实验26波尔振动的物理研究 实验报告

【实验目的】

1． 观察扭摆的阻尼振动,测定阻尼因数。

2． 研究在简谐外力矩作用下扭摆的受迫振动，描绘不同阻尼情况下的共振曲线。 3． 描绘外加强迫力矩与受迫振动之间的位相随频率变化的特性曲线。 4． 分析波尔共振的相位和角速度的关系，

【实验装置】

扭摆共振仪一套，停表，数据采集器，传感器

【实验装置图】

【实验原理】

1． 扭摆的阻尼振动

在有阻力矩的情况下，使扭摆由某一摆角开始做自由振动，此时扭摆受到两个力矩的作用：一是弹性恢复力矩，它与摆的扭转角成正比；二是阻力矩，可近似认为它与摆动的角速度成正比。若扭摆的转动惯量为I，则根据转动定律可列扭摆的运动方程：

d2rdc02IdtI dt

解得：

其中：

A0exptcosc02I

2tA0exptcostT

r2I

A0为扭摆的初始振幅，T为扭摆做阻尼振动的周期，

1

扭摆的振幅随时间按指数规律衰减。若测得初始振幅A0及第n个周期时的振幅A n，并测得摆动n个周期所用的时间nT，则有

则阻尼系数可表示为：

A0A0expnTAA0expnT



A1In0nTAn

2. 扭摆的受迫振动

当扭摆在有阻尼的情况下受到简谐外力矩作用时，就会作受迫振动。设外加简谐力矩通过弹簧加到摆轮上则扭摆的运动方程变为

d2d220hcost2dt dt

在稳态情况下

Acost

Ah

其中A为角振幅，表示为

2022422

而角位移与简谐外力矩之间的位相差则可表示为

同，但二者的位相差是。

tan12220

扭摆在简谐外力矩作用下的运动也是简谐振动，它的振幅是A，它的频率与外力矩的频率相

【实验步骤】 1. 手工操作

（1） 测量共振摆在自由状态下的固有频率。

（2） 观测阻尼振动现象，测量阻尼电压为6V和8V时候的阻尼因数β。

（3） 观察共振现象，测量在6V和8V阻尼情况下的受迫振动的幅频特性和相频特性。 幅频特性曲线：以ω/ω。为横坐标，振幅A为纵坐标。 相频特性曲线：以ω/ω。为横坐标，相位φ为纵坐标。 2. 计算机测控

采用传感器和计算机自动采集，利用Origin处理数据。 （1） 利用软件算出扭摆的振动周期和固有频率 （2） 讨论各振动状态相图中的物理意义。

（3） 分析自由振动、阻尼振动。受迫振动的相图的异同点。

【实验数据处理与分析】 1. 手工操作

（1）测量共振摆固有频率

2

25 30 49.80 59.70 0.502 0.503 多次测量取平均值得共振摆固有频率 f = 0.502s-1 角频率ω＝3.154rad/s

（2）测量阻尼因数β 次数 n nT (s) f (s-1) 10 20.00 0.500 15 29.85 0.503 20 39.80 0.503 6V 8V A0 An nT(s) β A0 An nT(s) β 10 1 9.8 0.235 10 1.8 3.8 0.451 12 1.8 8.0 0.237 12 2.0 3.9 0.459 14 1.2 10.6 0.232 14 2.3 4.0 0.452 16 1.6 9.9 0.233 16 1.0 6.1 0.455 18 1.8 9.8 0.235 18 1.3 5.8 0.453 多次测量取平均值得

6V时 阻尼系数β ＝0.234 8V时 阻尼系数β ＝0.454

（3）观察共振现象

6V 8V

nT (s) 32.3 25.9 21.7 19.1 18.3 17.0 15.7 次数 n 10 10 10 10 10 10 10 f (s-1) 0.310 0.386 0.461 0.524 0.546 0.588 0.637 A 0.8 1.0 2.0 2.6 1.9 1.2 0.9 ω rad/s 1.945 2.426 2.5 3.290 3.433 3.696 4.002 ω/ω。 0.617 0.769 0.918 1.043 1.0 1.172 1.269 nT (s) 31.2 27.2 23.5 20.3 18.2 16.9 15.7 次数 n 10 10 10 10 10 10 10 f (s-1) 0.321 0.368 0.426 0.493 0.549 0.592 0.637 A 0.8 1.0 1.2 1.6 1.3 1.0 0.8 ω rad/s 2.014 2.310 2.674 3.095 3.452 3.718 4.002 ω/ω。 0.639 0.732 0.848 0.981 1.095 1.179 1.269 6V阻尼下的振幅曲线 8V阻尼下的振幅曲线

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6V阻尼下的相位曲线 8V阻尼下的相位曲线

可见，当0≤≤0时，有0≥≥的位相：在共振情况下，位相落后接近于22，即受迫振动的位相落后于外交简谐力矩，而在=0时，位相落后2：当＞

0时，有tan＞0， ＜2，位相落后得更多；当＞＞0时，趋于，

即接近于反相位。

2． 计算机测控实验内容

（1） 自由振动

由图可见，所谓的“自由振动”并不是理想的自由振动，其振幅缓慢减少，本图只取采集数据中前面一部分作为近似的自由振动。

可以算出，扭摆自由振动的振动周期T

-1

＝ 1.75 sec 固有频率 f = 0.571 sec

从相图可以看出，相轨迹的圆不断缩小。理论上，对于自由振动，相轨迹应该是一个圆，由于有小的阻尼，相轨迹缓慢地趋向中心，但因阻尼比较小，其衰减地速度比较慢。这是因为扭摆收阻尼力做功，振动的能量逐渐转化为热能耗散调。

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（2） 阻尼振动

阻尼电压为6V时，扭摆的振动周期约为1.75 sec，阻尼电压为8V时，扭摆的振动周期约为1.75 sec，说明8V和6V时的阻尼系数比较小，扭摆的频率仍近似于固有频率。

相图：

从阻尼振动地相图中看出，相点往坐标中心螺旋式的趋近。与自由振动相图不同的是，阻尼振动相图中，圆圈数稀疏了很多，相点回到中心的速度很大，经历的圈数很少；说明了随着阻尼的增大，扭摆振动的衰减过程变得越来越快了。这是因为扭摆收阻尼力做功，振动的能量逐渐转化为热能耗散调。

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（3） 受迫振动

阻尼电压为6V时，受迫振动周期为1.80s，电压为8V时，受迫振动周期为1.78s。

在受迫振动中，扭摆的周期是与驱动力的周期一致的，与自由振动的周期无关，因为在实验过程中为了增大扭摆的振幅而对驱动力的频率做了调整，受迫振动的周期相应起了变化。

相图：

从受迫振动相图可以看出，相点也是几乎在同一个圆周上往复运动，没有向原点即静止状态趋近的倾向。这是因为，通过外界驱动力做功，补偿振动过程中阻尼产生的损耗，使扭摆得以在稳定状态不断的振动下去。

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