教学参谋
解法探究
2019年8月高中数学数列问题教学策略研究
筅江苏省常熟市尚湖高级中学张品军数列部分问题是高中数学教学的重要组成部分，也是高考数学的热门考点，它经常以压轴题的形式出现，并占据着高考数学分值的半壁江山.该部分知识贴近我们的生活实际，是新课程改革以来重要的教学内容，该部分知识包含着很多重要的数学思想和数学方法，是发展学生数学能力的重要部分.因此，数列问题常常作为高中数学学习的重点来看待.数列的通项公式是数列部分的基础内容，也是重要内容，它是解决任一数列问题的基础，因此，解决高中数学通项公式部分问题是学好数列部分知识的关键.一尧观察法求通项公式观察法求通项公式是求法，它是通过观察数列{an的关系来判断数}中列第数的n通项列项的数的通公式值项的一与公第式种n的方项基法之.前本在高的方数值之间考数学中，涉及这类问题的试题主要有表格和图形两种.例1（山东高考理科数学试题）等比数列{ana3分别是下表第一、二、a}中，a1，a某一个数，且2，三行中的a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.求数列{n}的通项3公式.行列11232210369481418问题分析院在解决这一问题的时候，首先要观察表格中各数字的特点，根据特点我们发现需要对图表中的数2时字，进a行分开检验，先从最小和最大的数值开始，当a2=6，a3=18，符合题目要求，成等比数列.当a1=找不到符合题意的数列，当a1=3时，的数列，那么只能选择a1=10时，也找不到符合题意1=2，a2=6，a3=18，公比q=3的等比数列，进而就可以得到该数列的通项公式.例2（陕西省高考理科试题）观察下列等式，则第n个等式为1______.2=3+13+4=4++45++56+91+67++7218=+259+10=493345758
高中问题分析院这是一个典型的适用观察法来解决的数列通项公式问题，该问题涉及杨辉三角的部分知识，学生需要观察每一行的第一个数字和等号左边的项数，寻找它们之间的规律.通过观察分析可以发现，等号左边第一个数为第n行的行数，项数为2n-1项，而等号右边则是完全平方数，通过观察右侧图形就可以得出该数列的规律为n+（n+1）+…+［n+（2n-1）-1］=（2n-1）2，即n+（n+1）+…+（3n-2）=（2n-1）2.二尧待定系数法求通项公式待定系数法求通项公式实际上就是根据公式法去求数列的通项公式，这种方法要求学生具备较高的运算能力，这样学生才能够在较短的时间内完成对通项公式的求解.一般情况下，利用待定系数法求通项公式的情况有两种，一种是不涉及Sn和an的数列，而是直接给出等差数列或等比数列来考查学生对等差数列和等比数列的通项公式的掌握情况.例3（辽宁高考理科数学）已知等差数列{ana2=0，a6+a8=-10，求数列{an}满足问题分析院这一问题主要}的通是项要求公式学.生运用待定系数法去构造方程，然后根据方程去求解，因此，能够快速找到数量关系，构造方程组是解题的关键.根据题意可以列出方程组a5，进而1+d=0，a求出a1+5d+a1+7d=-10，化简可得a1+d=0，a1+6d=-另一种则是融合了1=1，d=-1，则an=2-n.Sn和an的相关知识，利用这两者之间的关系去求数列的通项公式，这类问题在求解的过程中需要牢固记忆通项公式和前n项和的定义才可完成求解.例4（湖北省高考理科数学）已知数列{an为d的等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是公差比数列.已知b1=a1，b2=2，q=d，S}是公比为q的等通项公式.10=100.求数列{an}和{bn}的问题分析院与例3相比，本题增加了前n项和的问题，在难度上有所提升.另外，题目中给出的已知条件较多，学生需要按照顺序选择已知条件，不要遗漏关键信息，这100样，问那么题就可以列出方可以快速得到解决程10a.因为b1=a1，b2=2，q=d，S10=1+45d=100，a1d=2，解得a1=1，2019年8月d=2或者a1=9，d=29.从而可求得数列{an}和{bn}的通项公式.三尧通过构造等比数列或等差数列求通项公式通过构造等比数列或等差数列求通项公式是通过构造的方法，将原来烦琐不规律的数列转变成递推式的结构，然后进行求解.这类题目可以通过构造等比数列或等差数列来直接求出通项公式.例5（安徽省高考理科数学）在数1和数100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，令an=lgTn，n逸1.求数列{an公式.}的通项问题分析院这是一道可以直接通过构造法来求解的问题，设t1，t2，…，tn+2成等比数列，t1=1，tn+2=100，则Tn=t…·tt相乘T1·t2·n+1·n+2，Tn=tn+2·tn+1·…·t2·t1，两式n2=102渊n+2冤lgT，an=n=n+2，n逸1.例6（高考数学全国卷）已知在数列{a1-a1n}中，a1=0，n+1-1-a1n=1.求数列{an}的通项公式.问题分析院由嗓1-a1n+1-11=1，根据上式可以看出数列1-a1-ann瑟是一个公差为1的等差数列，又因为a1=0，那么它的首项1=1，所以1=1+（n-1）伊1a1-a11-an=n，进而得出n=1-1n.四尧累加法求通项公式在数列部分问题的解题过程中，若遇到形如an+1=an+f（n）这样的递推数列时，我们就可以使用累加法，将它变形为an+1-an=f（n）的形式，这样能够帮助我们更加快捷地求出数列的通项公式.例7（高考数学文科全国卷）已知数列{ana2=2，a}中，a1=1，n+2=2an+1-an+2.（1）令bn=an+1-an，证明数列{bn（2）求数列{a}是等差数列.n问题分析院通过}的观通察项题公式目.中的等式可以发现，题目中的数列具有一定的递推关系，我们可以利用累加法来进行求解，需要注意的是，在利用累加法进行求解之前需要对已知关系进行变形.（1）已知an+2=2an+1-an+2，那么an+2-an+1=an+1-an+2，即bn+1=bn+2，又b公差为2的等差1=a数2-a列1=1，由此可见，数列{bn.}是首项为1，解法探究
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（2）通过第一问得出数列{bn}的通项公式为bn=1+2（n-1），转化可得an+1-an=2n-1，进而得出a移n（ank=1k+1-ak）=移k=1（2k-1），n+1-a的通项公式为a1=n2，即an+1=n2+an+2.1.因为a1=1，所以数列{ann=n2-2}五尧累乘法求通项公式在数列部分问题的解题过程中，若出现形如aan+1n这样的数列时，则可以使用累乘法来实现快速解题的目的.从本质上来看，累加法和累乘法都是通过对已知数列加以变形，从而构造出新的递推关系来进行求解.在使用这种方法求解的时候，关键在于数学等式的化归与转化，进而构造出新的递推关系.例8（高考数学文科全国卷）在数列{ann项和S}中，a1=1，前n=n+2an.（1）求3数列中a的2和通a3的项值公.（2）求数列{an}式.问题分析院（1）题目中的已知条件为a1=1，Sn=n+2an，那么S3数2=a值1+a得a2，代入数值可以得出a6.2=3，同理S3=a1+a2+a3，代入3=（2）根据题意，当n逸2时，得Sn=n+两式相减得Sn-Sn-1=n+2a32an，Sn-1=n+31an-1，n-n+1an-1，进一步转化可得an=n+2a33n-n+1·an-1圯n-1an=n+1an-an+1aa3n伊an-13伊…伊a2伊a331圯ann-1=n-1，那么an=1=n+1伊n伊…3伊1=n2+n，1n-1an-2a1n-1n-2a1=2+1=112公2，与题目中的已知条件相吻合，故数列{an式为an=n2+n}的通项六2.尧结语通项公式是数列部分教学的重点，是解决一切数列问题的基础.文中分析了求数列通项公式的五种方法，并借助相应的高考题目来说明.从本质上来说，求解通项公式的这五种方法归根结底都是数学思想的应用，其中观察法主要体现了数学中的数形结合思想，待定系数法体现了数学中的函数与方程思想，构造法、累加法和累乘法体现了数学思想中的化归与转化的思想.因此，在高中数学数列部分的教学中，教师不仅要教授学生该部分的数学知识，还要将相应的数学思想进行渗透，提高学生运用数学方法解决数学问题的能力，进而提高数学课堂教学的效率.W高中59
