理论力学课后习题答案第8章动量定理及其应用

8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA＝AB＝l，

＝45°，

为常量，均质连杆AB的质量为m，而曲柄OA和滑块B的质量不计（图a）。

(2) 质量均为m的均质细杆AB、BC和均质圆盘CD用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R，图示瞬时A、B、C处于同一水平直线位置，而CD铅直，AB杆以角速度ω转动（图b）。

(3) 图示小球M质量为m1，固结在长为l、质量为m2的均质细杆OM上，杆的一端

A B A ω C ω M D (a)

(b)

习题8-1图

(c)

B 60˚

O O O铰接在不计质量且以速度v运动的小车上，杆OM以角速度ω绕O轴转动（图c）。

5解：（1）p = mvC =）； ml，方向同vC（解图（a）

2 （2）p = mvC1 + mvC2 = mvB = 2Rm，方向同vB，垂直AC（解图（b））； （3）p[m1(vlcos60)m2(vlcos60)]i(m1lsin60m2lsin60)j

22[(m1m2)v

2m1m22mm2）。 l]i3l1j（解图（c）

44O1 A A ω CvC1 vB B CvC2 C y vr M ω O 60˚vC B C

(b)

D (c)

习题8－2解图

x O (a)

习题8-1解图

vB

8－2 图示机构中，已知均质杆AB质量为m，长为

l；均质杆BC质量为4m，长为2l。图示瞬时AB杆

的角速度为ω，求此时系统的动量。

解：杆BC瞬时平移，其速度为vB

ppABpBC l9m4mlml22方向同

vB 。

8－3 两均质杆AC和BC的质量分别为m1和m2，在C点用铰链连接，两杆立于铅垂平面内，如图所示。设地面光滑，两杆在图示位置无初速倒向地面。问：当m1= m2和m1= 2m2时，点

y 习题8－3解图

C的运动轨迹是否相同。

解：根据受力分析知：心在水平方向运动守恒。

当m1= m2时，系统关于y轴对称，质心位于y轴上，且沿y轴作铅垂直线运动，点C的运动轨迹亦为铅垂直线。

当m1= 2m2时，质心位于y轴左侧，且作铅垂直线运动，点C的运动轨迹必为曲线。

故两种情况下，点C的运动轨迹不相同。

Fx0，故系统的质

FNA

FNB

8－4 图示水泵的固定外壳D和基础E的质量为m1，曲柄OA=d，质量为m2，滑道B和活塞C的质量为m3。若曲柄OA以角速度ω作匀角速转动，试求水泵在唧水时给地面的动压力（曲柄可视为匀质杆）。 解：以整个水泵为研究对象，受力如图（a）： 解法1：用动量定理求解 瞬时t，系统动量

习题8－4图

p = p2+p3

p2m2v C2m2ω，方向如图 p3m3v C3m3d sin，方向如图 由质系动量应理：

dpydtFyFy

d2 (1) (2)

dpxFxFx dt pyp2yp3ym2sinm3dsin

d2(a)

 C2

C3

pdxp2xp3xm22cos FxFxFx

FyFyFy(m1m2m3)g 代入（1）、（2），并注意到  t得：

ddtmd22sintm3dsintFy(m1m2m3)g ddtmd22cos tFx

得Fm22m3y(m1m2m3)g2dω 2 cost （3） Fdx2m2 2 sin t （4）

解法2：用质心运动定理解 研究对象及受力同前： MaCFR pp2p3

MvCm2vC2m3vC3

ddt：MaCm2aC2m3aC3 aC2d2ω 2，方向指向O点； aC3d2cost，方向向上。

写出质心运动定理的投影形式：

md222 cos tm3d2 cos tFy(m1m2m3)g -md222 sin tFx

F-mdx222 sin t

F2my(m1m2m3)gm232d2 cos t 结果同解法1。

8－5 图示均质滑轮A质量为m，重物M1、M2质量分别为m1和m2，斜面的倾角为忽略摩擦。已知重物M2的加速度a，试求轴承O处的约束力（表示成a的函数）。解：以系统整体为研究对象，应用动量定理 dpx dtm2acosFOxFNsin A O a dpy dtm1am2asinFOyFNcos(mm1m2)g M θ分析M2可知：FM Nm2gcos

习题8－5图

，

则有

FOxm2acosm2gcossin(agsin)m2cosFOy

A 2FOy(m1m2sin)am2gcos(mm1m2)g

O FOx mg a M θM m1g FN m2g 习题8－5解图

8－6 板AB质量为m，放在光滑水平面上，其上用铰链连接四连杆机构OCDO1（如图示）。已知OC = O1D = b，CD = OO1，均质杆OC、O1D质量皆为m1，均质杆CD质量为m2，当杆OC从与铅垂线夹角为位移。

解：以系统整体为研究对象，根据受力分析知：

由静止开始转到水平位置时，求板AB的

θO A C 习题8－6图

D O B Fx0，

故系统的质心在水平方向运动守恒。若初始时（设CD= l）：

bllbm1sinm2(bsin)mm1(sinl)2222 2m1m2m

xC0设杆OC转到水平位置时板AB的位移为s，

bllbm1(s)m2(bs)m(s)m1(sl)2222xC2m1m2ms A θO A C D O B O B 习题8－6解图

xC0 = xC

sm1m2b(1sin)

2m1m2m8－7 匀质杆AB长2l，B端放置在光滑水平面上。

杆在

图示位置自由倒下，试求A点轨迹方程。

习题8－7图

解：杆水平受力为零，水平动量守恒；初始静止、质心位置xC守恒： xClcos0 xAxClcos yA2lsin 由（1），

xAxClcos

（2）

(a)

即 xAlcos0lcos （3） 由（2）

yA2lsin （4）

（3）、（4）两边平方后相加，得

(x2y2AAlcos0)l24

此为椭圆方程。

*8－8自动传送带如图所示，其运煤量恒为20kg/s，传送带速度为s。试求匀速传送时传送带作用于煤块的总水平推力。

解：设皮带作用煤块的总水平推力为Fx，皮带在dt时间内输送量为qVdt，由动量定理微分形式：

qVdtvFxdt

FxqVv201.530 N

8－8图习题