2021 1.1 2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用 逻辑用语与不等式 1.1 集合教学案 苏教版(可
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2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合教学案 苏教版 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1。考查形式 本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现。 2。考查内容 从考查内容来看,集合主要有三方面考查：一是集合中元素的特性;二是集合间的关系；三是集合的运算,包含集合的交、并、补集运算．常用逻辑用语主要从两个方面考查:充分必要条件的判断及全称量词与存在量词；不等式的解法常与集合运算交汇，不等式的性质常以比较大小的方式命题．基本 不等式一般不单独考查. 说明:“Ⅰ1”指全国卷Ⅰ第1题，“Ⅱ1\"指全国卷Ⅱ第1题，“Ⅲ1”指全国卷Ⅲ第1题。 3。备考策略 （1）熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ①集合的交、并、补集运算问题； ②充分条件、必要条件的判断问题； ③含有一个量词的命题的否定问题； ④一元二次不等式的解法及基 - 2 -
2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合教学案 苏教版 本不等式的应用。 （2）重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用。 第一节 集合
［最新考纲] 1。了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法)描述不同的具体问题.2。理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中,了解全集与空集的含义。3。(1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3）能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
1．集合与元素
(1）集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性． (2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． （3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn图法． (4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N（或N＋） *Z Q R 2.集合的基本关系 关系 子集 自然语言 集合A的任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B）。 符号语言 Venn图 A⊆B或(B⊇A) 真子集 如果A⊆B且A≠B 集合相如果两个集合所含的元素完全相AB或BA A＝B - 3 -
2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合教学案 苏教版 等 同（即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元素) 3.集合的基本运算 运算 自然语言 由属于集合A且属于交集 集合B的所有元素组成的集合 由所有属于集合A或并集 属于集合B的元素组成的集合 设A⊆U，由U中不属补集 于A的所有元素组成∁UA＝{x｜x∈U且x的集合称为U的子集∉A} 符号语言 Venn图 A∩B＝｛x|x∈A且x∈B} A∪B＝｛x|x∈A或x∈B} A的补集 [常用结论] 1．非常规性表示常用数集
{x｜x＝2（n－1)，n∈Z｝为偶数集，{x｜x＝4n±1，n∈Z｝为奇数集等． 2．集合子集的个数
对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2，真子集个数为2－1，非空真子集个数为2－2。
3．集合的运算性质
(1）并集的性质:A∪∅＝A；A∪A＝A;A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U;A∩(∁UA）＝∅；
∁U(∁UA）＝A;∁U(A∩B)＝(∁UA）∪（∁UB);∁U(A∪B)＝（∁UA）∩（∁UB）．
nnn一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集． （ ）
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2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合教学案 苏教版 （2){x｜y＝x}＝{y｜y＝x}＝{(x，y)|y＝x}． （ ） (3）若｛x1｝＝｛0，1}，则x＝0,1. （ )
（4）直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是｛1，4}．
( ）
2,
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[答案](1)× (2）× (3)× (4)× 二、教材改编
1．若集合A＝｛x∈N|x≤2错误!},a＝错误!，则下列结论正确的是( ) A．{a｝⊆A C．｛a}∈A
B．a⊆A D．a∉A
D ［由题意知A＝{0,1，2｝，由a＝错误!,知a∉A。]
2．已知集合M＝｛0,1，2，3,4｝，N＝{1，3,5｝，则集合M∪N的子集的个数为________．
[∵M＝｛0,1,2,3，4}，N＝{1,3,5｝, ∴M∪N＝{0,1，2，3，4，5}， ∴M∪N的子集有2＝个．]
3．已知U＝{α｜0°＜α＜180°}，A＝｛x|x是锐角}，B＝{x｜x是钝角｝，则∁U（A∪B）＝________。
［答案] ｛x|x是直角｝
4．方程组错误!的解集为________．
错误! ［由错误!得错误!
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故方程组的解集为错误!。］
5．已知集合A＝｛x｜x－x－6＜0},集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________。
（－2，1) （－∞，3） ［∵A＝｛x|－2＜x＜3｝，B＝｛x｜x－1＜0}＝{x|x＜1}，
∴A∩B＝{x｜－2＜x＜1｝，A∪B＝{x｜x＜3}．］
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考点1 集合的概念
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2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合教学案 苏教版 与集合中的元素有关的问题的求解思路
（1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． （2)看清元素的条件．
(3）根据条件求参数的值或确定集合中元素的个数．
1.（2018·全国卷Ⅱ）已知集合A＝｛(x，y)|x＋y≤3,x∈Z，y∈Z｝，
则A中元素的个数为（ )
A．9 B．8 C．5 D．4
A ［由x＋y≤3知，－错误!≤x≤错误!，－错误!≤y≤错误!.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1｝，y∈{－1,0,1｝，所以A中元素的个数为C错误!C错误!＝9，故选A。]
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2．已知集合A＝{m＋2,2m＋m｝,若3∈A，则m的值为________． －错误! [由题意得m＋2＝3或2m＋m＝3， 3则m＝1或m＝－。
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当m＝1时,m＋2＝3且2m＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－错误!时，m＋2＝错误!，而2m＋m＝3,符合题意， 故m＝－错误!。]
3．若集合A＝{x∈R｜ax－3x＋2＝0｝中只有一个元素,则a＝________。 0或错误! [当a＝0时,显然成立；当a≠0时，Δ＝（－3）－8a＝0，即
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a＝错误!。］
4．已知a,b∈R,若错误!＝｛a,a＋b,0}，则a1 ［由已知得a≠0，则错误!＝0，
所以b＝0,于是a＝1，即a＝1或a＝－1,又根据集合中元素的互异性可知
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2 020
＋b2 020
＝________。
a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 020＋b2 020＝（－1)2 020＋02 020＝1.]
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2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合教学案 苏教版 (1）求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T2，T4。
(2)常用分类讨论的思想方法求解集合问题,如T3.
考点2 集合的基本关系 判断两集合关系的方法
(1)列举法:用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．
(2)化简集合法：用描述法表示的集合,若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．
（1）（2019·沈阳模拟)已知集合A＝｛x|y＝错误!，x∈R}，B＝{x|x＝m，m∈A},则( )
A．A2
B B．BA
C．A⊆B
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D．B＝A
(2)已知集合A＝｛x|x－3x＋2＝0，x∈R｝，B＝{x|0＜x＜5，x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
(3）已知集合A＝｛x|－2≤x≤5｝,B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
（1)B （2)D （3）(－∞，3] [(1)由题意知A＝{x|y＝错误!，x∈R}， 所以A＝｛x|－1≤x≤1｝．
所以B＝｛x|x＝m，m∈A｝＝{x|0≤x≤1｝， 所以B2
A，故选B。
（2）因为A＝｛1,2}，B＝｛1,2,3,4｝，A⊆C⊆B，则集合C可以为:｛1，2},｛1，2，3}，{1，2,4}，{1，2,3,4｝共4个．
（3）因为B⊆A,
所以①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2。 ②若B≠∅，则错误!解得2≤m≤3。
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3]．] ［母题探究]
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2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合教学案 苏教版 1．（变问法）本例(3）中，若B[解] 因为BA，求m的取值范围．
A，
①若B＝∅，成立,此时m＜2。
②若B≠∅，则错误!且边界点不能同时取得，解得2≤m≤3. 综合①②，m的取值范围为（－∞,3］．
2．(变问法）本例(3)中，若A⊆B,求m的取值范围． ［解] 若A⊆B，则错误!即错误!所以m的取值范围为∅。
3．(变条件)若将本例（3）中的集合A改为A＝｛x｜x＜－2或x＞5}，试求m的取值范围．
［解] 因为B⊆A，
所以①当B＝∅时，2m－1＜m＋1，即m＜2，符合题意． ②当B≠∅时,错误!或错误! 解得错误!或错误!即m＞4.
综上可知,实数m的取值范围为(－∞，2）∪（4,＋∞）．
（1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或
区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
（2）空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．
1.设M为非空的数集，M⊆｛1,2，3｝，且M中至少含有一个奇数
元素,则这样的集合M共有（ )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
A ［由题意知,M＝｛1}，｛3}，{1,2｝,｛1,3｝，{2,3｝，{1,2,3｝，共6个．］
2．若集合A＝{1，2｝，B＝{x|x＋mx＋1＝0，x∈R｝，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．
[－2，2) ［①若B＝∅，则Δ＝m－4＜0， 解得－2＜m＜2,符合题意；
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2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合教学案 苏教版 ②若1∈B，则1＋m＋1＝0，
解得m＝－2,此时B＝{1}，符合题意; ③若2∈B，则2＋2m＋1＝0,
解得m＝－错误!，此时B＝错误!,不合题意． 综上所述,实数m的取值范围为[－2,2)．]
考点3 集合的基本运算 集合运算三步骤
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集合的运算
(1）(2019·全国卷Ⅰ）已知集合M＝{x｜－4＜x＜2｝，N＝｛x|x－
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x－6＜0},则M∩N＝( )
A．｛x|－4＜x＜3｝ C．｛x｜－2＜x＜2}
B．{x｜－4＜x＜－2} D．{x｜2＜x＜3}
(2)(2019·浙江高考）已知全集U＝｛－1，0,1，2，3}，集合A＝｛0,1，2},B＝{－1,0,1｝，则(∁UA）∩B＝（ ）
A．{－1} C．{－1，2，3｝
xB．{0，1} D．｛－1,0,1，3}
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（3)设集合A＝{y｜y＝2，x∈R}，B＝｛x|x－1＜0｝,则A∪B等于( ） A．(－1,1）
B．(0,1）
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2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合教学案 苏教版 C．（－1，＋∞) D．(0，＋∞）
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(1）C （2）A （3）C [(1）∵N＝{x|x－x－6＜0}＝｛x｜－2＜x＜3｝，
M＝{x｜－4＜x＜2｝，
∴M∩N＝｛x|－2＜x＜2｝，故选C.
(2)∵∁UA＝｛－1，3｝,∴(∁UA)∩B＝{－1}，故选A。 (3)∵A＝｛y｜y＞0｝，B＝{x｜－1＜x＜1}， ∴A∪B＝（－1，＋∞），故选C.］
[逆向问题］ 已知A,B均为集合U＝｛1，3,5，7,9｝的子集,且A∩B＝｛3}，(∁UB）∩A＝｛9｝,则A＝( )
A．{1，3｝ C．{3，5,9｝
B．｛3,7,9} D．｛3,9}
D ［法一：（直接法）因为A∩B＝{3｝，所以3∈A，又（∁UB)∩A＝｛9},所以9∈A。若5∈A,则5∉B（否则5∈A∩B)，从而5∈∁UB，则（∁UB）∩A＝{5，9｝，与题中条件矛盾，故5∉A。同理，1∉A,7∉A，故A＝｛3,9}．
法二：(Venn图)如图所示．
]
集合运算的常用方法
（1)若集合中的元素是离散的,常用Venn图求解．
（2）若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示,此时要注意端点的情况．
利用集合的运算求参数
(1)集合A＝{0,2，a｝，B＝{1，a｝，若A∪B＝｛0,1,2，4，16｝，
则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
(2)已知集合A＝｛x|x＜a｝，B＝{x｜x－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数
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a的取值范围是( )
A．a＜1
B．a≤1
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2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合教学案 苏教版 C．a＞2 D．a≥2
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（1)D （2）D ［（1）根据并集的概念，可知{a，a｝＝｛4,16}，故只能是a＝4.
（2）B＝｛x|x－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2｝, 又A∩B＝B，故B⊆A。
又A＝{x｜x＜a}，结合数轴，可知a≥2。]
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
（1）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解．如T(1)．
（2）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到，如T(2)．
提醒：在求出参数后,注意结果的验证(满足互异性)．
[教师备选例题]
1．已知集合A＝｛(x，y)｜x＋y≤1，x，y∈Z}，B＝｛（x,y)｜|x｜≤2，｜
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2
y|≤2，x，y∈Z｝，定义集合A∈B}，则AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1）∈A，（x2，y2）
B中元素的个数为( )
A．77 B．49 C．45 D．30
C ［如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“\"，集合AB显然是集合｛（x，y）｜｜
x|≤3,|y|≤3,x，y∈Z｝中除去四个点{(－3，－3),(－3，3），(3，－3)，（3，
3)｝之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点），则集合AB表示如
B图所示的所有圆点“\"＋所有圆点“\"＋所有圆点“”，共45个．故A中元素的个数为45。故选C.
]
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2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.1 集合教学案 苏教版 2．设集合A＝｛x｜x＋2x－3＞0｝，集合B＝｛x|x－2ax－1≤0，a＞0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（ )
A。错误! C.错误!
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B。错误! D．(1，＋∞）
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B ［A＝｛x|x＋2x－3＞0}＝{x｜x＞1或x＜－3}，设函数f(x）＝x－2ax－1,因为函数f(x）＝x－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a（a＞0)，f（0）＝－1＜0，根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数,则这个整数为2，
所以有错误! 即错误! 所以错误!
即错误!≤a＜错误!。故选B。］
1.(2019·全国卷Ⅱ）设集合A＝{x｜x－5x＋6＞0},B＝｛x|x－1
＜0｝，则A∩B＝（ )
A．(－∞，1) C．(－3,－1）
B．（－2，1） D．（3，＋∞)
2
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A ［由题意得A＝｛x|x＜2或x＞3},B＝{x｜x＜1｝, ∴A∩B＝{x|x＜1｝．］
2。（2019·洛阳模拟)已知全集U＝R,集合A＝{x|x－3x－4＞0｝，B＝｛x|－2≤x≤2},则如图所示阴影部分所表示的集合为( ）
2
A．｛x｜－2≤x＜4｝ C．｛x|－2≤x≤－1｝
B．{x｜x≤2或x≥4} D．｛x|－1≤x≤2｝
D [依题意得A＝｛x|x＜－1或x＞4｝,因此∁RA＝｛x｜－1≤x≤4｝，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA）∩B＝｛x｜－1≤x≤2｝，故选D。］
3．已知A＝{1，2,3，4｝，B＝{a＋1,2a}．若A∩B＝｛4}，则a＝________。 3 ［因为A∩B＝｛4}，所以a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3,此时
B＝{4，6｝，符合题意;若2a＝4,则a＝2,此时B＝{3，4｝，不符合题意．综上，
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2021 1.1 a＝3.]
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