初中数学中考试题研究《开放性试题综合》

开放探究问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论，要求添加条件或概括结论；其次是给定条件，判断存在与否的问题；近几年来又逐步出现了一些根据提供的材料，按自己的喜好自编问题并加以解决的试题。

开放探究问题涉及知识面广，遍布整个初中阶段的所有知识，要求学生具有较强的解题能力和思维能力。

开放探究问题就开放而言，有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放：就探究而言，可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种。 类型一：探究条件型

探究条件型是根据问题提供的残缺条件添补若干条件，使结论成立，解决此类问题的一般方法是：根据结论成立所需要的条件增补条件，此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件。

例1．（2009丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠

FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如

果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明. ．．

解：是假命题.

以下任一方法均可： ①添加条件：AC=DF. 证明：∵AD=BE,

∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE. 在△ABC和△DEF中, AB=DE， ∠A=∠FDE， AC=DF， ∴△ABC≌△DEF(SAS).

②添加条件：∠CBA=∠E. 证明：∵AD=BE,

∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.

在△ABC和△DEF中， ∠A=∠FDE， AB=DE， ∠CBA=∠E ， ∴△ABC≌△DEF(ASA). ③添加条件：∠C=∠F. 证明：∵AD=BE,

∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠FDE， ∠C=∠F ， AB=DE， ∴△ABC≌△DEF(AAS)

同步测试

1．(2009年牡丹江市)如图，□ABCD中，E、F分别为需添加一个条BC、AD边上的点，要使BFDE，件： ． 1.

B

E

C

A

F

D

BEDF或BF∥DE；AFCE;BFDBED；AFBADE等

2．（2009东营）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD＝∠ACD，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB＝CD.

A

D

O

B

C

2.∠DAC＝∠ADB，∠BAD＝∠CDA，∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB＝OC，OA＝OD；(任选其一)

类型二：探究结论型

探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断，得出一个与条件相关的结论，解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理，得出新的结论。 例2．（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠

DME＝∠A＝∠B＝α，

且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长． 【答案】

（1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM

以下证明△AMF∽△BGM．

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B ∴△AMF∽△BGM．

（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC

∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝22 AFBM AMBGAMBM22228∴BG

AF33又∵AMF∽△BGM，∴

又ACBC42cos454，∴CG484，CF431 3345∴FGCF2CG212()2

33 同步测试

3．（2009年福州）请写出一个比5小的整数 3.答案不唯一，小于或等于２的整数均可，如：2，1等

4．（2009年莆田）已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DEAB，垂足为点F，连接BD、BE．．

（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________，

④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；

D C A O F E B （2）A=30°，CD=23，求⊙O的半径r． 34.（1）BCAB，ADBD， DFFE，BDBE，△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD，BDFBEF，AE，DE∥BC等

D C A O F E B （2）解:又

AB是⊙O的直径ADB90°

E30°

1ABr 2A30°

BD又

BC是⊙O的切线

CBA90° C60

在Rt△BCD中，CD23 3BDrtan60° DC233r2

类型三：探究结论存在与否型

探究结论存在与否型问题的解法一般先假定存在，然后以此为条件及现有的条件进行推理，然后得出问题的解或矛盾再加以说明。

例3．（2009仙桃）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．

(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)； (2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？

(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？ 解：（1）在直角梯形ABCD中，

∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴四边形ABNQ是矩形。

∵QD=t，AD=3，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1。 ∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC=5。 ∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴MN∥AB，∴即

CMCN， ACBCCMt15t5，∴MC. 544（2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。 ∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。 (3)∵MN∥AB，

∴△MNC∽△ABC，要使射线QN将△ABC的面积平分，则△MNC与△ABC的面积比为1：2，即相似比为1：2，∴

CN1t11，即，∴BC4225292，∴CN+MC=，∵22t=221.∴CN=22，MC=

△ABC的周长的一半=

92345=6≠，∴不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的

22面积和周长同时平分。 （4）分3种情况：

①如图，当PM=MC时，△PMC为等腰三角形。 则PN=NC，即3-t-t=t+1， ∴t22，即t时，△PMC为等腰三角形。 33②如图，当CM=PC时，△PMC为等腰三角形。

5t54t， 411∴t时，△PMC为等腰三角形。

9即

③如图，当PM=PC时，△PMC为等腰三角形。 ∵PC=4－t，NC=t+1， ∴PN=2t-3, 又∵

MNAB3， NCBC43t1∴MN=，

4由勾股定理可得[

3t12

22

]+（2t-3）=（4－t）， 4即当t=

103时，△PMC为等腰三角形。 57同步测试

5．（2009年广西南宁·改编）如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF，延长EF交正方形外角平分线CP于点P，AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

解法①AEEF

2390°

四边形ABCD为正方形

BC90° 1390°

12

A 1 3 B

E

2

F C D

DAMABE90°，DAAB △DAM≌△ABE

DMAE AEEP DMPE

四边形DMEP是平行四边形．

解法②：在AB边上存在一点M，使四边形DMEP是平行四边形 证明：在AB边上取一点M，使AMBE，连接ME、MD、DP．

ADBA，DAMABE90° Rt△DAM≌Rt△ABE DMAE，14 1590° 4590°

AEDM AEEP DMEP

四边形DMEP为平行四边形

A M 1 D

5

4 F P

B E C

6．（2009白银市）如图（1），抛物线yx2xk与x轴交于A、B两点，与y轴交于点

2C（0，3）．［图（2）、图（3）为解答备用图］

（1）k ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）设抛物线yx2xk的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

2（4）在抛物线yx2xk上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

解：（1）k3，

图（1） 图（2） 图（3）

2A（-1，0）， B（3，0）．

（2）如图（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM． 则 △AOC的面积=

33，△MOC的面积=， 22△MOB的面积=6， ∴ 四边形 ABMC的面积

=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． （3）如图（2），设D（m，m22m3），连结OD． 则 0＜m＜3，m22m3 ＜0． 且 △AOC的面积=

33，△DOC的面积=m， 22△DOB的面积=-

3（m22m3）， 2∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 ==329mm6 223375． (m)2228321575)，使四边形ABDC的面积最大为． 48∴ 存在点D(，（4）有两种情况：

图（3） 图（4）

如图（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C． ∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ∴ 点E的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE的解析式为yx3．

x1yx3，由 解得2y1yx2x3∴ 点Q1的坐标为（-2，5）．

2，x25；

3， 0.y2如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2． ∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ∴ 点F的坐标为（-3，0）． ∴ 直线CF的解析式为yx3．

yx3，由 解得2yx2x3x1y10，

x21，

3；y24．∴点Q2的坐标为（1，-4）．

综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．

类型四：归纳探究型

归纳探究型问题是指给定一些条件和结论，通过归纳、总结、概括，由特殊猜测一般的结论或规律，解决这类问题的一般方法是由特殊性得到的结论进行合理猜想，适量验证。

例4．(2009年抚顺市)已知：如图所示，直线MA∥NB，MAB与NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．

（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；

（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；

（3）当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关

系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系． 图1

图2

备用图

备用图

D A M C E B

N

D l A M C

B E N l A M C B

A N

M C B

N

解：（1）ADBEAB （2）成立．

（方法一）：在AB上截取AGAD，连接CG．

12，ACAC △ADC≌△AGC 56 AM∥BN

1234180° 12，34 2390° ACB90°

即6790°

5678180° 5890° 78

34，BCBC △BGC≌△BEC BGBE

ADBEAGBG

ADBEAB

（方法二）：过点C作直线FGAM，垂足为点F，交BN于点G．作CHAB，垂足为点H． 由（1）得AFBGAB

M N F

D

5

C

E l

6 A 1 4

G 2

3

H

B

题（2）方法二图

AM∥BN，AFG90° BGFFGE90° 12，34 CFCH，CHCG CFCG 56 △CFD≌△CGE DFEG

ADBEAFBGAB

（方法三）：延长BC，交AM于点F．

AM∥BN 54 34 53

AFAB

12，ACAC △AFC≌△ABC CFCB 67 △FCD≌△BCE

DFBE

ADBEADDFAFAB

（3）不成立．

存在．当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时（如图①），

ADBEAB

当点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时（如图②），

BEADAB

同步测试

7．（2009仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝

11BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题： 22F D A

1 2 5

6

M C

3 7 4

N E B

l A

D

M C

M

E C

A D l

题（3）图②

B

N

题（2）方法三图

B E l

题（3）图①

(1)若AB＝AC，请探究下列数量关系：

①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；

②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想； (2)若AB＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．

7.（1）①BD=CE；

②AM=AN，∠MAN=∠BAC 理由如下： ∵在图①中，DE//BC，AB=AC ∴AD=AE.

ABAC,在△ABD与△ACE中BADCAE,∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE，∠ACE=∠ABD.在△DAM与

ADAE△EAN中， ∵DM=

11BD，EN=CE，BD=CE，∴DM=EN，∵∠AEN=∠ACE+∠CAE，∠ADM=∠ABD+∠BAD，∴22∠AEN=∠ADM.

又∵AE=AD，∴△ADM≌△AEN.∴AM=AN，∠DAM=∠EAN.∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴AM=AN，∠MAN=∠BAC.

（2）AM=kAN，∠MAN=∠BAC. 随堂检测：

1. （2009年台州市）请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数． 答： ．

2. （2009白银市）如图6，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 ．

3. （2009年牡丹江）先化简：

a12a1a并任选一个你喜欢的数a代入求值． ，aa2xyx2y2、N24. （09湖南邵阳）已知M2，用“+”或“-”连接M、N，有22xyxy三种不同的形式：MN、MN、NM，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x∶y=5∶2．

5. （09湖南邵阳）如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(110)，，B(10，1)是它的两个端点．

（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．

6. （2009年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P． （1）求证：AF=BE；

（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．

B

7. （2009年遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，73)，且顶点C的横坐标为4，该

9图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式；

⑵该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

P

C F

A D

E

随堂检测答案： 1.y1（答案不唯一） xo

2.答案不唯一，如AC=BD，∠BAD=90，等

a1a22a1a11a3.原式===． ·2aaa1aa1选择a除了0与1以外的数代入均可。

2xyx2y2(xy)2xy4.选择一：MN2，

xy2x2y2(xy)(xy)xy5yy75当x∶y=5∶2时，xy，原式=2．

52yy322xyx2y2(xy)2yx选择二：MN2，

xy2x2y2(xy)(xy)xy5y523． 当x∶y=5∶2时，xy，原式=

527yy2yx2y22xy(xy)2xy选择三：NM2，

xy2x2y2(xy)(xy)xy5yy35当x∶y=5∶2时，xy，原式=2．

52yy72注：只写一种即可． 5.（1）设y

k，x

A(110)，在图象上，10k10，即k11010，y，其中1x1≤x≤10；

（2）答案不唯一．如：小明家离学校10km，每天以vkm/h的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间t10． v6.（1）∵BA=AD，∠BAE=∠ADF，AE=DF， ∴△BAE≌△ADF，∴BE=AF； （2）猜想∠BPF=120° .

∵由（1）知△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF .

∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE，而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°， ∴∠BPF=120° .

7.解：⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)+k，∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，73)

92

∴y=a(x-4)+k 7316ak ………………①

92

又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，∴A(1，0)，B(7，0)

∴0=9a+k ………………②，由①②解得a=3，k=－3，∴二次函数的解析式为：

92

y=3(x-4)－3

9⑵∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，∴DB与对称轴的交点即为所求点P，设直线x=4与x轴交于点M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴PMBM， ∴

DOBO7333，∴点P的坐标为(4，3) 9PM373o

⑶由⑴知点C(4，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=3，∴∠ACM=60，∵AC=BC，3)，

3∴∠ACB=120

①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120，则∠QBN=60，∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q(10，33)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，33)

②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，3)，经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的

o

o

o

坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3)．