(完整word版)圆锥曲线离心率题型

华中师大一附中博乐分校 833400 刘族刚 朱新婉

圆锥曲线的的离心率e是反映圆锥曲线几何特征（扁平或开阔程度）的一个数量，是圆锥曲线

的重要几何性质，也是圆锥曲线“统一定义”的纽带，在全国各地历年高考命题中，有关圆锥曲线离心率的试题屡见不鲜，因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法，不仅是巩固基础知识、领悟数形结合思想及学好解析几何的需要，也完全符合“备考从高一高二开始抓”的教育理念.本文以离心率的内容为主体，以题型解析为载体，小结出求解离心率问题的策略和方法，希望对大家的解题有所帮助.

类型一：离心率的定义

例1 （2014湖北卷） 已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且

F1PF2600，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

A.4323 B. C．3 D．2 33

分析：PF1F2既是椭圆的焦点三角形，也是双曲线的焦点三角形，因为焦点三角形中的边长蕴含离心率所需的“2a,2c”，所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答本题的切入点.

解析：不妨设PF1m,PF2n,(mn)，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2，则由椭圆、双曲线的定义，得mn2a1，mn2a2，

2222平方得m2mnn4a1-------①， m2mnn4a2------②，

22又由余弦定理得mmnn4c---------③，

2由①②③消去mn得a13a24c，即

22222134. 22e1e2再据平面向量不等式(ab)ab的坐标表示得

222(113161121132)(1)(1)(22)

3e13e1e2e1e23e2所以

1143.故选A. e1e23c是解决离心率问题的基础，值得注意的是，椭圆离心率a评注：圆锥曲线的离心率的定义ee(0,1)；抛物线的离心率e1；双曲线的离心率e(1,).

类型二：离心率的几何意义

x2y2例2 已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为2，若直线l:ykx3与曲线C的左右ab支各一个交点，求k的取值范围.

分析：双曲线离心率e决定了双曲线的分布与形状，另外直线l:ykx3中k的几何意义明显（直线陡峭程度），故本题可用数形结合求解.

x2y2b2解析：由双曲线C:221(a0,b0)的离心率为e2，可得e13， aba依离心率的几何意义，双曲线的两支应夹在两渐近线y3x之间且无限接近（如图），要使过点(0,3)且斜率为k的直线l:ykx3与曲线C的左右支各一个交点，直线l必须绕(0,3)在两直线y3x3之间转动，所以k(3,3). 评注：离心率e是圆锥曲线的特征数，它确定了圆锥曲线形状、分布等（做双曲线先画渐近线），借助这一几何意义，往往为“数形结合”解题带来便利.聪明的读者，k在什么范围时，直线l与双曲线

C的右支（或左支）有两个交点呢？

类型三：求离心率的值

x2y2例3 设双曲线221(ab0)的半焦距为c，直线l过(a,0),(0,b)两点，若原点到直线l的ab距离为3c,求双曲线的离心率e. 4分析：求圆锥曲线的离心率，一般要根据已知条件（如等量关系、几何图形的特征等）建立关于a,b,c的等量关系式，进而转化为关于e的方程求解. 解析：∵直线l过(a,0),(0,b)两点，∴直线l的方程为因为原点到直线l的距离为xy1，即bxayab0， abab3ab3c，所以c， 224c4abc， a则4ab43c2，又因为b2c2a2且离心率e22所以3e16e160，则e4或e24,因为ab0， 323b2所以e122，即e或e2（舍）. 3a评注：有没有注意到条件ab0，涉及到最终答案的取舍，也是能不能准确求解本题的关键. 类型四：求离心率的范围

x22例4（2016浙江）如图，设椭圆2y1(a1)

a（Ⅰ）求直线ykx1被椭圆截得到的弦长（用a,k表示）；

（Ⅱ）若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

分析：求圆锥曲线的离心率取值范围，就是列出关于a,b,c,e的不等关系，再解不等式.

ykx1解析：（I）设直线ykx1被椭圆截得的线段为AP，由x2得 2y1a22a2k(1ak)x2akx0，故x10，x2．

1a2k22222因此AP1kx1x222a2k1a2k21k2．

（II）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q满足

APAQ．记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2，且k1,k20,且k1k2．

由（I）知，AP2a2k11a2k1221k1，AQ222a2k21a2k221k2，

2故

2a2k21a2k2221k2222a2k21a2k2221k2，

2222所以(k1k2)[1k1k2a(2a)k1k2]0，

22由于k1,k20,且k1k2，得1k1k2a(2a)k1k20，

2222因此(11221)(1)1a(a2). 22k1k2111)(1)1，所以关于k1,k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1， 22k1k2因为(则a2．因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a2，

ca2112则e12(0,]．

aa2a评注：一般地，建立关于a,b,c的不等式的方法主要有：利用题设指定条件、圆锥曲线的定义、圆锥曲线的方程（如参数方程）、圆锥曲线的性质（如范围）、二次方程的判别式、不等式等． 类型五： 与离心率有关的定值

x22例5（2014江西）如图，已知双曲线C:2y1(a0)的右焦点F，点A,B分别在曲线C的两

a条渐近线上，AFx轴，ABOB,BF//OA (O为坐标原点）.(1)求双曲线C的方程；

(2)过曲线C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l:x0xy0y1与直线AF相交于点M，与直线2ax

MF3

相交于点N，证明点P在曲线C上移动时，恒为定值，并求此定值. 2NF 分析：本题第二问P(x0,y0)(y00)的位置不影响

MFNF的值，宜采用直接证明法，即先求出M,N的坐标，用距离公式代入检验即可.值得提醒的是直线l:而直线x

x0xy0y1为双曲线过点P的的切线，2a3

为双曲线的一条“准线”. 2

解析:（1）设F(c,0)，因为b1，所以c直线OB方程为ya21

11ccx，直线BF的方程为y(xc)，解得B(,)， aa22a1c3又直线OA的方程为yx，则A(c,)，kAB.

aaa31x22又因为ABOB，所以()1，解得a3，故双曲线C的方程为y21.

aa3（2）由（1）知a3，则直线l的方程为

x0x3x0x， y0y1，即y3y302x03)， 3y0因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点M(2,23MFx034(2x03)23

直线l与直线x的交点为N(3,2，则， 222)29[y0(x02)]NF23y0x2因为P(x0,y0)(y00)是C上一点，则0y01，

3代入上式得

2MFNF224(2x03)29[y0(x02)2]2MF234e. ，则所求定值为

3NF3评注：与圆锥曲线离心率有关的定值问题有很多，其中教材有经典例题，那就是圆锥曲线的“统一定

x2y2义”.依据统一定义可得：椭圆C:221(ab0)上任意一点到右焦点F1(c,0)（或左

aba2a2F2(c,0)）的距离与到直线x（右准线）（或x（左准线））的距离之比为椭圆离心率e；

ccx2y2双曲线C:221(a0,b0)上任意一点到右焦点F1(c,0)（或左F2(c,0)）的距离与到直

aba2a2线x（右准线）（或x（左准线））的距离之比为离心率e.

cc圆锥曲线的离心率问题是数学中的一类典型问题，一般要涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，往往综合性强且方法灵活，从上可以看出，解决圆锥曲线离心率问题，定义是基础、运算是关键、建立关于a,b,c间的关系（等或不等）是解题突破口.只有审清题意，认真推演，才能准确作答. 应对训练

x2y2113e1(a＞3)的右焦点为F，右顶点为A.已知1、（2016天津）设椭圆2，a3OFOAFA其中O为原点，e为椭圆的离心率. 求椭圆的方程.

x2y22、（2016山东）已知双曲线E:221(a0,b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，

abAB,CD的中点为E的两个焦点，且2AB3BC，则E的离心率是_______.

x2y23、已知斜率为1的直线l与双曲线221(a0,b0)相交于A，B两点，且AB的中点为

abC(1,3)，求双曲线C的离心率.

x2y204、 设F1,F2为椭圆C:221(ab0)的两焦点，若上存在点P，使得F1PF290，求

ab椭圆离心率的范围.

5 如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，且AB2AD，设DAB,(0,2)，以A,B为

焦点，且过C,D的双曲线的离心率为e1，以C,D为焦点，且过A,B的椭圆的离心率为e2，则（ ）

（A）随着的增大，e1增大，e1e2为定值 （B）随着的增大，e1减小，e1e2为定值 （C）随着的增大，e1增大，e1e2为增大 （D）随着的增大，e1减小，e1e2为减小 参

1、x2y2431 2、 2 3、2 4、e[22,1) 5、（B）