2020高考数学考点题型归类解析---6平面向量

06平面向量

1(ABAC)2，则|PD|_________；

1.（2020•北京卷）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足

PBPD_________．

AP【答案】 (1). 5 (2). 1

【解析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点

P的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得

PD

以及PBPD的值.

【详解】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

111ABAC2,02,22,1222，

则点

A0,0、

B2,0、

C2,2、

D0,2，

APP2,1PD2,1PB0,1则点，，，

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因此，

PD22125，PBPD021(1)1.故答案为：5；1.

【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.

2.（2020•全国1卷）设a,b为单位向量，且|ab|1，则|ab|______________.

【答案】3

【解析】整理已知可得：形可得：

aba2abb2abab2aba,b2ab1，再利用为单位向量即可求得，对变

2，问题得解.

ab1a,b【详解】因为为单位向量，所以

所以

abab2a2abb22ab122

解得：2ab1,所以

abab2a2abb322,故答案为：3

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

3.（2020•全国2卷）已知单位向量a,b的夹角为45°，kab与a垂直，则k＝__________.

2【答案】2

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【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.

2ab11cos45kaba02，【详解】由题意可得：由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：

kaabk22220k22.故答案为：2． ，解得：

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4.（2020•全国3卷）已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cos17C. 35

a,ab=（ ）

A.

3135

B.

1935

19D. 35

【答案】D

【解析】计算出

aab、ab的值，利用平面向量数量积可计算出cosa,ab的值.

，ab6，

aabaab52619【详解】

a5，

b62.

abab2a2abb252636722，

cosa,abaab因此，

aab19195735.故选：D.

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【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.

5.（2020•江苏卷）在△ABC中，AB4，AC3，∠BAC=90，D在边BC上，延长AD到P，使得

3PAmPB(m)PC2AP＝9，若（m为常数），则CD的长度是________．

18【答案】5

3PAmPBmPC2【解析】根据题设条件可设PAPD0，结合

与B,D,C三点共线，可求得，

再根据勾股定理求出BC，然后根据余弦定理即可求解.

3PAmPBmPC2【详解】∵A,D,P三点共线，∴可设PAPD0，∵

，

∴

PDmPBmPC23，即

3mm2PCPDPB，

若m0且

m32，则B,D,C三点共线，∴3mm21，即

32，

∵AP9，∴AD3，∵AB4,AC3,BAC90，∴BC5，

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设CDx，CDA，则BD5x，BDA.

∴根据余弦定理可得

cosADCDACx2ADCD6222，

AD2BD2AB25x7cos2ADBD65x2，

∵coscos0，∴

x5x70665x2，解得

x18185，∴CD的长度为5.

当m0时，

PA3PC2，C,D重合，此时CD的长度为0，

当

m3183PAPB2时，2，B,D重合，此时PA12，不合题意，舍去.故答案为：0或5.

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出PAPD0．

6.（2020•新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB 的取值范用是（ ）

A. (2,6) B. (6,2)

C. (2,4) D. (4,6)

【答案】A

【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)，利用向量数量积的定义式，求得结果.

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【详解】

AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)，

结合向量数量积的定义式，可知APAB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，

所以APAB的取值范围是(2,6)，

故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.

32，

B60,AB3，ABCDBC6，7.（2020•天津卷）如图，在四边形中，且

ADBC,ADAB则实数的值为_________，若M,N是线段BC上的动点，且|MN|1，则DMDN的最小值为_________．

131【答案】 (1). 6 (2). 2

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【解析】可得BAD120，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点B为坐标原点，

Mx,0BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点，则点Nx1,0（其中0x5），得出DMDN关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DMDN的最小值.

【详解】ADBC，AD//BC，BAD180B120，

311639ABADBCABBCABcos1202，解得26，

以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，

333A,22BC6，C6,0AB3,ABC60, A,∵，∴的坐标为

5331DADBC2,2，设Mx,0，则Nx1,0（其中0x5）6∵又∵,则，

533333DMx,DNx,2222，，

5333211322DMDNxxx4xx222222，

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213113所以，当x2时，DMDN取得最小值2.故答案为：6；2.

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

8.（2020•浙江卷）设e1，e2为单位向量，满足|2e1e2|2夹角为，则cos的最小值为_______．

2，ae1e2，b3e1e2，设a，b的

28【答案】29

【解析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得函数关系式，根据函数单调性求最值.

e1e232cos4，再根据向量夹角公式求

【详解】|2e1e2|2，44e1e212，

e1e234，

cos2(ab)2ab22(44e1e2)2(22e1e2)(106e1e2)4(1e1e2)53e1e2

424228(1)(1)283332953e1e2534.故答案为：29.

【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

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