2020年高考数学二轮复习讲义：函数与方程思想

专题九 数学思想方法精析

第一讲 函数与方程思想

知识整合Zhi shi zheng he 一、函数思想

就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解．

二、方程思想

就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论， 从而使问题获解．

三、函数思想与方程思想联系

函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．

命题方向1 函数与方程思想在不等式中的应用

例1 (1)已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2

＋mx＋4>2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为( D )

A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

[解析] 因为x∈[2,16]，所以f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．

设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，

则此函数在区间[1,4]上恒大于0，

2

g1>0，x－2＋x－2>0，所以即

2

g4>0，4x－2＋x－2>0，

)

解得x<－2或x>2.

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a

－1|

13)>f(－2)，则a的取值范围是(，). 22[解析] 由f(x)是偶函数且f(x)在－∞，0上单调递增可知，f(x)在0，＋∞上单调递

(()

减．

a1

又因为f2|－|>f－2，f－2＝f(2)，

()()(|

)

113

所以2|a－1|<2，即a－1<，解得|

『规律总结』

函数与方程思想在不等式问题中的应用要点

(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用函数的最值解决问题．

(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数．

跟踪训练

Gen zong xun lian

1．(2018·太原一模)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，fx

且f(0)＝1，则不等式x<1的解集为( B )

e

A．(－∞，0) C．(－∞，2)

B．(0，＋∞) D．(2，＋∞)

x

x

e·f′x－e·fxf′x－fxfx

[解析] 构造函数g(x)＝x，则g′(x)＝＝.由题意得

eexex2fxf0fx

g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝x在R上单调递减．又因为g(0)＝0＝1，所以x<1. eee

即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．

1

2．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值为( C )

2

A．0 5

C．－

2

[解析] 因为x2＋ax＋1≥0，

B．－2 D．－3

－x2－111即a≥＝－(x＋)，令g(x)＝－(x＋)，

xxx11

当02x155

g(x)max＝g()＝－，故a≥－，

2225

即a的最小值为－.

2

命题方向2 解决图象交点或方程根的问题

例2 设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x

1

∈[－2,0]时，f(x)＝()x－6.若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3

33个不同的实数根，则实数a的取值范围是(4，2). [解析] 由f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4， 1

因为当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－6.

3所以若x∈[0,2]，则－x∈[－2,0]， 1

则f(－x)＝()－x－6＝3x－6，

3因为f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝3x－6＝f(x)， 即f(x)＝3x－6，x∈[0,2]，

由f(x)－loga(x＋2)＝0得f(x)＝loga(x＋2)， 作出函数f(x) 的图象如图．

当a>1时，要使方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3个不同的实数根， 则等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)有3个不同的交点，

g2g6>f6，

loga4<3，即 loga8>3，

33解得4『规律总结』

利用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路

(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转论为函数零点问题．

(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决． 跟踪训练Gen zong xun lian

1π

已知函数f(x)＝x－cosx，则方程f(x)＝所有根的和为( C )

24A．0 π

C．

2

1

[解析] ∵f(x)＝x－cosx，

21

∴f ′(x)＝＋sinx，

2π7π

当x∈(－，)时，

661

∵sinx>－，

2

1

∴f ′(x)＝＋sinx>0，

2

1π7π

∴f(x)＝x－cosx在(－，)上是增函数．

266

π

B．

43πD． 2

ππππ∵f()＝－cos＝， 2424

π7πππ∴在区间(－，)上有且只有一个实数x＝满足f(x)＝. 6624π1π

当x≤－时，有x≤－，－cosx≤1，

6212π1ππ

∴x≤－时，f(x)＝x－cosx≤－＋1<，

62124ππ

由此可得：当x≤时，f(x)＝没有实数根．

7π7ππ

同理可证：x≥时，f(x)＝－1>，

6π

∴方程f(x)＝也没有实数根．

4

ππ

综上可知f(x)＝，只有实数根.故选C．

42

命题方向3 解决最值或参数范围问题

例3 直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋ln x交于点A，B，则|AB|的最

小值为( D )

A．3 32

C．

4

B．2 3D． 2

a

[解析] 当y＝a时，2(x＋1)＝a，所以x＝－1.

2设方程x＋ln x＝a的根为t，

at＋ln ttln tt－＋1＝t－则t＋ln t＝a，则|AB|＝＋1＝2－2＋1. 22tln t

设g(t)＝－＋1(t>0)，

2211t－1

则g′(t)＝－＝，

22t2t

令g′(t)＝0，得t＝1，当t∈(0,1)时，g′(t)<0； 当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0， 3

所以g(t)min＝g(1)＝，

2

33

所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为. 22

『规律总结』

求最值或参数范围的技巧

(1)充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解． (2)充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解．

(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决．

(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数． 跟踪训练Gen zong xun lian

如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，→→→→→OQ＝OA＋OP，四边形OAQP的面积为S，当OA·OP＋S取得最大值时θ的值为( B )

π

A．

6π

C．

3

π

B．

4πD． 2

π→→→→→→

[解析] ∵OA＝(1,0)，OP＝(cosθ，sinθ)，∴OA·OP＋S＝cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋)，故OA·OP

4π

＋S的最大值为2，此时θ＝.故选B．

4

命题方向4 函数与方程思想在解析几何中的应用

例4 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为

→→

直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝3PB.

(1)求椭圆C的方程； (2)求m的取值范围．

y2x2

[解析] (1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，

ab设c>0，c2＝a2－b2，

c22

由题意，知2b＝2，＝，所以a＝1，b＝c＝. a22

2

，2

x2

故椭圆C的方程为y＋＝1，即y2＋2x2＝1.

12

2

(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B2(x2，y2)，

y＝kx＋m，由

22

2x＋y＝1，

得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，

Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*) －2kmm2－1x1＋x2＝2，x1x2＝2，

k＋2k＋2→→

因为AP＝3PB，所以－x1＝3x2.

x1＋x2＝－2x2，所以

2

x1x2＝－3x2.

则3(x2＋x2)2＋4x1x2＝0， －2km2m2－1即3·(2)＋4·2＝0，

k＋2k＋2整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0， 即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0， 1

当m2＝时，上式不成立；

4

2

2－2m1

当m2≠时，k2＝2，

44m－1

由(*)式，得k2>2m2－2，又k≠0， 2－2m2

所以k＝2>0，

4m－1

2

11

解得－122

11

即所求m的取值范围为(－1，－)∪(，1)．

22『规律总结』

利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程． 第二步：求解判别式Δ.

第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．

第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．

跟踪训练Gen zong xun lian

x22

若点O和点F(－2,0)分别为双曲线2－y＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支

a→→

上的任意一点，则OP·FP的取值范围为( B )

A．[3－23，＋∞) 7

C．[－，＋∞)

4

[解析] 由c＝2，得a2＋1＝4， ∴a2＝3.

x22

∴双曲线方程为－y＝1.

3设P(x，y)(x≥3)， →→OP·FP＝(x，y)·(x＋2，y) x2

＝x＋2x＋y＝x＋2x＋－1

3

2

2

2

B．[3＋23，＋∞) 7

D．[，＋∞)

4

4

＝x2＋2x－1(x≥3)． 34

令g(x)＝x2＋2x－1(x≥3)，

3则g(x)在[3，＋∞)内单调递增， g(x)min＝g(3)＝3＋23.

→→∴OP·FP的取值范围为[3＋23，＋∞)．