利用数形结合法解不等式问题说明

利用数形结合法解不等式问题说明

近年的高考强调不等式基础知识考查的同时也很注重数学能力的考查和数学思想方法的应用，其中数形结合思想方法的应用不可忽视。下面列举六例说明。

1. 数形对照，相互渗透

例1. 使不等式|x4||x3|a有解的实数a的取值范围〔 〕

A. a7 B. a7

C. a1 D. a1

分析：|x4||x3|表示数轴上x所对应的点到与4、3所对应的两点距离之和。由图1可得其和最小值为1，应选D。

图1

22x，y满足xy2y0，欲使不等式xyc0恒成立，求实数c的取值范围。 例2.

分析：欲使xyc0恒成立， 即 cxy恒成立，

专业.

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故 c(xy)min。

22xy2y0上一点，使xy有最小值问题。由图2可 于是问题转化为求

22l平行于xy0且与圆xy2y0相切于下方时，xy取最小值 1知，当直线

12

故 c12，从而c21。

2. 由数想形，直观显现

例3. 解不等式4xx2x。

分析：设f(x)4xx2，

g(x)x(x0)，

由y4xx2得：

专业.

图2

.

(x2)2y24(y0)

2y4xx表示以(2，0)为圆心，2为半径，因为在x轴上方的半圆，yx(x0)表示过

原点斜率为1在第一象限的直线，如图3，由题意转化要求半圆〔圆弧〕应在直线的下方，可得2x4，

图3

故原不等式的解集是〔2，4]

例4. 求使不等式log2(x)x1成立的x的取值范围。

〔03年全国高考题14〕

解：设f(x)log2(x)，

g(x)x1

g(x)x1的图象因为 函数f(x)log2(x)的图象与函数ylog2x图象关于y轴对称，

是一条过点〔0，1〕的直线

专业.

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由图4可得 1x0

图4

22a，bR例5. 且xax2b0，x2bxa0都有实根，求ab的取值范围。

解：依题意得

a28b0，b2a0

22a8b，ba 〔*〕 即

那么满足〔*〕的点〔a，b〕在图5所示的阴影区域内。

图5

专业.

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设zab，那么zab所表示的直线系中，过点A〔4，2〕的直线在b轴上的截距即为满足〔*〕的z的最小值。

所以 (ab)min426

故 ab6

3. 由数构形，抽象变形象

例6. 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，

f'(x)g(x)f(x)g'(x)0且g(3)0，那么不等式f(x)g(x)0的解集是〔 〕

A. (3，0)(3,) B. (3，0)(0，3)

C. (，3)(3，) D. (，3)(0，3)

〔04年湖南高考题12〕

解：设F(x)f(x)g(x)，

因为 当x0时，

专业.

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f'(x)g(x)f(x)g'(x)

[f(x)g(x)]'F'(x)0

所以 F(x)在(，0)上是增函数

因为 f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数， 所以 F(x)为奇函数 又 g(3)0

所以 F(3)f(3)g(3)0 又 f(x)是奇函数，所以

f(0)0

故 F(0)0

根据以上特点，不妨构造如图6所示的符合题意的函数F〔x〕的图象，由图直接观察出所求解集是(，3)(0，3)

专业.

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图6

应选D。

由上几例可知，在不等式的教学或复习中要有意识的注意数形结合思想方法的渗透。

专业.