东南大学2008年研究生入学数学分析试题

二〇〇八年攻读硕士学位研究生入学考试试题 试题编号：601 试题名称：数学分析

一．判断题（判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明（本题共4小题,每题6分,满分24分）.

1.区间I上的一致连续的函数总是有界的.

2.若有界函数f(x)在[a,b]上黎曼可积,则f(x)在[a,b]上至多有有限个间断点.

3.若anx的收敛半径为R0,且anR收敛,则anxn在[0,R]上一致

nnn0n0n0收敛.

4.若函数zf(x,y)在点(x0,y0)处不可微,则函数zf(x,y)在该点的所有方向导数不可能都存在.

二．计算题（本题共6小题,每题8分,满分48分）.

5.求极限lim(12x)x03ln(1x).

116.求函数f(x)ln(1x2)arctan的极值及曲线yf(x)的拐点.

2x17.令xuv,y(u2v2),变换方程

2(2z2z21. )()22xyxy8.求二重积分x2eydxdy,其中D由x0,xy与y1围成.

D1的交线,求积分9.设曲线是由球面x2y2z21与平面xyz2(xy)ds. 110.计算(xz4)dydz(zx3)dxdy,其中S为抛物面z(x2y2)在平面

S2z2下面的部分,方向取下册.

三．证明题（本题共6题,每题10分,满分60分）.

11.设f(x)在[0,4]上连续,在(0,4)上可导,假定f(0)1,且f(1)f(2)f(3)

f(4)2,证明存在一点(0,4),使f'()0.

12.证明

lim2excosnxdx0.

n013.设f(u)为连续偶函数,试证明

Df(xy)dxdy2[2au]f(u)du

02a其中D为正方形：xa,ya.

enx14.证明：f(x)在[0,)上连续,在(0,)上可微. 2n01n15.设f(x)是上连续可微函数,证明：曲面axbyczf(x2y2z2)上任意一点M(x0,y0,z0)处的法向量与向量(x0,y0,z0)及(a,b,c)共面.

16.设A2是非空集合,定义2上的函数f为

f(x,y)inf(xu)2(yv)2,(u,v)A

称它为点(x,y)到集A的距离.证明

（1）当且仅当(x,y)A（这里A表示A的闭包）时,f(x,y)0. （2）对任意(x',y'),(x'',y'')2,有不等式

f(x',y')f(x'',y'')(x'x'')2(y'y'')2. 四．探讨题（本题共2小题,每题9分,共18分）. 17.讨论级数

111111ppp 2342n12n的敛散性,其中p为实数.

18.讨论反常积分敛）.

0xsinxdx(p0)的敛散性（包括绝对收敛和条件收p1x