鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料09年全国高考数学试题——广东卷（理科）
绝密★启用前试卷类型：B
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科)
参考公式：锥体的体积公式V=
1
sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高3
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．巳知全集U=R，集合M={x−2≤x−1≤2}和N={xx=2k−1,k=1,2,⋯}的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．３个Ｃ．１个
Ｂ．２个Ｄ．无穷个
２．设z是复数，a(z)表示满足zn=1的最小正整数n，则对虚数单位i，Ａ．８
Ｂ．６
xa(i)=
Ｄ．２
Ｃ．４
３．若函数y=f(x)是函数y=a(a>0,且a≠1)的反函数，其图像经过点(a,a)，则f(x)=Ａ．log2xＢ．log1x2
Ｃ．
12xＤ．x2
４．巳知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,⋯，且a5⋅a2n−5=2(n≥3)，则当n≥1时，
2nlog2a1+log2a3+⋯+log2a2n−1=
Ａ．n(2n−1)
Ｂ．(n+1)
2
Ｃ．n2
Ｄ．(n−1)
2
数学（理科）试题8第1页（共4页）
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1,F2成60角，且F1,F2的大小分别为２和４，则F3的大小为Ａ．６
Ｂ．２
Ｃ．25Ｄ．270
7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲
鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料09年全国高考数学试题——广东卷（理科）
车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图2所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１２题）
９．随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1,a2,⋯,an，则图3所示的程序框图输出的s=的数字特征是
．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）
．，表示的样本
１０．若平面向量a,b满足a+b=1，a+b平行于x轴，b=(2,−1)，则a=
11．巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为则椭圆G的方程为
．3，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，2数学（理科）试题B第2页（共4页）
12．已知离散型随机变量X的分布列如右表．若EX=0，DX=1，则a=，b=．
（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线l1:⎨
⎧x=1−2t,
(t为参数)与直线
y=2+kt.⎩
．
⎧x=s,
l2:⎨（s为参数）垂直，则k=⎩y=1−2s.
x+1
14．（不等式选讲选做题）不等式≥1的实数解为
x+2
．
15．(几何证明选讲选做题）如图4，点A,B,C是圆O上的点，且AB=4,∠ACB=45，则圆O的面积等于三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）
已知向量a=(sinθ,−2)与b=(1,cosθ)互相垂直，其中θ∈(0,（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin(θ−ϕ)=
0
．
π)．2
10π,0<ϕ<，求cosϕ的值．102
17．（本小题满分12分）
鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料09年全国高考数学试题——广东卷（理科）
根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5（1）求直方图中x的值；
（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知
57=78125,27=128,
32738123++++=,365=73×5）18253651825182591259125
数学〈理科）试题B第3页（共4页)
18．（本小题满分１４分）
如图６，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为２，点Ｅ是正方形BCC1B1的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点Ｅ、Ｇ在平面DCC1D1内的正投影．
（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（２）证明：直线FG1⊥平面FEE1；（３）求异面直线E1G1与EA所成角的正统值
19．（本小题满分１４分）
2
已知曲线C:y=x与直线l:x−y+2=0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xA（１）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；（２）若曲线G:x−2ax+y−4y+a+20．（本小题满分１４分）已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=−1处取得极小值m−1(m≠0)．设
2
2
2
51
=0与点D有公共点，试求a的最小值．25
f(x)=
g(x)
．x鼎吉教育（DinjEducation）中小学生课外个性化辅导中心资料09年全国高考数学试题——广东卷（理科）
（１）若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值；（２）k(k∈R)如何取值时，函数y=f(x)−kx存在零点，并求出零点．21．（本小题满分１４分）
已知曲线Cn:x−2nx+y=0(n=1,2,…)．从点P(−1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn>0)的切线ln，切点为
2
2
Pn(xn,yn)．
（１）求数列{xn}与{yn}的通项公式；（２）证明：x1⋅x3⋅x5⋅⋯⋅x2n−1<
1−xnx<2sinn1+xnyn数学（理科）试题Ｂ第４页（共４页）
