2013年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析

参与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2013•广东）设集合S={x|x+2x=0，x∈R}，T={x|x﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（ ） {0} A．B． {0，2} C． {﹣2，0} D． {﹣2，0，2} 考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案． 解答： 解：分析可得， 22S为方程x+2x=0的解集，则S={x|x+2x=0}={0，﹣2}， 22T为方程x﹣2x=0的解集，则T={x|x﹣2x=0}={0，2}， 故集合S∩T={0}， 故选A． 点评： 本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集． 22

2．（5分）（2013•广东）函数 A．（﹣1，+∞） B． [﹣1，+∞） 的定义域是（ ）

C． （﹣1，1）∪（1，D． [﹣1，1）∪（1，+∞） +∞） 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围． 解答： 解：要使函数有意义需， 解得x＞﹣1且x≠1． ∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）． 故选C． 点评： 本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题． 3．（5分）（2013•广东）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（ ） 2 3 4 5 A．B． C． D． 考点： 复数求模；复数相等的充要条件． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再 1

利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5． 解答： 解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3． ∴|x+yi|=|4﹣3i|==5． 故选D． 点评： 熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键． 4．（5分）（2013•广东）已知 A． B． C． ，那么cosα=（ ） D． 考点： 诱导公式的作用． 专题： 三角函数的求值． 分析： 已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值． 解答： 解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=． 故选C． 点评： 此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（ ）

1 4 7 A．C． D． 考点： 程序框图． 专题： 算法和程序框图． 分析： 由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值． 解答： 解：当i=1时，S=1+1﹣1=1； 当i=2时，S=1+2﹣1=2； 当i=3时，S=2+3﹣1=4； 当i=4时，退出循环，输出S=4； 故选C． 2 B． 2

点评： 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理． 6．（5分）（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A． B． C． 1 D． 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离；立体几何． 分析： 由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积． 解答： 解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1． ∴因此V=故选B． =． =． 点评： 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键． 7．（5分）（2013•广东）垂直于直线y=x+1且与圆x+y=1相切于第一象限的直线方程是（ ） x+y+1=0 A．B． C． x+y﹣1=0 D． 考点： 圆的切线方程；直线的一般式方程． 专题： 直线与圆． 22

3

分析： 设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x+y=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程． 解答： 解：设所求的直线为l， ∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1 ∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0 22∵直线l与圆x+y=1相切， ∴圆心到直线的距离d=当b=﹣当b=，解之得b=±，﹣ ），切点在第三象限； 22时，可得切点坐标（﹣时，可得切点坐标（22，），切点在第一象限； ∵直线l与圆x+y=1的切点在第一象限， ∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0 故选：A 点评： 本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 8．（5分）（2013•广东）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若l∥α，l∥β，则α∥β B． 若l⊥α，l⊥β，则α∥β 若l⊥α，l∥β，则α∥β C．D． 若α⊥β，l∥α，则l⊥β 考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A； 根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B； 根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C； 根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D． 解答： 解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误； 若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确； 若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误； 若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误； 故选B 点评： 本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键． 9．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（ ）

4

A． B． C． D． 考点： 椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 22分析： 由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b=a﹣c求出b，则椭圆的方程可求． 解答： 解：由题意设椭圆的方程为22． 因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于， 即，所以a=2，则b=a﹣c=3． 222所以椭圆的方程为． 故选D． 点评： 本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题． 10．（5分）（2013•广东）设是已知的平面向量且命题：

①给定向量，总存在向量，使

；

；

； ；

，关于向量的分解，有如下四个

②给定向量和，总存在实数λ和μ，使

③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使

上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ） 1 2 3 4 A．B． C． D． 考点： 命题的真假判断与应用；平面向量的基本定理及其意义． 专题： 平面向量及应用． 分析： 选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来． 解答： 解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量， 5

故总存在向量，使，故①正确； 选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底， 由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确； 选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0）， 无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2， 要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4， 故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误； 选项④，因为λ和μ为正数，所以向量， 这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来， 故不一定能使成立，故④错误． 和代表与原向量同向的且有固定长度的故选B 点评： 本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题． 二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题） 11．（5分）（2013•广东）设数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15 ． 考点： 等比数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值． n﹣1n﹣1解答： 解：∵数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴an=a1•q=（﹣2）， ∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15， 故答案为15． 点评： 本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题． 12．（5分）（2013•广东）若曲线y=ax﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a= 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值． 解答： 解：由题意得， 2

．

∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，

6

∴2a﹣1=0，得a=， 故答案为：． 点评： 本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大． 13．（5分）（2013•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是

5 ． 考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值． 解答： 解：画出可行域如图阴影部分， 由 得A（1，4） 目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大， 由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大=1+4=5． 故答案为：5． 点评： 本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题． 选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为

（θ为参数） ．

考点： 圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化． 7

专题： 坐标系和参数方程． 分析： 首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程． 222解答： 解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ=2ρcosθ，即x+y﹣2x=0． 化圆的方程为标准式，得（x﹣1）+y=1． 令，得． 22所以曲线C的参数方程为故答案为． ． 点评： 本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题． 15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题） 如图，在矩形ABCD中，

，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=

．

考点： 余弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长． 解答： 解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2， ∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC=∴∠ECD=60°， 在△ECD中，CD=AB=2=， ，EC=22， +3﹣=， 根据余弦定理得：ED=EC+CD﹣2EC•CDcos∠ECD=则ED=故答案为：． 点评： 此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

8

四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）（2013•广东）已知函数（1）求（2）若 考两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系． 点： 专三角函数的图像与性质． 题： 分（1）把x=直接代入函数解析式求解． 析： ．

的值；

，求

．

（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将x=θ﹣并利用两角和与差公式求得结果． 解解：（1）答： （2）∵∴， 代入函数解析式，， ． 点本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简评： 单综合． 17．（13分）（2013•广东）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100） 5 10 20 15 频数（个） （1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率； （2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？

（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率． 考点： 古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法． 专题： 概率与统计． 分析： （1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求． （2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数． （3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率． 9

解答： 解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为（2）重量在[80，85）的有个． ． （3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1． 重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有： （1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种． 设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种， 所以． 点评： 本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了 总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题． 18．（13分）（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=（1）证明：DE∥平面BCF； （2）证明：CF⊥平面ABF；

（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．

．

考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；立体几何． 分析： （1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF． （2）由条件证得AF⊥CF ①，且222．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC=BF+CF，从而 CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF． （3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由 10

，运算求得结果． 解答： 解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立， ∴DE∥BC． 又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF， ∴DE∥平面BCF． （2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且． ∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC=BF+CF，∴CF⊥BF②． 222又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF． （3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG． ∴=． 点评： 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题． 19．（14分）（2013•广东）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+1﹣4n

*

﹣1，n∈N，且a2，a5，a14构成等比数列． （1）证明：a2=

；

2

（2）求数列{an}的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有

．

考点： 数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）对于，令n=1即可证明； （2）利用两式相减即可求出通项公式． （3）由（2）可得项求和”即可证明． 解答： 解：（1）当n=1时，∵（2）当n≥2时，满足 ，且，（n≥2），=．利用“裂， ，且 11

， ∴∴， ， ∵an＞0，∴an+1=an+2， ∴当n≥2时，{an}是公差d=2的等差数列． ∵a2，a5，a14构成等比数列，∴得a2=3， 由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2， ，，解∴{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列． ∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1． （3）由（2）可得式∴= ． 点评： 熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）是解题的关键． 20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为

，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，

其中A，B为切点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程； （3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值． 考抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质． 点： 专圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 题： 分（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得析出抛物线C的方程； ： （2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数， 12

得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程； （3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值． 解解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离答： 解得c=1， 所以抛物线C的方程为x=4y． （2）设，，， ，所以切线PA，PB的斜率分别为，2，由（1）得抛物线C的方程为， 所以PA：联立①②可得点P的坐标为①PB：，即，② ， 又因为切线PA的斜率为，整理得， 直线AB的斜率所以直线AB的方程为整理得，即， ， ， 因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2， 所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0． （3）根据抛物线的定义，有所以=， 由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2， 所以，， 13

=所以当． 时，|AF|•|BF|的最小值为． 点本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考评查计算能力，有一定的综合性． ： 21．（14分）（2013•广东）设函数f（x）=x﹣kx+x（k∈R）． （1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M． 考利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 点： 专导数的综合应用． 题： 分（1）当k=1时，求出f′（x）=3x2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间； 析： 2（2）解法一：当k＜0时，f′（x）=3x﹣2kx+1，其开口向上，对称轴32

，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值． 解法二：利用“作差法”比较：当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，f（x）﹣f（k）及f（x）﹣f（﹣k）． 解解：f′（x）=3x﹣2kx+1 2答： （1）当k=1时f′（x）=3x﹣2x+1， ∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增． （2）当k＜0时，f′（x）=3x﹣2kx+1，其开口向上，对称轴（i）当，即22，且过（0，1） 时，f′（x）≥0，f（x）在[k，﹣k]上单调递增， 从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k， 333当x=﹣k时，f（x）取得最大值M=f（﹣k）=﹣k﹣k﹣k=﹣2k﹣k． （ii）当﹣2kx+1=0 解得：，注意到k＜x2＜x1＜0， ，即时，令f′（x）=3x2∴m=min{f（k），f（x1）}，M=max{f（﹣k），f（x2）}， ∵，∴f（x）的最 14

小值m=f（k）=k， ∵， ∴f（x）的最大值M=f（﹣k）=﹣2k﹣k． 3综上所述，当k＜0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（﹣k）=﹣2k﹣k 3233解法2：（2）当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，都有f（x）﹣f（k）=x﹣kx+x﹣k+k﹣k=2（x+1）（x﹣k）≥0， 故f（x）≥f（k）． （fx）﹣（f﹣k）=x﹣kx+x+k+k+k=（x+k）（x﹣2kx+2k+1）=（x+k）（[x﹣k）+k+1]≤0， 3故f（x）≤f（﹣k），而 f（k）=k＜0，f（﹣k）=﹣2k﹣k＞0． 所以 ，f（x）min=f（k）=k． 323322223点熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法评： 比较两个数的大小等是解题的关键． 15