指数函数及其性质知识点及题型分类

【知识点分析及例题】

1、指数函数的概念：

函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.

注意： （1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像

y23，y2，y3x1等函数都不是指数函数．

x1x（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：

xx0时，a恒等于0，①如果a0，则 xx0时,a无意义.11②如果a0，则对于一些函数，比如y(4)x，当x,x,时，在实

24数范围内函数值不存在．

③如果a1，则y1x1是个常量，就没研究的必要了． 2、指数函数的图象及性质： y=ax 01时图象 ①定义域R，值域 （0，+∞） ②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 性质 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，ax>1 ⑤x<0时，00时，00时，ax>1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 注意： （1）当底数大小不定时，必须分“a1”和“0a1”两种情形讨论。 （2）当0a1时，x,y0；当a1时x,y0。 当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。

当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。

1（3）指数函数yax与y的图象关于y轴对称。

a

x（4）利用函数的单调性，结合图象还可以看出：在[a，b]上

f(x)ax(a0且a1)，值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]

（5）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR； （6）对于指数函数f(x)ax(a0且a1)，总有f(1)a； 3、指数函数底数变化与图像分布规律

① ya ②yb ③yc ④ydx

注意：（1）0＜b＜a＜1＜d＜c （2）x∈(0,+∞)时，bxaxdxcx （底大幂大） （3）x∈(－∞,0)时，bxaxdxcx 4、指数式大小比较方法

(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法（中间量为1） (3)分类讨论法 (4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若AB0AB；AB0AB；AB0AB；

AA②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1，或1即可．

BB【例题】

题型一、指数函数的概念

例1、指出下列函数哪些是指数函数？

xxx（1）y4x；（2）yx4；（3）y4x；（4）y(4)x；

1（5）y(2a1)x(a且a1)；

2

例2、函数y(a23a3)ax是指数函数，求a的值．

题型二、指数函数的图像

例3、函数

与

的图象大致是( ).

例4、函数

（

）的图象是（ ）

例5、若

，

，则函数

的图象一定在（ ）

A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限

C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限

例6、指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]

A．a＜b＜1＜c＜d B.a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 题型三、函数的定义域、值域

例7、求下列函数的定义域、值域.

13xxx2x13(1)y；(2)y=4-2+1；(3)；(4)yax9132x1x1(a为大于1的

常数)

例8、已知函数

，当其值域为

的值域是__________ ．

时， 的取值范围是 ；

题型四、比较大小

例9、判断下列各数的大小关系

112.50

(1)1.8与1.8； (2)()3,34,()-2； (3)2，(2.5)，()2.5 ；

332a

a+1

2(4)a2与a3(a0,a1)

例10、比较下列各组数的大小： （1）若 （2）若 （3）若 （4）若 （5）若

，比较 ，比较 ，比较

，且

与 与 与

； ； ；

，比较a与b； ，比较a与b．

，且

题型五、指数函数的单调性及其应用

例11、已知(a22a5)3x(a22a5)1x，则x的取值范围是___________．

1例12、讨论函数f(x)3

题型六、判断函数的奇偶性

x22x的单调性，并求其值域．

例13、判断下列函数的奇偶性：f(x)(

11)(x) ((x)为奇函数) x212ax1例14、已知函数f(x)x(a＞1).

a1（1）判断函数f (x)的奇偶性；（2）证明f (x)在(－∞，+∞)上是增函数.

题型七、指数函数应用及性质综合应用

例15、 某乡镇现在人均粮食占有量为360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%．设x年后年人均粮食占有量为y千克，求出函数y关于x的解析式．

2xa例16、设f(x)x1（a，b为实常数）。

2b（1）当ab1时，证明：①f(x)不是奇函数；②f(x)是(,)上的单调递减函数。

（2）设f(x)是奇函数，求a与b的值。