《余弦定理》课例与分析

南宁市第八中学 戴健

教材和教学任务分析

本课例的教学内容来自新课标人教版高中数学必修五，是第一章“解三角形”中的内容． 推证余弦定理有多种方法，教材为什么还要采用“向量法”来推证余弦定理呢？

分析下来可以发现，由于欧氏几何只是依据基本的逻辑原理，不使用其他工具，从基本公理出发，通过演绎推理，建立几何关系，给出的几何论证严谨而优美，但由于有时存在较大的思考难度，对人的智力往往形成极大的挑战，于是寻求几何研究的新工具来推进几何研究的发展就成为数学家的理想．而当作为沟通代数、几何与三角函数的一种工具——“向量”引入之后，欧氏几何中全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理等就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，由此开创了研究几何问题的新方法，后来甚至发展到在自然科学的各个领域中都得到了广泛的应用．

因此，不难看出，教材之所以这样编排，就是希望能够加深学生对向量工具性作用的体会和认识，尤其是在非常有限的40分钟课堂时间内，我想，教学任务的重心不应在于“一题多证”，而应在于培养学生利用向量法的基本思想（即：形到向量——向量的运算——向量和数到形）解决几何问题的数学意识和数学习惯．

而与正弦定理推证所不同的是，“向量法”在推证余弦定理时显示了向量这一工具的研究优越性，因为这时“向量法”较“平面几何法”简洁．正是鉴于利用“向量法”推证定理的重要地位，我把“余弦定理”的教学分两个课时完成，第一课时着重于定理的推证和简单应用，第二课时则着重于定理的综合应用．本课例是第一课时，属新授课．

教学目标

知识与技能的目标：理解并掌握余弦定理，会利用余弦定理解决两类有关三角形的问题，从而学会利用计算器解决解斜三角形的计算问题．

过程与方法的目标：经历由实际问题转化为数学问题的过程，体验化归的思想；经历尝试、探索、思考、批判、分析的过程，培养数学理性思维，发展合情推理的能力和演绎推理能力；体验向量数形结合的数学思想在优化定理探索推导过程的作用；在利用定理解决问题的过程中加深方程思想的认识．

情感态度与价值观的目标：通过实际的问题情境渗透德育教育，激发和培养学生的爱国主义情感和民族自豪感，由此激发学生的数学学习兴趣；同时在研究学习中培养学生勇于探究发现、严谨治学的价值观和数学品质，努力养成主动思考、善于交流合作的学习习惯．

教学重点和难点

重点：余弦定理及其简单应用，体验向量在推导定理上的优势作用． 难点：余弦定理的探索推导．

教学设计思路

为更好地启动学生的思维机制，产生认知的需要，我通过构建镶嵌于数学知识背景中的问题情境来作为教学的起点，让学生经历从问题情境提炼出数学问题的过程．并努力把教学过程设计一个数学知识再创造、再发现的动态过程，即给学生以充分思考、探究数学问题和发表见解的时间和空间，通过启发引导，和学生共同经历利用“平面几何法”和“向量法”

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对比探索推导余弦定理的过程，提炼“向量法”的基本思想，并由此建构数学知识——余弦定理，掌握余弦定理的简单应用．

教学准备：多媒体课件和实物投影仪． 教学过程 【创设情境】

在敲响预备铃至正式上课时间段内，播放歌曲《天路》和一组青藏铁路的画面． 师：“青藏铁路全长1956公里，是一项举世瞩目的世纪工程．它的修建难度同样也是举世公认的，因为美国一位火车旅行家保罗·泰鲁在《游历中国》一书中曾这样写道：‘有昆仑山脉在，铁路就永远到不了拉萨。’瑞士一位权威隧道工程师也曾作出评论：穿越昆仑山的岩石和坚冰根本不可能．但是我国青藏铁路工作者和技术人员众志成城、潜心钻研，凭借坚不可摧的力量和毅力，修建了一条世界最长的高原冻土隧道——昆仑山隧道，全长1686米．” 在这样一种民族情感的感染下，全班学生深受鼓舞，不约而同地鼓起了掌，情绪饱满，思维活跃．于是我抓住时机，顺势切入本节课要研究的问题．

师：“这是青藏铁路工作者和技术人员心血和智慧的结晶，那么这节课就让我们一起来学习修建隧道时所用到的一点数学知识．老师希望这将是大家一次有意义的学习历程，那么让我们合上书本，放下负担，打开思维，一起经历这次数学历程，收获有价值的东西。”

师：“首先，在修建隧道前，工程技术人员先要测算将要修建的隧道大概有多长．有一种比较实用的方法是，如图1（课件显示），先在地面上选一适当位置C，用测距仪测出C到山脚A、B的距离，再利用经纬仪测出C对线段AB的张角．这样隧道就成为△ABC的一条边．那么，一般我们可以选择一个什么特殊三角形呢？”

生：“直角三角形．” 师：“用什么方法来计算？”

A 山 生：“勾股定理！c2＝a2＋b2．”

c 隧道 b 图1 A B 师：“很好！现在请大家在注意这样一个问题，实际情况中一定能取得到直角三角形吗？”a b 地面 C C a B 学生都觉得不一定．

师：“由于地理环境的制约，更多的情况下，△ABC是一个一般的三角形，如a＝2.73，b＝3.696，C＝82°28′，这时如何求隧道长？转化为一个三角形问题，大家来叙述一下，是已知什么？求什么？”

生：“已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三条边．” 【余弦定理探索推导】 1、定理的探索推导

问题：在△ABC中，已知两条边的边长a、b和它们的夹角C，如何求第三边的边长c？ 这时，我知道留给学生充分的思考时间进行探索分析是很必要的，于是我走下讲台巡视，以分享他们各自的思路和进展．在巡视的几分钟内，我发现，许多同学都出现了一个共同的想法——作“垂线”（如图2），因为毕竟平面几何知识和方法是学生非常熟练的内容，是学生较易启动的思维点，而且将一般三角形转化为直角三角形的推理思路是合情合理的，并且是一种重要的数学思想方法．于是为了能及时给予肯定并给后进生以引导，我邀请了其中一位同学来大胆表述她的想法．

果然，这一大胆地表述和我及时地肯定引起了大家的注意，我在继续地巡视中可以感受到，他们在草稿纸上的演算、同桌之间相互地交流帮助都反映出了他们在积极地思维．于是几分钟后，我继续邀请学生沿着刚才作垂线的思路继续展开．

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让我感触颇深的是，虽然“平面几何法”并不是很难，但是被邀请到的学生可能是因为紧张或欠细节考虑，有时并不能完整并有条理地描述自己的想法，比如一位同学，我从她的草稿上已看出了她的方向，但她在表述用a、b和角C的三角函数表示AD和BD时却出现了出思路不够清晰准确的问题．这时，我提醒自己千万要耐心，着急地由自己讲出结果只能是掐灭了学生思维的火花，于是我要求自己尽可能亲切地鼓励和引导学生思考应如何完善思路．事实上，一个学生思路的不完整并不影响大家对问题的探究，相反地，反而促使大家更积极地去思考和完善．果然不久，一位男同学最终将问题给予了解决，并赢得了大家钦佩的掌声．而我则由衷地感到欣慰，因为我知道，这比我自己讲述效果要好很多．

方法一（平面几何法）：

A

如图2，当△ABC 是锐角三角形时，

c2＝AD2＋DB2＝(bsinC)2＋(a－bcosC)2 b

22222c ＝ bsinC＋a－2abcosC＋bcosC ＝ a2＋b2－2abcosC

C B a 这时我强调指出：还要注意讨论△ABC 是钝角三角形和直角三角形时的情形（课件呈D 现）．当然，方法类似△ABC 是锐角三角形时的情形． 图2

师：“刚才老师留意到有学生尝试了利用向量来解决．那么从哪里让我们联想到向量的呢？”

学生开始静下来思考了，但考虑到时间有限，不一会，我尝试作引导：“我们的问题是已知两边和它们的夹角求第三边，那么我们学过的知识哪个提到过‘夹角’呢？”不一会，经过思考，学生就联想到了向量中的“数量积”．从而联想在△ABC中选取向量CA,CB（夹角为角C），进而继续选取向量AB（如图3），实现了“向量法”基本思想方法中“从形到向量”的转化．

师：“我们寻求的是c和a、b、C之间的一个等量关系，那么，在这个三角形中有什么等量关系吗？”

生：“AB=CB-CA”

师：“那么我们所求的边长实际上向量的……”我话音还没落，学生已回答上是“模”了，而且很快地学生就想到了向量模常用计算方法，即AB=(CB-CA)2，于是接下来的计算，我把时间留给学生，鼓励他们通过自己的努力争取自己得出结果（用实物投影仪展示），达到A “向量法”基本思想方法中 “向量的运算”——“向量和数到形”的实现．

方法二（向量法）：

如图3，AB=(CB-CA)＝CB-2CB?CA+CA

222b

22c B

图3 ＝a2＋b2－2abcosC 即 c2＝a2＋b2－2abcosA 师：“刚才我们分锐角三角形、钝角三角形和直角三角形讨论，这里，我们是不是也应该分类讨论呢？”我希望学生通过动手尝试来发现其中的“关键”，但出乎我意料地，很快就有一位男同学要表达自己的“发现”．

生：“因为余弦既可以取正也可以取负，所以这里不需要分类讨论．”

应该说他的回答已经切进了问题，但为了能让班上的同学都能清楚地领会，于是我在肯

C a 定了他的回答后，继续引导提问：“两个向量的夹角取值范围是什么？”，“角C变为钝角时，

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CA的关系改变了吗？”我希望通过对这些问题的思考，学生能领悟到在这里 “向AB和CB，量法”不需要分类讨论，从而体现出“向量法”在推证余弦定理所显示出的简洁性特点． 2、揭示向量在研究数学问题时的特点 师：“在这里，‘向量法’显示出了它的优越性．事实上，我们知道，向量可以用有向线段来表示，反映了向量具有‘形’的特点；向量可以实行运算，反映了它具有‘数’的特点；同时请大家注意，向量的数量积中涉及到三角函数，这样，向量成为沟通几何、代数和三角的一个桥梁，使得我们能够以全新的视角来进行数学问题的研究，为数学研究提供了新的工具．因而这些都使得向量在20世纪初成为一门发展非常迅速的学科．希望大家通过对向量的学习，逐步体会到向量的这些优势特点．”

3、余弦定理

同理可证：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2cacosA

由此得到如下定理：

余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

3、剖析定理

⑴ 勾股定理与余弦定理的关系： a2＝b2＋c2－2bccos90°＝b2＋c2 所以勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理是勾股定理的推广． ⑵ 定理中等式的结构特征

① 循环对称，简洁优美；② 每个等式中都包含有同一个三角形中的四个量，知三求一． 【举例应用】 例1（前面的实际问题） 在△ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C ＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1°)．

例2（课本例4）在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B、C (精确到1°)． （由学生利用计算器自己动手完成）

和学生一起，通过以上问题的解决，小结得出：

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题

⑴ 已知三边，求三个角；⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 【课堂练习】课本第8页练习1、2

【课堂小结】

1、向量是进行数学研究的一个有力工具； 2、余弦定理及应用；

3、几种重要的数学思想方法

（如：将实际问题转化为数学问题的化归思想；利用向量集“数”与“形”于一身探索问题的数形结合思想；知三求一的方程思想等）

【布置作业】课本第10页A组 第3、4题 教学反思

这节存在着许多需要努力完善地方．比如， 1、时间的把握和分配还应设计得更合理一些．由于时间不得不是我要顾虑的因素，因此，在解决例1（即开头提出的隧道）时，按照书本的编写，除了应求解出c之外，还应解三角

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形，即把角A、B解出来．但由于后面时间的不充分，课堂上，我只能让学生只解出c． 2、节奏的控制需要加强．在由“平面几何法”过渡到“向量法”推证余弦定理时，由于节奏控制得不够到位，显得有些急躁．这都会成为我不断努力完善的方向．

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