高考物理总复习解题方法专题递推归纳法

专题04递推归纳法

递推归纳法是依据物理问题所呈现的物理量之间的关系或潜在的物理条件，通过物理相关规律，再辅以数学方法来递推归纳，得出物理量变化的通式，从而探知物理量的变化规律。在应用递推归纳法解决物理问题时，要善于引导学生挖掘物理量之间的变化关系及其隐含的物理条件，因为它是我们进一步对物理问题进行递推归纳的抓手。

譬如，在应用递推归纳法解解决动力学问题时，首先要分析物体的受力，进一步分析物体的运动情况，善于分析出物体运动中的相似阶段，把握物体在相似运动阶段的节点。把整个运动过程分为若干个相似的阶段，每个相似阶段具有宏观运动性质的相似性。比如：有的相似性阶段是先在电场中作匀变速运动后在磁场中做匀速圆周运动，有的相似性阶段是先匀加速运动后做匀减速运动。在相似性阶段还可能具有相同的某一物理量，或是运动周期相同，或是末速大小相等，或是位移大小相等，如此不一而足。因此，递推归纳出的物理量往往具有比较简单的变化规律，或是等差数列变化，或是等比数列变化，较难一点的是复合数列变化。

典例1（19年江苏卷）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d（2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm； （3）从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM=d，QN=

d，求粒子从P到Q的运动时间t． 2

【答案】（1）vL334πmL334πmqBd23（）（），（2）dm，t d（3）td62qBd62qBm2mvqBd解得v qBm【解析】（1）粒子的运动半径d

（2）如图4所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切

由几何关系得dm=d（1+sin60°） 解得dm23d2

T2πm qB（3）粒子的运动周期

a.设粒子最后一次碰撞到水平板后射出磁场的时间为t1，粒子斜向上射出磁场

1tTt1

43可能tTt1

45可能tTt1

4…………………….

t2n1Tt（n1,2,3.........）41

当L2n1d1-3d时， 2t11L334πm（）T解得t d62qB12b.设粒子最后一次碰撞到水平板后射出磁场的时间为t2，粒子斜向下射出磁场

2tTt2

44可能tTt2

46可能tTt2

4…….…………

t2nTt2(n=1,2,3,………) 4

（b）当L2nd13d,时， 2t25L334πm（）T解得t d62qB12【总结与点评】本题第三小题求带电粒子在磁场中运动时间，带电粒子撞到水平板的次数分为奇偶次两种情况递推，求出两种情况下粒子在磁场中运动时间。

针对训练1a．如图所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一质量为m、带电量q、重力不计的带电粒子，以初速度v1垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动。已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推。求

（1）粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W1。 （2）粒子第n次经过电场时电场强度的大小En。 （3）粒子第n次经过电场所用的时间tn。

（4）假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零。请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线（不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值）。

d2d(2n1)mv12113222【答案】（1）W1mv2mv1mv1，（2）En，（3）tn vn(2n1)v12qd222v2rmv【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由qvBm得

qBr则v1：v2：…：vn=r1：r2：…：rn=1：2：…：n （1）第一次过电场，由动能定理得W11132mv2mv12mv12 222

（2）第n次经过电场时，由动能定理得qEnd1122mvnmvn 122(2n1)mv12解得En

2qd（3）第n次经过电场时的平均速度vnvnvn12n1v1， 22则时间为tn（4）如图2

d2d vn(2n1)v1

【总结与点评】依据带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式，可知带电粒子依次进入磁场的速度大小之比等于其在磁场中的轨道半径之比，可以求出每次进入磁场的速度，每次进入磁场的速度也是前次出电场的速度，以这个速度关系作为抓手，再结合动能定理即可递推归纳出第n次经过电场的场强，至于第n次在电场中匀加速的时间也就迎刃而解了。本题难度适中，运动模型虽然复杂一些，但模型相对单一，仅是电场与磁场周期性运动，应用的物理规律可以是动能定理，也可以是动力动规律，学生的得分率较高。

针对训练1b．雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m2、m3……mn……（设各质量为已知量）。不计空气阻力。 （1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度vn′；

（2）若考虑重力的影响，a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和v1′；b.求第n次碰撞后雨滴的动能

1mn 2vn’2。

'【答案】（1）vnm01'2v0，（2）EKnmnvnmn2n122mi1m02n0gl mnvm0n2mn2mnm0v0 mn''【解析】（1）若不计重力，则：m0v0mnvnvn（2）若考虑重力的影响， a.第1次碰撞前

112m0v12m0v0m0gl 2222v12v02glv1v02gl

'第1次碰撞后m0v1mvv1'11m0mv10m1m12v02gl①

b.第2次碰撞前

2'v2v12gl

2112m1v12m1v0m1gl 222m02m0m122利用①得：v2mv0m22gl②

112m12m02m0m12mv2mv0m22gl 2222222第2次碰撞后，利用②得v'22同理，第3次碰撞后v3'222m02m0m12m2v2gl 2m0m33第n次碰撞后vn'2n122mim02n02gl v02mmnnEKn1'2mnvn2n122mi1m02n0gl mnvm0n2mn2mn【总结与点评】本题是动能定理与动量守恒综合题，中等偏上难度。在递推时要先用动能定理求出碰撞前的雨滴速度（被碰雨滴静止），再应用动量守恒定律求出碰撞后共同速度，这样，完成了一个运动的周期。雨滴继续自由下落加速，再碰撞求出共同速度，如此递推归纳，可求出n次碰撞后的速度与动能。

针对训练1c．制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板，如图所示，加在极板A、B间的电压UAB作周期性变化，其正向电压为U0，反向电压为-kU0(k1)，

电压变化的周期为2，如图所示。在t=0时，极板B附近的一个电子，质量为m、电荷量为e，受电场作用由静止开始运动。若整个运动过程中，电子未碰到极板A，且不考虑重力作用。 （1）若k5，电子在0—2r时间内不能到达极板A，求d应满足的条件； 4（2）若电子在0—2r时间未碰到极板B，求此运动过程中电子速度v随时间t变化的关系； （3）若电子在第N个周期内的位移为零，求k的值。

ekU0eU09eU02【答案】（1）d，（2）vtk1n，vn1k1kt，

mddm10m（3）k4N1

4N3【解析】（1）电子在 0～τ时间内做匀加速运动 加速度的大小a1位移x1eU0① md1a12② 2在τ～2τ时间内先做匀减速运动，后反向做匀加速运动 加速度的大小a25eU04md③

初速度的大小v1a1④

v12匀减速运动阶段的位移x2⑤

2a229eU0依据题，dx1x2解得d⑥ 10m

（2）在2n～2n1，（n=0,1,2，……99）时间内 速度增量v1a1⑦

在2n1～2(n1)，（n=0,1,2，……99）时间内

加速度的大小a2速度增量

‘ekU0 md

'v2a2

⑧

(a)当0≤t2n<时

电子的运动速度 vnv1nv2a1t2n ⑨ 解得vtk1nekU0 (n=0,1,2, ……,99) ⑩ md(b)当0t2n1时

电子的运动速度 vn1v1nv2a2t2n1

'⑾

解得vn1k1kteU0，(n=0,1,2, ……,99) dm ⑿

（3）电子在2(N-1) ~(2N-1)时间内的位移x2N-1v2N2电子在(2N-1) ~2N时间内的位移x2Nv2N1由⑩式可知v2N-2N11k1a12 21‘2a2 2eU0 dmeU0 dm由⑿式可知 v2N-1NNkk依题意得x2N1x2N0 解得：k4N1

4N3【总结与点评】本题第1小题使学生感知到电子运动时间的周期性；在第1小题的基础上递推出经过时间t的速度，在这个递推的过程中，要善于归纳出每个周期的速度变化量，并且要分析清楚电子运动最后小于半周期的时间，是落在前半周期还是落在后半周期，以便求出电子两种情况下的末速度；利用第2小题的

求出的速度，递推出第N个周期内位移为零，自然是水到渠成。本题三问逐渐推进，环环相扣，命题立意具有非常高的艺术性与科学性。

典例2.在万城的人民公园，许多孩子在玩轮滑，一次又一次跳上跳下，助力滑轮加速。当滑轮加速到一定次数，小孩追不上滑轮。为了探究这个问题，作如下抽象：一个质量为M的滑轮静止在光滑水平地面上，一条质量为m的小孩站在滑轮上，小孩向滑轮的正后方跳下一步，随后又追赶并向前跳上滑轮，其后小孩又反复地跳下，追赶并跳上滑轮，小孩与滑轮始终沿一条直线运动，若小孩跳离滑轮时滑轮的速度为vn,n1,2,3......，则此时小孩相对于地面的速度为vnu（其中u为小孩相对于滑轮速度，

vnu为代数和，若以滑轮运动方向为正，则v为正值，u为负值），设小孩总以速度v追赶和跳上滑轮，

滑轮与地面间的摩擦忽略不计，己知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M50kg，m10kg。

255试推证：小孩跳下滑轮后，滑轮速度通式：vn936n1，并求出最多跳上滑轮的次数

【答案】n5

【解析】1.问题情景化通过审题，对小孩与滑轮进行力学与运动学分析，把文本问题还原成运动的图景，要注意运动过程的转折点即状态的变化，它富含许多重要信息,具有承前起后的作用。

2.物理模型建构小孩与滑轮可视为质点，地面视为光滑水平面，小孩与滑轮的运动是在同一条直线上的匀速运动，小孩与滑轮的作用是发生在水平方向的对心碰撞，且作用时间极短，两者作用满足动量守恒，也符合速度合成法则。

3.理想化问题把原型问题通过抽象出来的实体模型、过程模型、状态模型表述为理想化问题，在这个过程中要掠过具体的问题情境，把小孩与滑轮的作用简化为两质点间的对心碰撞，小孩与滑轮的运动简化为直线运动。

4.数理整合设滑轮运动方向为正方向，小孩与滑轮相互作用满足动量守恒 小孩第一次跳离滑轮，滑轮速度为v1

Mv1mv1u0v1m/s①

1 小孩第n1次跳下滑轮后，滑轮速度为vn1，小孩第n1次跳上滑轮，其共同速度为vn231② Mvn1mvMmvn小孩第n次跳下，滑轮速度为vn

1③ MvnmvnuMmvn

②③代入数据得：

6vn5vn19④

④经过数学变形造数列即为：vn95(vn19) 6造出数列{vn9}为等比数列，又知v1255则vn936255936n1n12m/s 3当vnv时，小孩不再追上滑轮

5

n4.7n5

当n5时，小孩不再跳上滑轮 255v5936515

【总结与点评】本题通过对相互作用的过程与状态的分析，依据动量守恒定律递推归纳出滑轮相邻两次的速度关系6vn5vn159，再利用复合数列规律得出滑轮速度的表达式vn92536n1。由此求出小孩

最多跳上滑轮的次数。

针对训练2a.使一个原来不带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触，分开之后，小球获得电量为q，让小球反复与大球接触，在每次分开后，却给大球补充电荷，使其电量恢复到原来的值Q，求小球可能获得的最大电量。 【解析】模型构建

小球与大球为理想导体，净电荷均匀分布在表面；每次接触不会漏电 数理整合

..n次接触后小球和大球所带电量 .......qn和Q1Q2Q3......Qn分别为第1，2，3，..........设q1，q2，q3，则q1q,Q1Qq

q1qqqk,2k,........... Q1QqQ2QqQ2Qq1q2Qqq2

所以q2q1Q

q

qq2 同理q3q1QQ第n次接触后

n1qq2qqnq1......... QQQ当n，qnqQ Qq针对训练2b.如图8所示电路R1R3R5......R995,R2R4R6......R9810,电源电动势

10V，内阻不计，求电阻R2上的电动率。

【解析】模型构建电路为理想的电路 数理整合:

R100I0，依据电阻之间的关系可知：I98I0,I972I0,I96I0,.......

由此递推得：I2I3,I12I3..........

这表明，除R1,R2外所有电阻可以等效为一个阻值R2的电阻，

在这个简单电路中，很容易求出 2P22.5wR2多年以来，命题专家一向对递推归纳法青睐有加，它在全国各地的高考试卷中频现身影，这是因为解决这类问题需要学生具有较高数学知识素养与与物理专业知识与能力，能考察出学生的数学与物理等方面的综合的递推归纳能力。希望广大一线教师能在教学中能体会到这一命题立意，加强培养学生的递推归纳能力。

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