一题多解、一题多变
原题条件或结论的变化
所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。
例1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？ 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？ 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？ ……
通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。 一、几何图形形状的变化
如图1，分别以RtABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则
S1、S2、S3之间的关系是
S1CS2AB
CS1AS3S2BAS1CS2BS3
S3
图1 图2 图3
变式1：如图2，如果以RtABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是 变式2：如图3，如果以RtABC的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为
S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是 变式3：如果以RtABC的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为S1、S2、S3，为使S1、S2、S3之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。
变式4：如图4，梯形ABCD中,AB//DC,ADCBCD90,且DC2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是
S2S1ABS3
AS1
S2BS3CDS1AS2BS3CDEC
D
图4 图5 图6
变式5：如图5，梯形ABCD中,AB//DC,ADCBCD90,且DC2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正三角形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是
变式6：如图6，梯形ABCD中,AB//DC,ADCBCD90,且DC2AB,分别以DA、AB、BC为直径向梯形外作半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是
上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。 二、图形内部结构的变化
例2.已知：如图7，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形。
求证：AN=BM
NMDAC
NMPQACBFEB
图7 图8
证明：ACM和CBN是等边三角形
MCAC,CNCB,ACNMCBACN≌MCB
ANBM
变式1：在例2中，连接DE，求证：（1）DCE是等边三角形（2）DE//AB
分析：(1)可证ADC≌MEC，则DC=EC,因为∠DCE=60,所以DCE是等边三角形。 (2)由（1）易证∠EDC=∠ACM=60,所以DE//AB 变式2：例2中，连接CF，求证：CF平分∠AFB
分析：过点C作CG⊥AN于G,CH⊥BM于H,由ACN≌MCB，可得到CG=CH, 所以CF平分∠AFB
变式3：如图8，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，P是AN的中点，Q是BM的中点，求证：CPQ是等边三角形 证明：ACN≌MCB
ANBM,ABMANC
又P、Q分别是AN、BM的中点
BCQ≌NCP
CQCP,BCQNCPPCQNCPNCQBCQNCQNCB60 CPQ是等边三角形图7是一个很常见的图形，其中蕴含着很多的关系式，此题还可 适当引导学生探索当点C不在线段AB上时所产生的图形中的一些结论，通过该题的变式训练，让学生利用自己已有的知识去探索、猜想，进而培养了学生思维的创造性。 三、因某一基本问题迁移的变化
例4如图9，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇
供气，问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短？ 图9
分析：设泵站应建在P处。取点B关于L的对称点B’,如图1，PB’=PB,要使PA+PB最小只要PB’+PA最小，而两点之间距离最短，连接AB’与L的交点P即是泵站所建的位置。本题特点：一直线同旁有两定点，关键要在直线上确定动点的位置，使动点到定 点的距离之和最短，我们常常把这类问题称作“泵站问题”。
变式1：如图2，在ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90,D是BC的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是
图2
解：C、D是两定点，E是在直线AB上移动的一动点，以CA、CB为边作正方形ACBF，则C关于AB的对称点一定是F,连接DF交AB于E,这时EC+ED最小。因为D是BC的中点，在直角三角形FBD中，
BALPB'AFECDBECEDEDEFDFBD2BF222125.
变式2：如图3，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一动点，M、N分别是AB、BC边上的中点，则PM+PN的最小值
分析：M、N是两定点，P是在直线AC上移动的一动点，作N关于AC的对称点G，由于四边形ABCD是菱形，所以G一定在DC上，且为DC的中点，连接MG交AC于P,四边形AMGD为平行四边形，连接PM、
DGAMBPNCPN，则PM+PN最小，PM+PN=PM+PG=MG=BC=1
变式3：如图，梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=AD=1, ∠B=60,直
线MN为梯形的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为
解:C、D是两定点，P是直线MN上一动点，因为图形ABCD中，
BAPMDCNAD//BC,AB=CD=AD=1,所以四边形ABCD为等腰梯形，而直线MN为梯形ABCD的对称轴，则D关于MN的对称点是A点，连接AC交MN于点P,
连接PD,则有PA=PD,要使PC+PD的值最小，就要使PA+PC最小，所以PC+PD=PA+PC=AC,因为∠B=60，可证得ABC为直角三角形，AC=ABtan∠B=1tan60=3,则PC+PD 的最小值为3.
变式4：如图，已知⊙O的半径为r , C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧 AC的度数为96，弧 BD的度数为36,动点P在AB上，则CP+PD的最小值为 解：如图，设D’是D关于直径AB的对称点，连接CD’交AB于P，则P点使CP+PD最小。
弧CD的度数为180963648，弧CD’的度数为120， 所以∠COD’=120,从而易求CP+PD=CD’=3r,所以CP+PD的最小值为3r.
本例利用“泵站问题”进行迁移变式，逐步探究了几种常见的图形中两条线段之和最短问题，这样有利于学生解题思想方法的形成、巩固，达到了透彻理解该基本问题的目的。
AOPD'CDB
