大学固体物理习题

玻恩-冯卡门边界条件 格林艾森常数 7个晶系 布洛赫定理

立方晶系的所有对称操作

一维、二维、三维情况下的电子态密度。 维格纳-赛茨元胞 电离能 价带 导带

石墨各化学键类型 色散关系 初基元胞

一维、二维、三维情况下的声子态密度。 能带 德拜模型 爱因斯坦模型 14种点阵 第一布里渊区 近自由电子近似 有效质量 紧束缚近似 亲和能 绝热近似

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二、证明题

1、证明一维单原子链所有的模式构成正交完备集。 证

：

完备性自己补充

2、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，证明在低温极限比热正比与T2。

证明：在k到kdk间的振动模式对应于平面中半径n到ndn间圆环的面积

L252ndn，且2ndnkdkkdk

223sd22v33s（E2v2m2de/kBT03skBTE012v22E)sT2 TDD3d3skTkTkTBBB/kBTe12v222xDDx2dx ex1T0时，ET3,Cv(第 2 页 （共 9 页）

3、证明在倒易空间中当k落于一倒格矢Kh的垂直平分面上时，发生布拉格反射。 证明：如图所示当k落于一倒格矢有，

的垂直平分面上时，

Kh2ksinsin， 2又d=

22，得布拉格反射公式：2dsinn。 =KhnKh4、证明在晶体中不存在5次旋转轴。 证明：对于AB

如果绕A转θ将B转到B’或者绕B将A转到A’点。

转动θ角是晶体的一个对称操作，所以A’和B’也是晶体中的结点。 所以有B'A'n BA（n取整数）

由几何关系B'A'AB2ABcos()AB(12cos) 由此可见 n=1-2cos

由于1cos1，所以n只能取-1,0,1,2,3

2222对应的θ分别为0（2），6，4，3，2。

B’ A’

三、计算题

A θ θ B 第 3 页 （共 9 页）

1、求边长为a二维正方晶格的倒点阵，并画出其第一、第二布里渊区。

a1ai解：二维正方点阵基矢 a2aj

a3k

2(a2a3)2bi1a2j其倒点阵基矢为b2， ab3k2的正方点阵。 a其布里渊区如图所示，红色为第一布里渊区， 绿色为第二布里渊区。

倒点阵为边长

2、 对于H2，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为50106J,2.96A.计算fcc结构的H2的结合能[以KJ/mol单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．

解：以H2为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：

612126U2NPijPij.

RRji

jP614.45392;Pij1212.13188,501016erg,2.96A,N6.0221023/mol. iji将R0代入U得到平衡时的晶体总能量为U26。02210/mol501028161262.962.96erg12.1314.452.55KJ/mol.3.163.16

3、 设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有(q)0Aq2，求解其态密度。 解：依据q(q)2Aq,f()并带入上边结果有

32Vds，

q(q)第 4 页 （共 9 页）

1A1/2V11/22403/20。 31/2222A02AV

4、用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带以及k=0附近的有效质量。

解：EkE0J0J1eikRsRs

面心立方最近邻有十二个原子，其Rs位置在

ia2a20ja2a2k0a 2a20将这些Rs代入上式并简化可得：

kyakyakxakxakzakzaEkE0J04J1coscoscoscoscoscos 222222x2在k＝0附近，kx，ky，kz，均很小，利用cosx1，（x<<1, 则得

21ka21ka21ka21ka2yy1x11z122222222 EkE0J04J11kza21kxa2112222a22故 EkE0J04J1kxkykz2

22由于mm11ii12E8J1a2 222ki22J1a2其余mij0

2715、已知一维晶格中电子的能带可写成Ekcoskacos2ka，式中a是晶格

ma288常数，m是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）在带顶和带底的电子的有效质量。

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解：能带宽度为EEmaxEmin，由极值条件

11sinkasin2kasinkasinkacoska0

42dEk0，得

dk上式的唯一解是sinka0的解，此式在第一布里渊区内的解为k0或当k＝0时，Ek取极小值Emin，且有EminE00

22当k时，Ek取极大值Emax，且有EmaxE 2aamaa

 由以上的可得能带宽度为EEmaxEmin22 2ma （2）带顶和带底电子的有效质量分别为

mka1212mcoskacos2ka2E2kka2m

3ka mk0212mcoskacosE22kk02ka01m 2

6、计算晶格常数为a，质量为m，恢复系数为的二维点阵，其原子的振动方向垂直于

晶格平面，求其色散关系。 解：仅考虑最近邻原子的作用有

d2ul,mm(ul1,mul1,m2ul,m)(ul,m1ul,m12ul,m) dt2设坐标为(l,m)原子的运方程为 ul.mAei(qxlaqymat)

带入得 m2(eiqxaeiqxa2)e(ye色散关系2

22cosqxacosqya miqaiqya 2)第 6 页 （共 9 页）

e2b7、设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为Ura， b为待定常数， 平衡

rr间距r031010m，求线膨胀系数。 解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数 1d2U其中：f22dr1d3U，g3!dr3 r0r03gkB 4f2r0

e28e29bdU由平衡条件2100 br0

9drr0r0r02e290b4e216e2990b52e2 f3113， g1243r4 2r02r0r06rr000由于 r03108m ，e4.8061010CGSE

kB1.3811016erg/K

13r0kB1.46105/K 216e

8、求原子数为N晶格常数为a的一维单原子链的声子态密度。 解：一维单原子链的色散关系为：q21sinqa。 m2dq1a4qacosqa2。 dqm22m代入L2Na12N。

2dqdqa44222mm

9、某简单立方晶体相邻原子间相互作用能可以写为及体弹性模量B。

解：晶体的内能函数为UrN 2rmrn第 7 页 （共 9 页）

rmrn，试求晶体的结合能W以

dUrmnnm+1-n1=0，有r0平衡位置drrr0r0m01nm。

mmnNmn结合能WUr0Nmn1rr2nm0022UdrU体弹性模量BV2V0， 2VdVr0rr0V0。

æ1öB=çç3Nr2÷÷è0ø=-带入VNr3，有

2éNmaim-nê-m+2êë2r0()ùúiNr03úû1mam-n18r0m+3()mm-n。

mnaæmöænbö=iç1-÷ç÷9V02ènøèmaø=

mnU09V010、立方晶体有三个弹性模量C11，C12和C44。铝的C1110.821010Nm2，

C442.851010Nm2，铝沿100方向传播的弹性纵波的速度lC44C11，横波速度

t，Al的密度2.70103kgm3。求德拜模型中铝的振动模式密度g。

的质量，求（1）能带的宽度，（2）在带顶和带底的电子的有效质量。 解：德拜模型中，振动模式密度为

3V2g23,D

2Vs6N其中，DVs，

V第 8 页 （共 9 页）

2133321112121133 22.07510ms333Vs3VlVt3C11C44所以，Vs3.103ms1

6NMAl66N131代入D中，D VVV5.5610radssssVVMAlMAl33V22.07510122V3.15710122V 故，g232230142Vs213213213其中，D5.561013rads1。

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