(浙江专用)2020年高考数学一轮复习讲练测专题3.2利用导数研究函数的单调性(讲)(含解析)

1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 2. 高考预测：

（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；

（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性． 3.备考重点：

（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；

（）熟练掌握利用导数研究函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.

知识点1．利用导数研究函数的单调性

在(a,b)内可导函数f(x)，f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.

在(a,b)上为增函数． 在(a,b)上为减函数．

【典例1】（2019年高考北京理）设函数

（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；

若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】

【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用f(x)0可得a的取值范围. 若函数即

为奇函数，则对任意的x恒成立，

即

，

则a10，得a1. 若函数

是R上的增函数，则

在R上恒成立，

1

即ae2x在R上恒成立， 又e2x0，则a0，

即实数a的取值范围是,0. 【规律方法】

利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数

）解出相应的的取值范围，当

应区间上是减增函数.

【变式1】（2019·浙江高考模拟）设函数fx是定义在,0上的可导函数，其导函数为f'x，且有

，则不等式

A．2020,0 B．C．2016,0 D．【答案】B 【解析】由

2

的定义域；②求导数在相应区间上是增函数；当

；③由

时，

（或在相

时，

的解集为（ ）

， 得：（x＜0），即

上是减函数，

即不等式等价为

令F（x）=xf（x），则当x＜0 时，得F（ 即'x）＜0， 在 是减函数，∴由FQF（x）（，0） ，即x＜2020.

故选B．

考点1 判断或证明函数的单调性

【典例2】（2019·天津高三期中（理））已知函数（Ⅰ）若f(2)0 ，求a的值；

' 得，

，a1。

（Ⅱ）讨论函数fx的单调性。

2

【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】 (Ⅰ)由题意可得：，故

，∴a3.

(Ⅱ)∵函数

，其中a>1，

∴f(x)的定义域为(0,+∞)，，

令f′(x)=0,得x1=1,x2=a−1. ①若a−1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+∞)单调递增.

②若00得，01.

故f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增. ③若a−1>1，即a>2时，

由f′(x)<0得,10得，0a−1. 故f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增. 综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)单调递增；

当12时,f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增. 【易错提醒】

1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.

2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；

(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．

【变式2】（2018届河南省洛阳市第三次统考）已知函数，其中.

（1）函数

的图象能否与轴相切?若能，求出实数，若不能，请说明理由；

（2）讨论函数

的单调性.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

3

【解析】 （1）由于.

假设函数

的图象与轴相切于点

，

则有，即.

显然，将代入方程中，

得

.显然此方程无解.

故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切.

（2）由于，

当时，，当时，，

递增，

当时，，递减； 当时，由

得或

，

①当时，

， 当时，

，

递增， 当时，，递减， 当，，递增； ②当时，，递增；

③当时，， 当时，

，

递增，

当时，，递减， 当

时，

，

递增. 综上，当时，在

上是减函数，在

上是增函数；

当

时，

在

上是增函数，在

上是减函数； 4

当当

时，时，

在在

上是增函数；

上是增函数，在

上是减函数.

考点2 求函数的单调区间

【典例3】（2018年全国卷II文）已知函数（1）若（2）证明：

，求

的单调区间；

．

只有一个零点．

），（

，+∞）单调递增，在（

，

）单调递减．

【答案】（1）f（x）在（–∞，（2）见解析. 【解析】

（1）当a=3时，f（x）=令f ′（x）=0解得x=当x∈（–∞，当x∈（

，

）∪（

或x=

，f ′（x）=．

．

，+∞）时，f ′（x）>0；

）时，f ′（x）<0． ），（

，+∞）单调递增，在（

，

）单调递减．

故f（x）在（–∞，

（2）由于，所以等价于．

设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，

+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点． 又f（3a–1）=

综上，f（x）只有一个零点． 【总结提升】

利用导数求函数单调区间的方法

(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．

(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．

(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．

温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用

，f（3a+1）=

，故f（x）有一个零点．

5

“，”“和”字隔开．

【变式3】(2019·广东省中山一中等七校联考)已知函数.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间．

【答案】（1）y＝(ae2

－1)(x－2)；（2）见解析.

【解析】(1)函数的导函数为，

可得曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为ae2

－1，切点坐标为(2,0)， 即切线的方程为y－0＝(ae2

－1)(x－2)，即y＝(ae2

－1)(x－2)． (2)f(x)的导函数为

．

①当a＝0时，f′(x)＝－(x－1)， 若x＞1，则f′(x)＜0，f(x)单调递减， 若x＜1，则f′(x)＞0，f(x)单调递增．

②当a＜0时，若x＞1，则f′(x)＜0，f(x)单调递减； 若x＜1，则f′(x)＞0，f(x)单调递增． ③当a＞0时，若a＝1，则f′(x)＝(x－1)·(e

x－1

e－1)，f(x)在R上单调递增．

若a>1e，则f′(x)＞0即为

，可得x＞1或x＜ln1a； f′(x)＜0即为

，

可得ln1a＜x＜1. 若0＜a＜1e，则f′(x)＞0即为

，可得x＜1或xln1a； f′(x)＜0即为

，

可得1＜x＜n1a. 综上可得，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；

6

当a＝1e时，f(x)的单调递增区间为R；

当a>1时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，(,ln1a)，单调递减区间为(ln1ea,1)； 当0＜a＜1时，f(x)的单调递增区间为(ln1ea,)，(－∞，1)，单调递减区间为(ln1a,1). 考点3 利用函数的单调性研究函数图象 【典例4】（2018·全国高考真题（文））函数

的图像大致为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D 【解析】 函数过定点，排除

，

求得函数的导数，

由

得

，

得或，此时函数单调递增，排除，故选D.

【规律方法】

函数图象的辨识主要从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

7

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 【变式4】（2019·云南高考模拟（文））函数图象可能是（ ）

的导函数

的图象如图所示，则函数

的

A． B． C． D．

【答案】A 【解析】 如下图所示：

当时，单调递增；当时，单调递减，所以整个函数从

左到右，先增后减，再增最后减，选项A中的图象符合，故本题选A. 考点4 利用函数的单调性解不等式

【典例5】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足

x，且f(x2)为偶函数，f(4)1，则不等式f(x)e的解集为（ ）

A．,0 【答案】B 【解析】

B．0,

C．,e4

D．e,

48

设则

，∴h'x0．

∵

所以函数hx是R上的减函数， ∵函数fx2是偶函数， ∴函数

∴函数关于x2对称， ∴

，

，

原不等式等价为hx1， ∴不等式fxe等价

x，

．∵hx在R上单调递减，

∴x0． 故选：B． 【总结提升】

比较大小或解不等式的思路方法

(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．

(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．

【变式5】（2019·四川高考模拟（文））设定义在R上的函数fx的导函数为f'x，若

，则不等式

A．0, C．2020, 【答案】A 【解析】

（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） B．2018, D．

，

9

设则∵∴

，

，

，ex0，

，

∴gx是R上的增函数， 又∴即不等式故选A.

考点5 利用函数的单调性比较大小

【典例6】（2019·天津高考模拟（理））已知函数yfx的定义域为,，且函数图象关于直线x2对称，当x0,时，

的

，

的解集为0,，

的解集为0,.

（其中f'x是fx的导函数），

若

A．bac 【答案】D 【解析】

1,blog19,cf3，则a,b,c的大小关系是（ ）

3B．abc

C．cba

D．bca

，，

，，

当

x时，2时，2；

，

当0x即fx在0,上递增，

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的图象关于x2对称，

向右平移2个单位得到yfx的图象关于y轴对称，

即yfx为偶函数，

，

，

，

即

，

，

即bca. 故选D. 【总结提升】

在比较fx1，fx2，L，fxn的大小时，首先应该根据函数fx的奇偶性与周期性将fx1，

fx2，L，fxn通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．

【变式6】（2019·山西高考模拟（理））定义在R上的函数f(x)的导函数为

f'(x)，若f(x)0，且

，则（ ）

A． B．

C．【答案】C 【解析】 因为

D．

，所以.构造函数：，所以

.所以函数g(x)在R上单调递增，

11

所以故选：C

，即，即

考点6 利用函数的单调性求参数的范围（值）

【典例7】（2018届浙江省名校协作体高三上学期）已知函数上为增函数，则的取值范围是（ ） A. 【答案】A 【解析】由题函数

为增函数，则在

上恒成立，则

B.

C.

D.

（

）在

，设则

令

得到

，可知函数

在

上单调递增，在

上单调递减，则

， 即的取值范围是

选A

【总结提升】

由函数的单调性求参数的取值范围的方法

，

(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．

(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．

(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．

【变式7】（2019·山东高考模拟（文））若函数

在上

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单调递增，则实数的取值范围为（ ） A．

B．

C．

D．

【答案】A 【解析】 函数

，

则f′（x）＝﹣sin2x﹣2a（cosx﹣sinx）+4a﹣3． ∵函数f（x）在上单调递增，可得f′（x）≥0， 令t＝cosx﹣sinx（x）∈[﹣1，1]，则sin2x= 1﹣t2

即t2

﹣2at+4a﹣4≥0在[﹣1，1]恒成立，

∴a，不等式右边的最大值为，

∴a≥． 故选：A．

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