2020-2021学年四川省广安市五县(市)八年级(下)期末数学试卷(解析版).docx

2020-2021学年四川省广安市五县（市）八年级（下）期末数学

试卷

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）. 1.要使二次根式妊歹有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. x>l C. x2.下列各组数中，是勾股数的是（ B. 0.3、0.4、0.5 ）

C. 6A. 4、、 86、、 10 8

3.下列曲线中表示y是工的函数的是（ ）

4.学校舞蹈队有12名队员，他们的年龄情况如表:

年龄/岁 人数/人

12 2

13 4

14 3

） D. 14, 13

15 3

D. 3、 6、

9

A. 13, 13.5

则这个舞蹈队中队员年龄的众数和中位数分别是（

B. 13, 13

）

C. V12 XV3=6 C. 13, 14

5. 下列运算正确的是（ A. 712^76=2

B. Vs W2=2V2 D.插-而欢

6. 如图，在uABCD中，若EF//AD, OH//CD, EF与GH相交于点。，则图中的平行四边 形一共有（

）

A G D

B H

A. 4个 B. 5个 C. 8个

）

D. 9个

7. 对于一次函数y=-3x+2,下列说法中正确的是（ A. ＞随着x的增大而增大

B. 该函数图象与〉轴的交点坐标为（0, 2） C. 点（1, 1）在该函数的图象上 D. 该函数图象经过第二、三、四象限

8. 如图，在△ABC中，ZACB=90° ,。是边的中点，CE±AB于点E.若CE=5, CD =6,则△ABC的面积是（

）

A. 60 B. 50 C. 40 D. 30

9.周末，小依骑自行车从家去北辰湖公园游玩，中途自行车出现了故障，恰好路边有便民 服务点可以修车，车修好后，她继续骑车前往目的地•设她从家出发后所用时间为 Sin）, 所骑行的路程为s（m） , s与f之间的函数关系如图所示.对于下列说法： ① 小依中途休息了

② 小依修车前骑车的平均速度为400湖血; ③ 小依在上述过程中骑行的路程为4000皿

④ 小依修车前骑车的平均速度小于修车后骑车的平均速度.

10.如图，点P是正方形ABCD的对角线3Q上一点，PELBC, PFLCD,垂足分别为点E,

F,连接AP, EF,给出下列四个结论：①AP=EF；②/PFE=ZBAP；③PD=y[^EC； ④△APD一定是等腰三角形.其中正确的结论有（

）

B

A.

---- C

①②④ D.①②③④

B.①②③

C.②③④

二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应的位置.大题共6个小题，每小题3分，共18 分）

11. 在函数 >=苴*中，自变量x的取值范围是 __________ .

X-1

12. 若 fe=V2-a+Va-2 一 5,则 a-b=.

13. 将一次函数y= - 2i+4的图象向下平移5个单位长度后，所得图象对应的函数表达式 为. 14. 已知在△ABC中，D, E,尸分别是A8, AC, 8C边的中点，连接QE, DF, EF.若 DE=3cm, DF—4cm, EF—5cm,则 AAJ5C 的面积为 cm2.

15. 如图，已知菱形旭CD的对角线AC, BQ的长分别是4ce 6cm, AELBC,垂足为E, 贝I] AE 的长是

cm.

16. 如图，已知四边形A, B, C, D, E都是正方形，图中所有的三角形都是直角三角形.若 正方形A, B, Q的面积依次为4, 6, 15,则正方形。的面积为.

三、解答题（本大题共3个小题，第17小题6分，第18小题7分，第19小题8分，共21 分）

17. 计算：（5+2膜）（5-2膜）+4X*W^.

18. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC,点E为CD边上的中点，连接AE并延长，与 的延长线交于点F,连接AC、DF,求证：四边形ACFD是平行四边形.

D

B (2, 4)在直线E上.

19. 如图，在平面直角坐标系中，直线A： y—3x与直线E： y=kx+b交于点A (s 3),点

(1) 求a的值及直线也的函数解析式； (2) 直接写出关于x的不等式kx+b<3x的解集.

四、实践应用题(本大题共3个小题，第20小题9分，第21、22小题各10分，共29分) 20. 学校为了了解本校七、八年级学生每日英语阅读的时间情况，从七、八年级中各随机抽 查了 20名学生进行问卷调查，将调查结果进行整理、描述和分析，并将其分为五组(单 位：min) : A (0WK20) , B (20Wf<40) , C (40Wf<60) , D (60Wf<80) , E (80 WY100). 下面给出了部分信息：

七年级抽取的在。组学生每日英语阅读时间(单位：min')分别为40, 40, 50, 55. 八年级抽取的20名学生的每日英语阅读时间(单位:min)分别为10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 40, 45, 50, 50, 50, 55, 60, 60, 75, 75, 80, 90, 95.

七、八年级抽取的学生每日英语阅读时间的统计量

平均数 七年级 八年级 （1） （2）

50 50 众数 35 中位数 方差 580 560 a 50 b 根据以上信息，解答下列问题: a=, b=, m=；

根据方差数据，你认为哪个年级的学生每日英语阅读的情况较好？请说明理由.

七年级抽取的学生每日英语 阅读时间的扇形统计图

21. 为了积极宣传防疫知识，某地采用了移动车进行广播.如图，小明家在一条笔直的 公路

MN的一侧点A处，且到公路MN的距离AB为600m.若广播车周围1000/77以内都 能听到广播

宣传，则当广播车以250m/min的速度在公路MN上沿初V方向行驶时，在小 明家是否能听到广播宣传？若能，请求出在小明家共能听到多长时间的广播宣传.

M B N 22. 为积极响应垃圾分类的号召，某街道决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示 牌和

垃圾箱.已知购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌需要280元，购买2个垃圾箱和3 个温馨提示牌需要270元. （1） （2）

每个垃圾箱和每个温馨提示牌各多少元？

若购买垃圾箱和温馨提示牌共100个（两种都买），且垃圾箱的个数不少于温馨提

示牌个数的3倍，请写出总费用w （元）与垃圾箱个数m （个）之间的函数关系式，并 说明当购买垃圾箱和温馨提示牌各多少个时，总费用最低，最低费用为多少元？ 五、推理论证题

23. 观察下列各式及其变形过程：.=而嬴=1专'az= 2必X击士怎

= 1 ____________ 1_ \"3V4+W3

（1） （2） （3）

按照此规律和格式，请你写出第五个等式的变形过程：a5=； 请通过计算验证（1）中675变形过程的正确性；

按照此规律，计算（。1+。2+。3+・・・+。〃）（。1 -。2 -。3 -…-an+y^2）的值.

六、拓展探究题

24. 如图，在 RtAABC 中，ZB=90° , AC=40cm, ZA=60° ,点。从点 C 出发沿 CA 方向以4cm/s的速度匀速运动，点A为终点；点E从点A出发沿AB方向以2ctnls的速度 匀速运动，点3为终点.两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运 动.设点D, E的运动时间是I (s) (0(1) 在运动过程中，四边形AEED能否成为菱形？如果能，求出相应的f值；如果不能, 请说明理由.

(2) 当f为何值时，△£>£/为直角三角形？请说明理由. (3) 当四边形Z5EBF是矩形时，直接写出四边形DEBF的面积.

参

一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上.本大题共10个 小题，每小题3分，共30分）

1. 要使二次根式房歹有意义，那么x的取值范围是（

）

D. X》-1

A. B. x>l C. x< 1

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案. 解：由题意得，2x-2N0, 解得，xNl, 故选：A.

2. 下列各组数中，是勾股数的是（

）

B. 0.3、0.4、0.5 D. 3、 6、 9

A. 4、6、8

C. 6、 8、 10

【分析】根据勾股数的定义逐一计算即可得出答案. 解：A. 14*62=52尹82,.如、6、8不是勾股数；

B. 0.3、0.4、0.5不是整数，故0.3、0.4、0.5不是勾股数； C. •..62+82=100=102,

6、8、10 是勾股数；

D. V32+62=45#92,..二、6、9 不是勾股数；

故选：C.

3. 下列曲线中表示y是x的函数的是（

）

【分析】根据函数的定答即可.

解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意;

B、 不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； C、 能表示y是x的函数，故此选项合题意；

■D、不能表示y是x的函数，故此选项不符合题意； 故选：C. 4.学校舞蹈队有12名队员，他们的年龄情况如表: 年龄/岁 人数/人 12 2 13 4 ）

D. 14, 13

14 3 15 3 则这个舞蹈队中队员年龄的众数和中位数分别是（ A. 13, 13.5 B. 13, 13

【分析】根据众数、中位数的意义求解即可.

C. 13, 14

解：这12名队员的年龄出现次数最多的是13岁，共有4人，因此众数是13岁， 将这12名学生的年龄从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为专奥=13.5 （岁），因此中位数是13.5岁， 故选：A.

5. 下列运算正确的是（

）

A. 712 4-76=2 B. 78+72=272 C. V12 ><73 =6 D.妮-而欢

【分析】根据二次根式的除法法则对A进行判断；根据二次根式的加减法对B、。进行 判断；根据二次根式的乘法法则对。进行判断. 解：A.原式=V12： 6=血，所以A选项不符合题意；

B. 原式=2般+/=3迎，所以B选项不符合题意； C. 原式=V12X 3=V36=6>所以C选项符合题意； D. 皿与柜不能合并，所以D选项不符合题意・

故选：C.

6. 如图，在口ABCD中，若EF//AD, OH//CD, EF与GH相交于点0,则图中的平行四边 形一共有（

）

A G D

A. 4个

B. 5个

C. 8个

D. 9个

【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论. 解：..•四边形A3CQ是平行四边形，

:.AB//CD, AD//BC,

,: AD//EF, CD//GH,

:.AB//GH// CD, AD//EF//BC,

.•.平行四边形有： %BCD, uABHG, °CDGH, ^BCFE, ^ADFE, 口AGOE, 口BEOH,

□OFCH, QOGQF 共 9 个.

即共有9个平行四边形， 故选：D.

7. 对于一次函数y=-3x+2,下列说法中正确的是（ A. y随着x的增大而增大

B. 该函数图象与y轴的交点坐标为（0, 2） C. 点（1, 1）在该函数的图象上 D. 该函数图象经过第二、三、四象限 【分析】根据一次函数的性质逐个判断即可. 解：A. y= - 3x+2,

）

•:k= - 3<0,

•.•y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；

B. y= - 3x+2,

当 x=0 时，y=2,

所以函数图象与y轴的交点坐标是（0, 2）,故本选项符合题意；

C. 把（1, 1）代入y= - 3x+2得：左边=1,右边=-3X 1+2= - 1,左边N右边，

所以点（1, 1）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；

D. y= - 3x+2, '.k= - 3<0, b=2>0, .•.函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； 故选：B.

8. 如图，在△ABC中，ZACB=90° , Q是AB边的中点，CE1AB于点E.若CE=5, CD =6,则Z\\ABC的面积是（

）

A. 60 B. 50 C. 40 D. 30

【分析】根据直角三角形的性质得到A3=2CQ,求得AB=12,根据三角形的面积公式 即可得到结论.

解：在△A3C中，ZACB=90° , £＞是AB边的中点,

:.AB=2CD, •.•CD=6, ,: CE1AB 于点 E, CE=5, .I AABC 的面积=—AB»CE=—X 12X5=30,

2

故选：D. 9.

2

周末，小依骑自行车从家去北辰湖公园游玩，中途自行车出现了故障，恰好路边有便民

服务点可以修车，车修好后，她继续骑车前往目的地.设她从家出发后所用时间为 Sin), 所骑行的路程为s S) , s与f之间的函数关系如图所示.对于下列说法: ①小依中途休息了 2min；

②小依修车前骑车的平均速度为40Qm/min； ③小依在上述过程中骑行的路程为4000m；

④小依修车前骑车的平均速度小于修车后骑车的平均速度.

D. 4个 C. 3个

【分析】根据函数图象可知，小依4分钟所走的路程为1600米，4~6分钟休息，6~10 分钟骑车

(2800- 1600)米，骑车的总路程为2800米，根据路程、速度、时间的关系进

行解答即可.

解：根据图象可知，在4~6分钟，路程没有发生变化，所以小依中途休息的时间为：6 -4=2 （分钟），故①正确；

根据图象可知，当f=4时，5=1600,所以小依休息前骑车的平均速度为：1600；4=400 （米/分钟），故②正确；

根据图象可知，小依在上述过程中所走的路程为2800米，故③错误；

小依休息后的骑车的平均速度为：（2800- 1600） 4- （10 - 6） =300 （米/分）,小依休 息前骑车的平均速度为：1600：4=400 （米/分钟），

400>300,所以小依休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度，故④错误； 综上所述，正确的有①②，共2个. 故选：B. 10.

如图，点F是正方形A3CZ）的对

角线上一点，PELBC, PFLCD,垂足分别为点E, F,连接AP, EF,给出下列四个结论：①AP=EF；②ZPFE=ZBAP；③PD=&C； ④△AFD一定是等腰三角形.其中正确的结论有（ ）

C.②③④ D.①②③④

【分析】延长FF交AB于点G,证明△AGPMZXFFE,即可判断①②正确；在△PDF中, 由勾股定理即可判断③正确；△APD为等腰三角形时，有AP=DP、AP=AD. PD=DA 三种情况，即可判断④错误 解：延长PF交于点G, VPFXCD, AB//CD,

:.PG±AB,即ZPGB=90° . VPEXBC, PF LCD, 四边形GBEP为矩形， 又ZPBE=ZBPE=45° , ：.BE=PE, ...四边形G3EP为正方形，四边形PFCE为矩形.

:.GB=BE=EP=GP, ；.GP=PE, AG=CE=PF,

又ZAGP=ZC=90 ,

Q:./\\AGP^/\\FPE (SAS). :.AP=EF, ZPFE=ZBAP, 故①、②正确；

在RtAPDF中，由勾股定理得PQ=J^PFMEC, 故③正确； •./在8。上，

.•.当AFnQF、AP^AD, PD=DA时，△APD才是等腰三角形,

AAPD是等腰三角形共有3种情况，故④错误.

.•.正确答案有①②③， 故选：B.

二、填空题(请把最简答案填写在答题卡相应的位置.大题共6个小题，每小题3分，共18 分)

11. 在函数＞=当宾中，自变量*的取值范围是xNl .

X-1

【分析】根据分式有意义的条件：分母不为。进行解答即可. 解：•.•x-lNO,

故答案为X/1. 12. 若

- 5,贝ij a -》=7 . 【分析】利用二次根式有意义的条件可求解a, b的值，再代入计算可求解. 解：由题意得2 - \"NO且。-2N0, .*.2 -。=0, 解得a=2,

:.b= - 5,

.\\a - b=2 - ( - 5) =7,

故答案为7.

13. 将一次函数y= - 2i+4的图象向下平移5个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为 V= - 2工 T .

【分析】根据函数图象上加下减，可得答案.

解：将一次函数y= - 2x+4的图象向下平移5个单位长度后，所得图象对应的函数表达 式为 y= - 2x+4 - 5,即 >=-2x - 1, 故答案为：y= -2x- 1.

14, 已知在AABC中，D, E, F分别是AB, AC, BC边的中点，连接DF, EF.若 DE=3cm, DF=4cm, EF=5cm,则ZvlBC 的面积为 24 cm2.

【分析】根据三角形中位线定理分别求出AB、AC, BC,根据勾股定理的逆定理得到△ A3C为直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案.

解：VD, E, F分别是AB, AC, 边的中点，DE=3cm, DF=4cm, EF=5cm, .'.AB=2EF= 10cm, AC=2DE=6cm, BC=2DF=8cm, VAC^+BC^=lOO, AB2=100,

:.AC^+BC^=AB-, :.MBC为直角三角形，ZC=90° , /. AABC 的面积=-1x6X8 = 24 (cm2),

故答案为：24.

15.

是4cm, 6cm, AELBC,垂足为E, 贝lj AE的长是

如图，已知菱形ABCD的对角线AC, 的长分别

筋屈cm —13 —

【分析】根据菱形的性质得出B。、CO的长，在RtABOC中求出BC,利用菱形面积等 于对角线乘积的一半，也等于BCXAE,可得出AE的长度. 解：如图，设AC与的交点为

..•四边形ABCQ是菱形，

.'.CO=—AC=2cm, BO=—BD=?>cm, AC^LBD, 2 •••BC=7OB2-K)C2 =^3+2 =V13

.•.S菱形ABCD=§AC・B£)=§X6X4= 12 (c/n2),

2

2

cm,

2 S ^ABCD—BCXAE, :.BCXAE=12, .心 12V13 z 、

..AE— --- - (cm),

13 _

故答案为：旦n

13

16. 如图，已知四边形A, B, C, D, E都是正方形，图中所有的三角形都是直角三角形.若 正方形A, B,。的面积依次为4, 6, 15,则正方形。的面积为

5 .

【分析】由题意可知：SA+SB=SE, SC+SE=SD，代入计算即可. 解：由题意可知：SA+SB=SEJ SC+SE=SD, ..•正方形A, B,。的面积依次为4, 6, 15, :.SC=SD - SA- SB=15-6- 4=5, 故答案为：5.

三、解答题（本大题共3个小题，第17小题6分，第18小题7分，第19小题8分，共21 分）

17.计算：（5+2&）（5-2&）+4xJj-V^.

【分析】根据平方差公式和二次根式的除法、加减法可以解答本题. 解：（5+2V6）（5-2^6）+4X ^-^32 =25 - 24+2-72 - 4-^2 =1 - 2血.

18. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC,点E为CD边上的中点，连接AE并延长，与BC 的延长线交于点F,连接AG DF,求证：四边形ACFD是平行四边形.

4 _______________ D

【分析】根据平行线的性质得出ZADE= ZFCE,求出CE=DE,根据ASA推出

*FCE,根据全等三角形的性质得出AE=FE,根据平行四边形的判定得出即可.

【解答】证明0IBC,

:.ZADE= ZFCE, •:E为CD的中点， :.CE=DE, 在和中

，

ZADE=ZFCE

< DE=CE ， ZAED=ZFEC

/. AADE^/XFCE （ASA）, ：.AE=FE, ,: DE=CE, 四边形ACFD是平行四边形.

19. 如图，在平面直角坐标系中，直线/i： y=3x与直线/2： y=kx+b交于点A （口，3）,点

B (2, 4)在直线/2上.

（1） （2）

求a的值及直线方的函数解析式；

直接写出关于x的不等式kx+b〈3x的解集.

【分析】（1）把A （a, 3）代入y=3x可求出\"的值；利用待定系数法求直线b的解析 式;

（2）写出直线么y^kx+b在直线A： >=3x下方所对应的自变量的范围即可. 解：（1）直线11： y=3x与直线y=kx+b交于点A （a, 3）,所以3a=3. 解得a=l. .•.点 A (1, 3),

直线 h-. y=kx+b 过点 A (1, 3)，点 B ( 2, 4 ),

k+b=3 2k+b=4‘ k=l 解得

b=2‘

所以

所以直线h的解析式为y=x+2, （2）不等式kx+b<3x的解集为x>l.

四、实践应用题（本大题共3个小题，第20小题9分，第21、22小题各10分，共29分）

20. 学校为了了解本校七、八年级学生每日英语阅读的时间情况，从七、八年级中各随机抽 查了 20名学生进行问卷调查，将调查结果进行整理、描述和分析，并将其分为五组(单 位：mm} : A (0Wt<20) , B (20Wf<40) , C (40Wf<60) , D (60Wf<80) , E (80 &<100). 下面给出了部分信息：

七年级抽取的在。组学生每日英语阅读时间(单位：min)分别为40, 40, 50, 55.

八年级抽取的20名学生的每日英语阅读时间(单位：min)分别为10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 40, 45, 50, 50, 50, 55, 60, 60, 75, 75, 80, 90, 95.

七、八年级抽取的学生每日英语阅读时间的统计量

平均数

七年级 八年级

50 50

众数 35

中位数 方差 580 560

a

50

b

根据以上信息，解答下列问题： (1) a= 45 , b= 50 , m= 30 ；

(2) 根据方差数据，你认为哪个年级的学生每日英语阅读的情况较好？请说明理由.

七年级抽取的学生每日英语 阅读时间的扇形统计图

【分析】(1)根据中位数和众数的定义即可求出a、b的值，关键百分比的和为1可求 出m的值；

(2)根据方差的意义即可解答.

解：(1) ...»!%= 1 - 10% - 15% - 25% - 20% = 30%, .■.777 = 30,

・.•七年级A、8时间段的人数和为：20X (10%+30%) =8 (人)、。时间段人数为4人, ・•・七年级中位数。=如；5。=45,

•••八年级抽取的20名学生的每日英语阅读时间50出现次数最多， 众数 b=50,

故答案为：45, 50, 30；

（2）八年级的学生每日英语阅读的情况较好，

理由：八年级的学生每日英语阅读时间的方差较小，阅读时间更加稳定.

21. 为了积极宣传防疫知识，某地采用了移动车进行广播.如图，小明家在一条笔直的 公路

MN的一侧点A处，且到公路MN的距离AB为600m.若广播车周围1000所以内都 能听到广播

宣传，则当广播车以250m/min的速度在公路\"上沿枷方向行驶时，在小 明家是否能听到广播宣传？若能，请求出在小明家共能听到多长时间的广播宣传.

M B N 【分析】根据小明A到公路的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾 股定理得到BP=BQ=80。米，求得PQ= 1600米，于是得到结论. 解：小明能听到宣传，

理由：..•村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米， 小明能听到宣传；

如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播， 则 AF=AQ= 1000 米，AB=600 米，

:.BP=BQ= 1000-600

.•.PQ=160。米，

22=800

（米），

小明听到广播的时间为：16004-250=6.4 （分钟）, ...他总共能听到6.4分钟的广播.

22. 为积极响应垃圾分类的号召，某街道决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示 牌和垃圾箱.已知购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌需要280元，购买2个垃圾箱和3

个温馨提示牌需要270元.

（1）每个垃圾箱和每个温馨提示牌各多少元?

（2）若购买垃圾箱和温馨提示牌共100个（两种都买），且垃圾箱的个数不少于温馨提 示牌个数的3倍，请写出总费用w （元）与垃圾箱个数加（个）之间的函数关系式，并 说明当购买垃圾箱和温馨提示牌各多少个时，总费用最低，最低费用为多少元？ 【分析】（1）根据购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌需要280元，购买2个垃圾箱和3 个温馨提示牌需要270元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；

（2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式，然后根据垃圾箱的个数不少于温馨提 示牌个数的3倍，即可得到所的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到当购买 垃圾箱和温馨提示牌各多少个时，总费用最低，最低费用为多少元. 解：（1）设每个垃圾箱和每个温馨提示牌分别为X元、y元, 由题意可得, 解得

C 3x+2y=280 l2x+3y=270,

fx=60 ly=50

答：每个垃圾箱和每个温馨提示牌分别为60元、50元; （2）设购买垃圾箱m个，则购买温馨提示牌（100-m）个,

w=60m+50 （100-m） = 10/??+5000,

...垃圾箱的个数不少于温馨提示牌个数的3倍，

:.\"诊3 （100 - m）,

解得m>75,

当m=75时，w取得最小值,此时w=5750, 100 - m=25,

答：总费用W （元）与垃圾箱个数m （个）之间的函数关系式是w= 10/77+5000,当购买 垃圾箱和温馨提示牌分别为75个、25个时，总费用最低，最低费用为5750元. 五、推理论证题

23.观察下列各式及其变形过程：27^4 = 1*’ az= 2扼膈喘专,

_ 1 __1_

~ 3^4+W3 \"V3 V4'

（1）

按照此规律和格式，请你写出第五个等式的变形过程：«5=_-

1

曰； （2）

请通过计算验证（1）中％变形过程的正确性；

（3）按照此规律,计算（ai+a2+<23 ------ a”） （ai - 02 -但_ a”+的值. 【分析】（1）利用题中等式的规律求解；

（2）利用分母有理化和二次根式的除法法则进行证明； （3）先合并括号内的二次根式，然后利用平方差公式计算.

解：⑴“尸可焉7T*-赤 故答案为可湍7T士-去

（2）a5=

675

] = _______ 1 _____ = __________ 灰-底 ________ =无-妮=_A_

— 5膜 +6扼—^30（V6 +V5）A/30（V6+V5）（V6-\\/5）一~?30\"一V5

1

顽

⑶原式=（1一去+去-去+...+出-点）（1 一号去喘+..

1 1 、

=（1 — ）（1—）

Vn+l Vn+1

=1 二

n+1

—n

一

六、拓展探究题

24.如图，在 RtAABC 中，/B=90° , AC=40cm, ZA = 6Q°，点 Z）从点 C 出发沿 CA 方向以4cm/s的速度匀速运动，点A为终点；点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度 匀速运动，点B为终点.两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运 动.设点D, E的运动时间是t（5）（0（1）在运动过程中，四边形AEFD能否成为菱形？如果能，求出相应的，值；如果不能, 请说明理由.

（2） 当7为何值时，为直角三角形？请说明理由.

（3） 当四边形DEBF是矩形时，直接写出四边形QEBF的面积.

夕X \\ c/ 虹 ------------- B

【分析】（1）能.首先证明四边形AEED为平行四边形，当AE=AD 0t, 为菱

四边形AEFD

形，即40-4f=2f,解方程即可解决问题； （2） （3）

分三种情形讨论，由直角三角形的性质得出方程求出，的值即可. 由矩形的判定可得出DF=BE,列出方程求出t=5,则可求出答案.

【解答】（1）解：能.

理由如下：在中，ZDFC=9Q° , ZC= 30° , DC=4t,

:.DF=2t, 又 VA£=2Z,

:.AE=DF, \\'AB1BC, DF1BC, :.AE//DF, 又・；AE=DF, 四边形AEFD为平行四边形， 当AE=AD时，四边形AEED为菱形， 即 40 - 4t=2t,解得 t=—.

3

.••当号■秒时，四边形AEFD为菱形.

（2）①当ZDEF=90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，

:.EF//AD, :.ZADE=ZDEF=90° , V ZA=60 ° , A ZA£D=30° ,

,'.AD=—AE—t, 2

又 A£）=40-4f,艮P 40-4f=f,解得 r=8；

②当ZEDF=9。。时，四边形EBFD为矩形，在RtAAED中ZA=60°，则ZADE=3Q° , :.AD=2AE,即 40 - 4t=4t,解得 t=5. ③若ZEFD=90° ,则E与8重合，。与A重合，此种情况不存在. 综上所述，当，=8或5秒时，为直角三角形. (3)当四边形DEB尸是矩形时，DF=BE. VZC= 30° , CD=4t, AC=40cm,

DF= —CD=2tf AB=20cm, 2

VBE=20 - It,

：.2t=20 - 2t, ,\=5f

DF= 10cm,

:.CF=^^DF=10 旧 (cm), V AB=20cm, .-.BC=20V3 (cm),

：.BF=BC- CF=2Q灰-10方=10方 (cm), 四边形 DEBF 的面积为 DFXBF= 10X 10-/3= 100^3 (cvn2).