五年级奥数
第二讲：等差数列及求和
例1.找规律填数：
（1） 1，3，5，7，（），（） （2） 6，10，14，18，（），（） （3） 5，5，5，5，5，5，5，（）
按一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。
想想上题中的数列究竟是什么规律呢？
像这样从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列。
公差:这个等差数列中每相邻两项之间固定不变差叫做公差。 首项: 一个数列的第一项。 末项：一个数列的最后一项。 项数：一个数列全部项的个数。 例2. 90，80，70，60，50，……20，10
这是什么数列？第是多少?第5项是多少？30是此数列中的第几项？项数是多少？ 有没有更简单的方法计算此题呢？ 等差数列的相关公式：
末项＝首项＋（项数－1）×公差 项数＝（末项－首项）÷公差＋1 例3.
2，11，20，29，38， … 是按一定规律排列的一串数，第21项是多少？
解：从第二项起每一项与前一项的差是9，所以此数列是等差
数列，公差是9，将第21项看作是末项， 末项＝2＋（21－1）×9 ＝182 所以第21项是182。
练习：
求等差数列3，8，13，18，……的第30项是多少？
例4.已知等差数列4，7，10，13，16， ……， 问（1）这个数列的第321项是多少？ （2）790是这个数列的第几项？
解：这是一个首项为4，公差为3的等差 数列。 （1）暂定321为数列的末项， 即，第321项是： 4＋（321－1）×3 ＝9 （2）暂定790为数列的末项第n项， 即790 ＝ 4＋（n－1）×3 n ＝(790 －4 ＋3) ÷3 ＝263
例5.
求等差数列46，52，58……172共有多少项？ 解：此数列是等差数列，公差是6， 根据项数＝（末项－首项）÷公差＋1 所以
项数＝（172 － 46）÷6 ＋1 ＝ 22
等差数列求和公式:
和＝（首页＋末页）×项数÷2.
求等差数列的和，必须知道数列的首项、末项、公差和项数分别是多少.
要熟记和灵活运用等差数列的通项公式、求项数公式、求和公式，这样才能轻松解题.
例6.计算数列的和：
（1）2＋4＋6＋8＋…＋598＋600； （2）3＋7＋11＋…＋399.
解:（1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1 ＝（600－2）÷2＋1 ＝300.
2＋4＋6＋8＋…＋598＋600 ＝(2+600) ×300÷2 ＝90300 (2) 项数＝ （399－3）÷4＋1 ＝100. 3＋7＋11＋…＋399 ＝（3＋399）×100÷2 ＝20100 例7、 计算：
（1＋3＋5＋7＋…＋2009）－（2＋4＋6＋…＋2008）. （1＋3＋5＋7＋…＋2009）－（2＋4＋6＋…＋2008）. ＝ 1＋（3－2） ＋ （5－4） ＋（7－6）＋ … ＋ （2009－2008） ＝1 ＋1 ＋ … ＋1 共1005个1 ＝1005
例8：建筑工地上堆着一些钢管（如图），求这堆钢管一共有多少根？
解： 3 ＋4 ＋5 ＋ … ＋8 ＋9 ＋10 ＝（3+10）×8 ÷2 ＝ 52（根） 答：这堆钢管一共有52根.
例9、有12名同学聚会，见面时每人和其余的人握手一次，那么一共要握手多少次？ 解：
11 ＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3 ＋2＋1 ＝ （11 ＋1 ）×11 ÷2 ＝ 66（次） 答：一共握手66次
