此题分两种情况讨论：①𝑥最小；②𝑥最大．
①𝑥最小时，5−𝑥=8，则𝑥=−3；
②𝑥最大时，𝑥−(−1)=8，则𝑥=7． 故答案为：−3或7．
11.答案：3；2𝜋或4𝜋
解析：
本题考查了弧长的计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握弧长公式𝑙=
𝑛𝜋𝑟180
，有一定的难度．
连接𝑂𝐵和𝐴𝐶交于点𝐷，根据菱形及直角三角形的性质先求出𝐴𝐶的长及∠𝐴𝑂𝐶的度数，然后求出∠𝐴𝑂𝐶，根据弧长公式的计算计算即可． 解：连接𝑂𝐵和𝐴𝐶交于点𝐷， ∵四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为菱形， ∴𝑂𝐴=𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝑂𝐶， ∵⊙𝑂半径为3𝑐𝑚， ∴𝑂𝐴=𝑂𝐶=3𝑐𝑚， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，
∴△𝑂𝐴𝐵为等边三角形， ∴∠𝐴𝑂𝐵=60°， ∴∠𝐴𝑂𝐶=120°， ⏜=120⋅𝜋×3=2𝜋， ∴𝐴𝐶180⏜=∴优弧𝐴𝐶
240𝜋×3180
=4𝜋，
故答案为3，2𝜋或4𝜋．
12.答案：3
解析：试题分析：首先设△𝐴𝐺𝐸为𝑆1，△𝐸𝐺𝐵为𝑆2，△𝐺𝐵𝐹为𝑆3，△𝐶𝐺𝐹为𝑆4，△𝐴𝐺𝐶为𝑆5，依题意可得𝑆1+𝑆2+𝑆3=𝑆2+𝑆3+𝑆4，得出𝑆1=𝑆4.又因为△𝐴𝐵𝐹=△𝐴𝐹𝐶=4𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，得出𝑆1+𝑆2+𝑆3=𝑆4+𝑆5.同理可得𝑆2+𝑆3+𝑆4=𝑆4+𝑆5得出𝑆1=𝑆2，𝑆3=𝑆4.故可得𝑆1+𝑆2+𝑆3+𝑆4+2𝑆5=
1
1
2
𝑆，𝑆1+𝑆2+𝑆3+𝑆4=3×2.最后可求得𝑆四边形𝐴𝐺𝐶𝐷：𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的比例． 2矩形𝐴𝐵𝐶𝐷
21
连接𝐵𝐺，𝐴𝐶，
设△𝐴𝐺𝐸为𝑆1，△𝐸𝐺𝐵为𝑆2，△𝐺𝐵𝐹为𝑆3，△𝐶𝐺𝐹为𝑆4，△𝐴𝐺𝐶为𝑆5． ∵△𝐴𝐵𝐹=4𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=△𝐸𝐵𝐶，∴𝑆1+𝑆2+𝑆3=𝑆2+𝑆3+𝑆4，即𝑆1=𝑆4． 又∵△𝐴𝐵𝐹=△𝐴𝐹𝐶=4𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，∴𝑆1+𝑆2+𝑆3=𝑆4+𝑆5 同理，𝑆2+𝑆3+𝑆4=𝑆4+𝑆5，而𝑆1=𝑆2，𝑆3=𝑆4.(等底同高) ∴𝑆1+𝑆2+𝑆3+𝑆4+2𝑆5=2𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷． ∴𝑆1+𝑆2+𝑆3+𝑆4=3×2=3𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 ∴𝑆四边形𝐴𝐺𝐶𝐷：𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷=(3−1)：3=2：3．
另解：连接𝐵𝐺，设△𝐴𝐺𝐸为𝑆1，△𝐸𝐺𝐵为𝑆2，△𝐺𝐵𝐹为𝑆3，△𝐶𝐺𝐹为𝑆4，△𝐴𝐺𝐶为𝑆5． ∵△𝐴𝐵𝐹=△𝐸𝐵𝐶，∴𝑆1+𝑆2+𝑆3=𝑆2+𝑆3+𝑆4，即𝑆1=𝑆4． 而𝑆1=𝑆2，𝑆3=𝑆4.(等底同高)所以𝑆1=𝑆2=𝑆3=𝑆4 又∵△𝐴𝐵𝐹=△𝐴𝐹𝐶=4𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷， ∴𝑆1=𝑆2=𝑆3=𝑆4=
𝑆， 12矩形𝐴𝐵𝐶𝐷
112
1
11
1
1
∴𝑆1+𝑆2+𝑆3+𝑆4=𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷，
3
1
𝑆四边形𝐴𝐺𝐶𝐷=3𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷， 故答案为：3．
313.答案：√ 2
2
2
解析：解：∵𝑠𝑖𝑛𝐵=2， ∴∠𝐵=30°，∠𝐶𝐴𝐵=60°． ∵𝐴𝐸为∠𝐶𝐴𝐵的平分线， ∴∠𝐶𝐴𝐹=30°． ∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
1
∴∠𝐴𝐶𝐷=30°．
∴∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐹𝐶𝐴=30°，∠𝐴𝐹𝐶=120°．
∴△𝐴𝐹𝐶是等腰三角形，根据𝐴𝐶=2√3，求得𝐴𝐹=2． ∴𝐴𝑀=𝐴𝐹， ∴∠𝐴𝐹𝑀=75°．
则∠𝑁𝐹𝐶=120°−75°=45°， ∴∠𝐷𝐹𝑁=∠𝑁𝐹𝐶=45°． ∴𝐷𝐹=𝐷𝑁．
在𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐷中，𝐴𝐹=2，∠𝐷𝐴𝐹=30°， ∴𝐷𝐹=1，𝐴𝐷=√3． ∴𝐴𝑁=𝐴𝐷+𝐷𝑁=√3+1． 则
1𝐴𝑀
+
1𝐴𝑁
=+
23
11√3+1=
√3
． 2
故答案为√．
2
∠𝐴𝐶𝐷=30°，根据已知得到∠𝐵=30°，证明△𝐴𝐹𝐶是等腰三角形，求出𝐴𝐹=𝐴𝑀=2，可得∠𝐴𝐹𝑀=75°，利用角的和差及对顶角相等得到∠𝐷𝐹𝑁=45°，从而𝐷𝑁=𝐷𝐹，在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹中可求𝐷𝐹、𝐴𝐷，则𝐴𝑁=𝐴𝐷+𝐷𝑁.最后计算所求式子即可．
本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是通过推理计算出特殊角度数，再转化为求线段的长度．
14.答案：−1
解：𝑥1+𝑥2=
=−1
解析：根据根与系数的关系可直接把𝑎，𝑏的值代入即可
15.答案：1
解析：解：∵△𝐴𝑃𝑄、△𝐴𝑂𝐵均为等边三角形， ∴𝐴𝑃=𝐴𝑄、𝐴𝑂=𝐴𝐵、∠𝑃𝐴𝑄=∠𝑂𝐴𝐵， ∴∠𝑃𝐴𝑂=∠𝑄𝐴𝐵； 在△𝐴𝑃𝑂与△𝐴𝑄𝐵中， 𝐴𝑃=𝐴𝑄
{∠𝑃𝐴𝑂=∠𝑄𝐴𝐵， 𝐴𝑂=𝐴𝐵
∴△𝐴𝑃𝑂≌△𝐴𝑄𝐵(𝑆𝐴𝑆)． ∴∠𝐴𝐵𝑄=∠𝐴𝑂𝑃=90°，
∴𝑂𝑄的最小值为𝑂𝑄垂直直线𝐵𝑄时， 如图，延长𝐵𝑄交𝑦轴于点𝐶，
∵𝐴𝐵=𝐴𝑂=2， ∴𝐴𝐶=4，
∴𝑂𝑄=2(𝐴𝐶−𝐴𝑂)=1． 故答案为1．
证明△𝐴𝑃𝑂≌△𝐴𝑄𝐵，得到∠𝐴𝐵𝑄=∠𝐴𝑂𝑃=90°，垂线段最短即可解决问题．
该题以平面直角坐标系、等边三角形为载体，以全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质等几何知识点为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
1
16.答案：3√3
解析：解：如图所示，连接𝑂𝐵、𝑂𝐶，作𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷， 则∠𝑂𝐷𝐵=90°，𝐵𝐷=𝐶𝐷， ∠𝐵𝑂𝐶=
360°3
=120°，
则∠𝑂𝐵𝐶=30°， ∴𝑂𝐷=2𝑂𝐵=1，
由勾股定理得，𝐵𝐷=√𝑂𝐵2−𝑂𝐷2=√3， ∴𝐵𝐶=2𝐵𝐷=2√3，
∴△𝐴𝐵𝐶的面积=3𝑆△𝑂𝐵𝐶=3×2×2√3×1=3√3， 故答案为：3√3．
连接𝑂𝐵、𝑂𝐶，作𝑂𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，根据垂径定理得到𝐵𝐷=𝐶𝐷，∠𝑂𝐵𝐶=30°，根据直角三角形的性质求出𝑂𝐷，由勾股定理求出𝐵𝐷，得到𝐵𝐶的长，根据三角形的面积公式计算即可．
1
1
本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、垂径定理、三角形面积的计算；熟练掌握正三角形和圆的关系，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17.答案：解：原式=
√2√3+22
1
3−2×
2
−2×(2−
1√2
√3) 2
=
√2+√3√2−√3
−
44
==2√3
4√3 2
解析：依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
18.答案：解：𝑥=(0.25+0.16+0.16+0.15+0.20+0.13+0.10+0.18+0.14+0.12+0.13+
0.13+0.18+0.15+0.10)÷15=0.152， 𝑠=
2
(0.25−0.152)2+(0.16−0.152)2+⋯+(0.10−0.152)2
15
−
=0.00144667，
即这块试验田每株玉米产量的方差是0.00144667．
解析：根据题目中的数据，可以先求的这组数据的平均数，然后根据方差的计算公式，即可求得这组数据的方差．
本题考查方差，解答本题的关键是明确题意，利用方差的计算公式解答．
19.答案：解：(1)根据题意得：45+40+25+60+30=200(人)，
1800×200=540(人)．
估计全校喜欢“鹿晗”兄弟的学生有540名．
(2)𝐵1表示小睿喜欢陈赫，𝐵2小轩喜欢陈赫，𝐷表示小彤喜欢鹿晗， 列树状图如下：
60
所有可能有6种，“一人喜欢陈赫，一人喜欢鹿晗”的有4种， 则𝑃=6=3．
4
2
解析：(1)由喜欢“鹿晗”的百分比乘以1800即可得到结果． (2)画出树状图，即可解决问题．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
20.答案：解：设增加𝑥台机器，
依题意得(40−4)(20+𝑥)=1800， 解之得𝑥1=40，𝑥2=100，
答：至少增加40台机器，可以使总量达到1800顶．
解析：设至少增加𝑥台机器，可以使每天的生产总量达到1800顶，由于现有20台机器，每台机器平均每天生产40顶帐篷，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在生产过程中，由于其他生产条件没变，因此每增加4台机器，平均每台每天将少生产1顶篷，由此即可列出方程解决问题． 此题和实际生活结合比较紧密，首先把握现有20台机器，每台机器平均每天生产40顶帐篷，然后把握增加4台机器，平均每台每天将少生产1顶篷就可以列出方程就问题．
𝑥
21.答案：解：如图，过点𝐴作𝐴𝑁⊥𝐵𝐶于点𝑁，交𝐸𝐻于点𝑀，
∵四边形𝐸𝐹𝐺𝐻为矩形， ∴𝐸𝐹=𝑀𝑁(设为𝑥)，𝐸𝐻//𝐵𝐶； ∵△𝐴𝐵𝐶是边长为100的等边三角形，
，
∴∠𝐵=60°，𝑠𝑖𝑛60°=
∴𝐴𝑁=
×100=50，𝐴𝑀=50−𝑥，
∵𝐸𝐻//𝐵𝐶， ∴△𝐴𝐸𝐻∽△𝐴𝐵𝐶，
，
∴
∴𝐸𝐻=100−
𝑥，
∴𝑆=𝑥(100−𝑥)=−
+100𝑥，
∴𝑆的最大值为
．
解析：本题主要考查了相似三角形的判定及其性质，二次函数的最值公式及其应用等知识点问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
根据题意作辅助线，求出𝐴𝑁、𝐴𝑀的长，证明△𝐴𝐸𝐻∽△𝐴𝐵𝐶，求出𝐸𝐻，再进一步解决问题即可．
22.答案：(1)证明：∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥−(𝑚+1)=0，
∴△=𝑚2+4(𝑚+1)=𝑚2+4𝑚+4=(𝑚+2)2≥0， ∴方程必有两个实数根；
(2)解：由求根公式可求得𝑥=1或𝑥=−𝑚−1， 若方程有一个根为负数，则−𝑚−1<0，解得𝑚>−1． 故𝑚的取值范围为𝑚>−1．
解析：(1)计算方程根的判别式，判断其符号即可； (2)求方程两根，结合条件则可求得𝑚的取值范围．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
23.答案：(20 √3−20)米
解析：解：过点𝐴作𝐴𝐸//𝐵𝐷交𝐷𝐶的延长线于点𝐸.
则∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐵𝐷𝐶=90度． ∵∠𝐸𝐴𝐶=45°，𝐴𝐸=𝐵𝐷=20， ∴𝐸𝐶=20.
𝐴𝐵
∵tan∠𝐴𝐷𝐵=tan∠𝐸𝐴𝐷= 𝐵𝐷， ∴𝐴𝐵=20⋅𝑡𝑎𝑛60°=20 √3，
𝐶𝐷=𝐸𝐷−𝐸𝐶=𝐴𝐵−𝐸𝐶=(20 √3−20)(米). 答：树高约为(20 √3−20)米．
324.答案：解：(1)原式=4×√−1−2√3+3 2
=2√3−1−2√3+3
=2； (2)原式=
3𝑚(𝑚+2)−𝑚(𝑚−2)
(𝑚+2)(𝑚−2)
⋅
(𝑚+2)(𝑚−2)
𝑚
3𝑚2+6𝑚−𝑚2+2𝑚
=
𝑚2𝑚(𝑚+4)
=
𝑚=2𝑚+8．
解析：(1)原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25.答案：(1)证明：如图，连接𝐴𝐶交𝐵𝐷于点𝑂
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形 ∴𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝑂=𝐶𝑂， ∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，𝐶𝐹⊥𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐶𝐹𝑂=90°，
∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐶𝐹𝑂
在△𝐴𝑂𝐸和△𝐶𝑂𝐹中，{∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹，
𝐴𝑂=𝐶𝑂∴△𝐴𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐸𝑂=𝐹𝑂， ∵𝐴𝑂=𝐶𝑂，
∴四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是平行四边形；
(2)解：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，由勾股定理得：𝐵𝐸=√𝐴𝐵2−𝐴𝐸2=√202−122=16， 在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐷中，由勾股定理得：𝐷𝐸=√𝐴𝐷2−𝐴𝐸2=√152−122=9， ∴𝐵𝐷=16+9=25，
∴𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷=2𝑆△𝐴𝐵𝐷=2××25×12=𝐴𝐵×𝐶𝐻=20𝐶𝐻，
21
∴𝐶𝐻=15．
解析：(1)由“𝐴𝐴𝑆”可证△𝐴𝑂𝐸≌△𝐶𝑂𝐹，可得𝐸𝑂=𝐹𝑂，且𝐴𝑂=𝐶𝑂，可证四边形𝐴𝐹𝐶𝐸是平行四边形；
(2)由勾股定理可求𝐵𝐸=16，𝐷𝐸=9，得出𝐵𝐷=25，由平行四边形面积和三角形面积公式可求𝐶𝐻的长．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
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