2019年高考数学全国3卷文/理科
试卷分析和点评解析
4 2 10.双曲线 C： 1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标
原点.若 |PO|=|PF|，则△PFO 的面积为（ ）
3 2 A. 2
3 B.
C. 2 2 D. 3 2 4 2 【解析】看到焦点和渐近线，想到双曲线参数的几何意义，即焦点到渐近线的距离为 b ，过
F 作渐近线的垂线，垂足为 B，设
PO PF
x ，
c 2 x 2 x2
，a 法一：在 RtOFB 中，有 cos FOB 在 OFP 中，有 cos FOB ，
c
2cx
1 c2 3 2 c2
联立得 x ，得 S b 。
2a 2 2a 4 2 c2 法二：等腰直角三角形的高xc，由等面积法得 b x c x为 x ， 4 易得
2 2 c2 ，2a
4 同上。
【点评】双曲线参数的几何意义多次考查，《解析几何的系统性突破》
（唯一正版销售书店）通过高考题反复强化学生认知，从而在一些几何图形中迅速找到隐含 的信息，快速突破。
11.（送分）
12. 设函数 f (x)
sin(x
)(0) ，已知 f (x)在[0,2π]有且仅有 5 个零点，下述四个结 5
论：①f (x)在(0,2π)有且仅有 3 个极大值点；②f (x)在(0,2π)有且仅有 2 个极小值点；③f (x)
(0, 在
10
) 单调递增；④的取值范围是 12 , 29) .其中所有正确结论的编号是（）
[ 5 10
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
【点评 1】肖博老师威信：xbmath19《高观点下全国卷高考压轴题研究三部曲》书中 最后给出了 16 套小练习（搜集最新的各地模拟题），其中第 3 套和第 4 套第 1 题如下：
1.函数 f xcosx0在, 上有且只有两个极值点，则的取值范
围是 区间
3 4
A. B.
2,3
2,3
1.若函数 y 2sinx 0的图象在区间 (,
的取值范围 为（ ）
3,
4
C.
D.
3, 4
) 上只有一个极值点，则3 6
A. 1 3 2
B.
3 3 2
C. 3
D. 4
3 9 2 2 法一：还原，则变成同上 2 个题。
法二：作出图像，为了方便观察，把第一个负零点考虑进去，容易得到
5
2
T ,3T ) ，
[ 5 2
12 29
可得的取值范围是[ , ) .④正确。
5 10
49 因为 x (0, ) ，所以x ) ( , ) ( , ) ，所以③正确，
( , 选 D。
10 5 5 10 5 5 100 5 2
【点评 2】2016 全国 1 卷第 12 题也是考查了函数零点、周期性、单调性，在
淘宝书店博约 书斋即将出版的《高观点下全国卷高考压轴题研究三部曲》书中给出了很多变式，性质综合 多的题目，图像是最好的切入点。
xy1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限，若15.设 F1，F2 为椭圆 C： △MF1F2
2
2
36 20
为等腰三角形，则 M 的坐标为 .
2 【 解析】 由题知 MF1 F1F2 8 ， 由焦半径公式得 MF1 exM a
3
xM 6 8 ， 即
xM 3 ,所以 M 的坐标为 (3, 15) .
[点评]超纲知识如何定位,如何教学,如何命题,全国卷如何考查,在淘宝博约书斋店铺中《全国 卷高考数学分析及应对》一书做了深刻的解读。 16.（送分）
18.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a sin
2
A C =b sin A .
（1）求 B；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围.
【解析】（1） B ；（2）△ABC 面积为
4
4 a 的范围。 2 a ，目标是求
法一：（函数观点）正弦定理边化角，构建函数，再利用内角和消元； 法二：
（不等式）利用余弦定理把 b 用 a 表示出来，代入到锐角三角形满足两边平方和大于 第三边平方的关系中易求得答案。 法三：（数形结合）分别过 A,B 两点作垂线，非常直观地看到构成锐角三角的时 C 的位置， 从而得到面积的范围。
20.（12 分）已知函数 f (x) 2x3 ax2 b .
（1）讨论 f (x)的单调性； （2）是否存在 a，b，使得 f (x)在区间[0,1]的最小值为-1 且最大值为 1？若存在，求出 a，b
的所有值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）略；（2）法一：根据第（1）问一一讨论。
a a3
法二：注意到 f (1) 2 a b, f (0) b, f ( )
3 27 ①若 f (x)在区间[0,1]单调，则 a 0 或 a
b ，（都含有 b）
f (1) f (0) 2 ，即 a 0, 4 ，
3 ，此时
3 a a ②当 0 a 3 时，若 f (x)在 (0, ) 单减，在 ( ,1) 单增，因为 f 2 ，所 (0) f ( a ) a 3 3 3 27
a a3
以 f (1) f ( ) 2 a
3 27 综上： a 0, 4
2 ，即 a 3 3 ，舍去。
【点评】能够清楚的讨论是水平的体现，能够有效减少讨论是更高水平的体现，注意到三个 函数值都含有 b，故作差观察，容易直接得到答案。在淘宝博约书斋店铺中《高观点下函数 导数压轴题的系统性解读》（唯一正版销售书店）分三节系统性地研究了分类整合这一基本 思想。
1 x2
21. 已知曲线 C： y ，D 为直线 y 切点分别
2 2
为 A，B.
（1）证明：直线 AB 过定点；
上的动点，过 D 作 C 的两条切线，
5 （2）若以 E(0, ) 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE
2
的面积. 【点评 1】与切点弦相关的 P 点，极限位置是曲线上，即此时的切点弦方程就是切线方程， 所以切点弦的方程和曲线在某点的切线方程是一致的。
在《解析几何的系统性突破》一书把切点弦单独作为一节，介绍了相关性质。这些性质 可以统一在一起：以抛物线焦点弦 AB 为直径的圆与准线相切于点 P，连接 P 与圆心，容易 得到 P 的横坐标就是 A、B 中点的横坐标。PA,PB 是抛物线的切线，且相互垂直，PF AB 。
第（1）问得到切点弦方程，即可得到定点坐标。根据极点极线知识，《解析
几何的系
统性突破》直接给出了圆锥曲线一般性答案。
【点评 2】第（2）问，圆和圆锥曲线的位置关系，全国卷反复考查，甚至年年考，套套考。 涉及中点弦，圆和抛物线的弦相切。利用中点结论可得 AB 斜率为切点横坐标，由定点和切 点连线的斜率和垂直，可求得切点坐标。和下题一样： （ 2015 四 川 高 考 ， 理 10 ） 设 直 线 l 与 y2 4x 相 交 于 A ， B 两 点 ， 抛 物 线 与 圆
x 52 y2 r 2 r 0相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条， 则 r 的取值范围是（ （A） ）
3
1，（B） 4
1，（C） 3
2，（D） 2，4
【点评 3】注意到 AB 过定点，切点和 D 点横坐标相同，求面积可以分别在两个三角形中用
水平宽乘以铅垂高。注意到 DF AB ，在两个三角形也可以用底乘以高。
