第二十七章相似全章讲学稿[1]

27.1图形的相似（一）

一、学习目标:

1.从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念． 2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 二、学习重难点：

重点：相似图形的概念与成比例线段的概念． 难点：成比例线段概念． 三、学习过程 （一）探索新知1：

1.观察下列几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系?

相似定义：这种形状相同的图形叫 ．

2.对(2)中的3组图形，通过图形的缩小或放大，再利用图形的平移或旋转等变换，使它与另一个图形能够重合，从而加以验证它们是相似的图形。 练一练：

1．在下面的图形中，形状相似的一组是( )

2．下列图形一定是相似图形的是( ) A．任意两个菱形 B．任意两个正三角形C． 两个等腰三角形

D．两个矩形

探索新知2： 问题：如图在矩形ABCD中线段AB和CD这两条线段的比是多少？ A D

B C 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比．

成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如abcd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

1

【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；

（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作acbd或a:b=c:d；

（4）若四条线段满足acbd，则有ad=bc．

（三）学以致用

例1:一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少？

（1）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？ （2）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？

小结：上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的

ab的值是______的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____． 例2:（补充）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？

练习：

1．________________________是相似图形．

2．对于四条线段a，b，c，d，如果____________与____________(如

abcd)，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________．

3．比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么___________．

反之亦真．即

abcd______(a，b，c，d不为零)． 4．已知2a－3b＝0，b≠0，则a∶b＝______．

5．若

1xx75,则x＝______． 6．若xyz2xyz235,则x______． 7．在一张比例尺为1∶20000的地图上，量得A与B两地的距离是5cm，则A，B两地实际距离为______m．

8．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？

9．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？

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27.1图形的相似（二）

一、学习目标:

1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算． 二、学习重难点：

重点：相似多边形的主要特征与识别． 难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算． 三、学习过程 （一）探索新知1：

1.观察图片，体会相似图形性质(教材P36页)

(1) 图27.1-4(1)中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？

(2)对于图27.1-4(2)中两个相似的正六边形，是否也能得到类似的结论？

图27.1-4

2.如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．

问题：对于图中两个相似的 四边形，它们的对应角，对 应边的比是否相等

3．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．

反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．

几何语言： 在⊿ABC和⊿A1B1C1中

若AA1;BB1;CC1．

ABABCBACC 则⊿ABC和⊿A1B1C1相似 1B11C1A11 （2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．

2

（3）相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．

（三）学以致用

例1：下列说法正确的是（ ） A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似 C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似 例2：如图27.1-6，四边形ABCD和EFGH相似，求角和的大小和EH的长度x．

27.1-6

例3：已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．

练习：1．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？

2．如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度．

3．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．

4.如图，一个矩形ABCD的长AD= a cm，宽AB= b cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:b的值．（2:1）

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27.2.1相似三角形的判定（一）

一、学习目标:

1.会用符号“∽”表示相似三角形

2.知道当△ABC与△A′B′C′的相似比为k时，△A′B′C′与△ABC的相似比为1/k． 3.理解掌握平行线分线段成比例定理及推论 二、学习重难点： 重点：理解掌握平行线分线段成比例定理及应用． 难点：掌握平行线分线段成比例定理应用． （三）学以致用

例1：如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD. 三、学习过程

（一）回顾复习：

1.形状相同的图形叫 2.相似多边形的对应角______，对应边的比_______． 3.相似多边形________ 的比称为相似比． （二）探索新知1：

（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,

∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABABBCBCCACAk． 我们就说△ABC与△A′B′C′相

似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有

∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且ABBCCAABBCCA． （2）问题：如果k=1，这两个三角形

（3）当△ABC与△A′B′C′的相似比为k时，△A′B′C′与△ABC的相似比为1/k． 探索新知2：

(1) 如图,任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2 相交的平行线l3 , l4, l5.分别量度l3 , l4,

l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB︰BC 与DE

︰EF相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?

l(2) 问题，AB︰AC=DE︰（ ），BC︰AC=（ ）︰DF．强调“对

1 l2

应线段的比是否相等” A l3

D

B

E

l4 (3) 归纳总结：平行线分线段成比例定理 三条_________截两条

直线，所得的________线段的比________。 C F l5

重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线； （4）平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直

线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.

3

练习

1．如图，DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式．

2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．

3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，DF=4，求BD的长．

4．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求AE:AC的值； A （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，求AE和EC的长．

E D B

4题图

C 沙 市 十 四 中 数 学 九 年 级 上 讲 学 稿 细 节 决 定 成 败，勤 奋 成 就 学 业，态 度 决 定 一 切，努 力 终 会 成 功！

27.2.1相似三角形的判定（二）

一、学习目标:

1.探究平行相似， 2.会证明定理并灵活应用。 二、学习重难点：

重点：平行相似． 难点：证明定理并灵活应用。 三、学习过程

（一）回顾复习：

4．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）

A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形

5．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

6.如图1，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长． 1.相似三角形的对应角______，对应边的比_______．

2.平行线分线段成比例定理：三条_________截两条直线，所得的________线段的比______ 3.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_______ （二）探索新知1：

判定三角形相似的定理1（平行相似）：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原来三角形 。 证明三角形相似的定理1：如图在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于

点D，E。求证：△ABC∽△ADE A D E B

F C

符号语言：∵DE∥BC ∴△ABC∽△ADE

练习：1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式．

2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．

3．如图，DE∥BC，

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．

4

图1

图2

7．如图2，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）对 8.如图，AB∥EF∥CD，图有 对相似三角形，写出来并 说明理由；

9.如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．

10.如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA． （1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角； （3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．

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27.2.1相似三角形的判定（三）

一、学习目标:

1.类比全等探究三边等比相似。 2.会证明定理并灵活应用。 二、学习重难点：

重点：三边等比相似． 难点：证明定理并灵活应用。 三、学习过程

（一）回顾复习：

1.相似三角形的对应角______，对应边的比_______．

2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原来三角形 。 （二）探索新知1：

任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们全等吗？这两个三角形相似吗？ A′ 问题：怎样证明你的结论是正确的呢？ A 探求证明方法．（已知、求证、证明）

已知:如图27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，

ABBCCAB C B′ C′

ABBCCA， 求证:△ABC∽△A′B′C′ 证明：

归纳: 三角形相似的判定方法2 如果两个三角形的三组对应边 ， 那么这两个三角形相似． 符号表示：∵ABABBCCABCCA ∴△ABC∽△ADE （三）学以致用

例1：如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．

5

练习： 1．如图，已知ADDEAEABBCAC，求证：∠1=∠2

2.如图矩形ABCD是由三个正方形组成的找出图中相似而不全等的三角形并证明。

AFED

BGHC

3．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．

求证：(1)OD∶OA＝OE∶OB；(2)△ODE∽△OAB；

(3)△ABC∽△DEF．

4．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比．

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27.2.1相似三角形的判定（四）

一、学习目标:

掌握两组对应边的比相等，且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。 二、学习重难点：

重点：相似判定证明定理． 难点：定理灵活应用。 三、学习过程

（一）回顾复习：

例2：已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7AD的长．

1，求21.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原来三角形 。 2.如果两个三角形的 ， 那么这两个三角形相似． （二）探索新知1：

任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的两边边长都是原来三角形两边边长的k倍，并且夹角相等，度量这两个三角形的对应角，它们全等吗？这两个三角形相似吗？ 问题：怎样证明你的结论是正确的呢？ A′ 探求证明方法．（已知、求证、证明）

A 已知:如图27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，

ABCAABCA，∠A=∠A′， B C B′ C′

求证:△ABC∽△A′B′C′ 证明：

归纳: 三角形相似的判定方法3. 如果两个三角形的 ，

那么这两个三角形相似． 符号表示：∵

ABCAABCA ∠A=∠A′ ∴△ABC∽△ADE （三）学以致用

例1：根据下列条件，判断 ∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：

（1）∠A＝1200

，AB=7cm，AC=14cm， ∠A0

1＝120，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。 （2）∠B＝1200

，AB=2cm，AC=6cm， ∠B0

1＝120，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。

6

练习：1.如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．

2.如图（1题图），△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？

3.已知：如图，在正方形ABCD中，F是BC上的点，且BF＝3FC，Q是CD的中点．

求证：△ADQ∽△QCF．

4.已知：如图，在ABC中，C90，D、E分别是AB、AC上的两点，并且ADABAEAC；求证：EDAB

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27.2.1相似三角形的判定（五）

一、学习目标:

1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．

2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 二、学习重难点：

重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似” 难点：三角形相似的判定方法3的运用． 三、学习过程

（一）回顾复习：

1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原来三角形 。 2.如果两个三角形的三组对应边 ， 那么这两个三角形相似． 3.如果两个三角形的两组对应边的比相等 那么这两个三角形相似。 （二）探索新知1：

任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的两个角等于原来三角形两个角，度量这两个三角形的对应边，它们全等吗？这两个三角形相似吗？ 问题：怎样证明你的结论是正确的呢？ A′ 探求证明方法．（已知、求证、证明） A 已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，

∠A=∠A′，∠B= B′

求证:△ABC∽△A′B′C′ B C B′ C′

证明：

符号表示：∵ ∠A=∠A′ ∠B= B′ ∴△ABC∽△ADE

（三）学以致用 例1：在△ABC中，AC=AB,∠A=36°，BD是∠ABC的平分线，求证：（1）△ABC∽△BCD；（2）BC是CD与CA的比例中项

7

1．如图，梯形ABCD中，AB//CD，D90，ACBC，AC6cm，AB10cm，

求S梯形ABCD.

2．如图，ABC中，BAC90，M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于D；交AB于E. 求证：AM2MDME.

3.已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，

求DF的长．

4.已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证：AFEFBFFD．

5．已知：如图，E是□ABCD的边AD上的一点，且

AE3DE2，

CE交BD于点F，BF＝15cm，求DF的长．

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测试 相似三角形的判定

一、填空题

1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似． 3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相 似． 4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似． 5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．

6．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°，∠B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．

7．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A′＝34°，A'C′＝2cm，A′B′＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________．

8．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________． 9．如图1所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对． 10．如图2所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点

F，此图中的相似三角形共有______对．

图1

图2

图3

二、选择题

11．如图3所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是( )

A．∠B＝∠DAC B．∠BAC＝∠ADC C．AC2＝DC·BC D．AD2

＝BD·BC

12．如图4，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，

使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )

A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8

图4

图5

13．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的

是( )

8

三、解答题

14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想，(1)图中有哪两

个三角形相似?(2)求证：AC2＝AD·AB；BC2

＝BD·BA；(3)若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD； (4)若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC；(5)求证：AC·BC＝AB·CD．

15．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：(1)OD∶OA＝OE∶OB；(2)△ODE∽△OAB；(3)△ABC∽△DEF．

16．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C．求证：

(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2

＝FE·FB．

17．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC于E，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP＝x，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式．

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27.2.2相似三角形的应用举例（一）

一、学习目标:

1进一步巩固相似三角形的知识． 2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 二、学习重难点：

重点：运用两个三角形相似解决实际问题 难点：在实际问题中建立数学模型

三、学习过程

（一）探索新知1：

例1：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．

如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的B影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求E出金字塔的高度．

解：

OA(F)D

例2：如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ。

P

Q

R b

S T a

9

（二）学以致用 1.在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿的影长为3米，同时测得一栋高楼的影长为90米，这栋高楼的高度为多少米？

2.如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB，若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m,则A、B两点间的距离为多少？

A B E

C

D

3.如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,

到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离是多少？

4.已知：如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN．求它的边长．

5.在一次数学活动课上，带领学生去测教学楼的高度，在阳 光下，测得身高为1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m，与此 同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1m，如图所示，请你根据 已测得的数据，测出教学楼DE的高度．(精确到0.1m)

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27.2.2相似三角形的应用举例（二）

一、学习目标:

能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 二、学习重难点：

重点：运用两个三角形相似解决实际问题。难点：在实际问题中建立数学模型 三、学习过程

（一）探索新知：

例1：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？

例2:如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E．C，E，A三点在同一条直线上，点B，D分别在点E，A的正下方且D，B，C三点在同一条直线上．B，C相距30米，D，B相距40米，乙楼高BE为15米，甲楼高AD为多少米（小明身高忽略不计）

A E

甲

乙 DBC

例3:如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在

AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ A E F

B

H D G C 10

（二）学以致用

1.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)

2.小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？

3.如图，已知零件的外径a为25cm ，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。

4．(1)已知：如图所示，矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，OE⊥BC于E点，连结ED交OC于F点，作FG⊥BC于G点，

求证点G是线段BC的一个三等分点．(2)请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．(要求：写出作法，保留画图痕迹，不要求证明)

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测试：相似三角形应用举例

一、选择题

1．已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是( ) A．15m B．60m C．20m D．103m

2．一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的高度为( ) A．

117m B．

107m C．

97m D．

32m 3．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为( ) A．1.5m

B．1.6m

C．1.86m

D．2.16m

4．如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，

BD长0.55m，则梯子长为( )

A．3.85m

B．4.00m

C．4.40m

D．4.50m

第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 二、填空题

5．如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．

6．如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm． 三、解答题

7．已知：如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN．求它的边长．

8．如果课本上正文字的大小为4mm×3.5mm(高×宽)，一学生座位到黑板的距离是5m，教师在黑板上写多大的字，才能使该学生望去时，同他看书桌上相距30cm垂直放置的课本上的字感觉相同?

11

9．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?

10．(针孔成像问题)根据图中尺寸(如图，AB∥A′B′)，可以知道物像A′B′的长与物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?

11．在一次数学活动课上，带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE的高度．(精确到0.1m)

12．(1)已知：如图所示，矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，OE⊥BC于E点，连结ED交OC于F点，作FG⊥BC于G点，求证点G是线段BC的一个三等分点．

请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分(要求：写出作法，保留画图痕迹，不要求证明)

(2)点． 沙 市 十 四 中 数 学 九 年 级 上 讲 学 稿 细 节 决 定 成 败，勤 奋 成 就 学 业，态 度 决 定 一 切，努 力 终 会 成 功！

27.2.3相似三角形的周长与面积

一、学习目标:

1．理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。

2．探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。 二、学习重难点：

相似三角形对应高的比等于 ，相似三角形的面积等于 延伸问题：相似多边形的面积比等于 （三）学以致用

例1：如图27．2-12，在∆ABC和∆DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，∆ABC的周长是

A 24，面积是48，求 ∆DEF的周长和面积。

D

重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。 三、学习过程

（一）回顾复习：

1.如果两个三角形的三组对应边 ， 那么这两个三角形相似．相似三角形的判定方法有 2．相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。 1：相似三角形的周长

提出问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？

设∆ABC∽∆AABBC1B1C1的相似比为k ，则有ABCAk 11B1C1C1A1

进而得到结论：相似三角形周长的比等于

延伸问题：相似多边形周长的比等于 相似三角对应中线的比等于 相似三角对应角的角平分线的比等于

探索新知2：相似三角形的面积

如图，△ABC∽△A′B′C，相似比为k1，它们对应高的比是多少？面积的比是多少？

A′ A B D

C B′ DC′

12

B C E F

1.如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF.若△ABC的边长为a. （1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？（2）分别求出这两个三角形的面积.（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？

2.如图，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x.（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当

SBCQS13，求SBPQABCS的值；

ABC

3..在△ABC中，AE∶EB=1 ∶2，EF∥BC，AD∥BC交CE的延长线于D，求S△AEF∶S△BCE的值.

（二）探索新知 沙 市 十 四 中 数 学 九 年 级 上 讲 学 稿 细 节 决 定 成 败，勤 奋 成 就 学 业，态 度 决 定 一 切，努 力 终 会 成 功！

测试 相似三角形的性质

一、填空题

1．相似三角形的对应角______，对应边的比等于______．

2．相似三角形对应边上的中线之比等于______，对应边上的高之比等于______，对应角的角平分线之比等于______ ．3．相似三角形的周长比等于______．4．相似三角形的面积比等于______．

5．相似多边形的周长比等于______，相似多边形的面积比等于______． 6．若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______． 7．若两个相似多边形的对应边之比为5∶2，则它们的周长比是______，面积比是______． 8．同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是______，面积比是______． 9．同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是______，面积比是______．

10．同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是______，面积比是______． 11．正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是______，面积比是______．

12．在比例尺1∶1000的地图上，1cm2

所表示的实际面积是______． 二、选择题

13．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为( )

A．9∶4 B．4∶9 C．3∶2 D．81∶16

14．如图1所示，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE的面积为9，则△AQB的面积为( ) A．18 B．27 C．36 D．45

15．如图2所示，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积是△

ABC面积的一半，若AB2，则此三角形移动的距离AA'是( )

A．21

B．

22 C．1 D．

12

图1

图2 图3

三、解答题

16．已知：如图3，E、M是AB边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：△AEF的面积∶四边形

EMNF的面积∶四边形MBCN的面积．

13

17．已知：如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是角平分线．(1)求证：AD2

＝CD·AC；(2)若AC＝a，求AD．

18．已知：如图，□ABCD中，E是BC边上一点，且BE12EC,BD,AE相交于F点． (1)求△BEF的周长与△AFD的周长之比；(2)若△BEF的面积S2

△BEF＝6cm，求△AFD的面积S△

AFD．

19．已知：如图，Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，DE∥AB．(1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长；(2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长．

20．已知：如图所示，以线段AB上的两点C，D为顶点，作等边△PCD．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB．(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB．

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27．3位 似（一）

一、学习目标:

1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质． 2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小． 二、学习重难点：

重点：位似图形的有关概念、性质与作图 难点：利用位似将一个图形放大或缩小 三、学习过程 （一）探索新知： 1.位似图形定义：

下图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？

定义：两个图形不仅 ，而且对应点的连线 ，对应边 ， 像这样的两个图形叫做位似图形。 叫做位似中心。

例1：（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．

2.利用位似形放大或缩小：

例2：把图2中的四边形ABCD缩小到原来的

12． 分析：把原图形缩小到原来的12，也就是使新图形上

各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ． 解：（1）在四边形ABCD外任取一点O；（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；

（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得OAOBOCOD1OAOBOCOD2；

（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′， 问：此题目还可以如何画出图形？

14

（二）学以致用

1．画出所给图中的位似中心．

2.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．

3．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′， 使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求 （1）位似中心在△ABC的外部； （2）位似中心在△ABC的内部； （3）位似中心在△ABC的一条边上； （4）以点C为位似中心．

4.如图,已知矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形,OB∶OF=3∶5,求矩形ABCD与矩形EFGH的面积比.

5.印刷一张矩形的张贴广告如图所示,它的印刷面积为32 dm2,上下空白各1 dm,两边空白各0.5 dm,设印刷部分从上到下的长为x dm,四周空白处的面积为S dm2.(1)求S与x的关系式; (2)当要求空白处的面积为18 dm2时,求用来印刷这张广告的纸张的 长和宽各是多少?(3)内外两个图形是位似图形吗?如果是,请说明理由.

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27．3位 似（二）

一、学习目标:

1．巩固位似图形及其有关概念．

2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．

3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换． 二、学习重难点：

重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．

难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 三、学习过程 （一）探索新知：

1.在平面直角坐标系中,有两点A(6，3),B(6，0)。以原点O为位似中心,相似比为1/3，把线段AB缩小画出缩小后的位似图形EF.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?(分两种) y A A (F) E B B C (E) O F O x

2.△ABC三个顶点坐标分别为A（2,3）B（2,1）C（6,2）以点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?

位似变换中对应点的坐标的变化规律：

(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点．．为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于K或K

（2）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,0)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据 (1)总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×(-2)，3×(-2)），即A′′（-2，-6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标． （二）学以致用

1． △ABO的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO

与△ABO的相似比为2.5:1，求点E和点F的坐标．

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2． 如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，

并求出其相似比和面积比．

3.四边形ABCD的坐标为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.

4．已知：如下图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其B，C，D点的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．

(1)求E点和A点的坐标；(2)试以点P(0，2)为位似中心，作出相似比为3的位似图形A1B1C1D1E1，并写出各对应点的坐标；(3)将图形A1B1C1D1E1向右平移4个单位长度后，再作关于x轴的对称图形，得到图形A2B2C2D2E2，这时它的各顶点坐标分别是多少?

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测试 位 似

4．已知：如下图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其B，C，D点1．已知：四边形ABCD及点O，试以O点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍．

(1) (2)

（3） (4)

2．如图1，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( )

A．(0，0)，2 B．(2，2)，

12 C．(2，2)，2 D．(2，2)，3

图1

图2

3．已知：如图2，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(－4，2)，B(－2，－4)，C(6，－2)，D(2，4)．试以O点为位似中心作四边形A'B'C'D′，使四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为1∶2，并写出各对应顶点的坐标．

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的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．

(1)求E点和A点的坐标；

(2)试以点P(0，2)为位似中心，作出相似比为3的位似图形A1B1C1D1E1，并写出各对应点的坐标；

(3)将图形A1B1C1D1E1向右平移4个单位长度后，再作关于x轴的对称图形，得到图形A2B2C2D2E2，这时它的各顶点坐标分别是多少?

5.四边形ABCD的坐标为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.

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