2021届中考数学压轴题复习：二次函数综合题
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．
（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP＝2∠ABC时，求点P的横坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK＝KF，∠KAH＝∠FKH，PF＝﹣4Q，求PQ的长．
a，连接KB并延长交抛物线于点
【分析】（1）通过解方程ax2﹣5ax+4a＝0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面积公式求出OC得到C点坐标，再把C点坐标代入y＝ax2﹣5ax+4a中求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD＝﹣ax2+5ax，通过证明Rt△PCD∽Rt△CBO，利用相似比可得到（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）＝x：4，然后解方程求出x即可得到点P的横坐标；
（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，先证明∠HAP＝∠KPA得到HA＝HP，由于P（6，10a），则可得到﹣10a＝6﹣1，解得a＝﹣，再判断Rt△PFG单位等腰直角三角形得到FG＝PG＝
PF＝2，接着证明△AKH≌△KFG，得到KH＝FG＝2，则K（6，2），
然后利用待定系数法求出直线KB的解析式为y＝x﹣4，再通过解方程组
得到Q（﹣1，﹣5），利用P、Q点的坐标可判断PQ∥x 轴，于是可
得到QP＝7．
【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣5ax+4a＝0，解得x1＝1，x2＝4，则A（1，0），B（4，
第 1 页 共 4 页
0）， ∴AB＝3，
∵△ABC的面积为3，
∴•3•OC＝3，解得OC＝2，则C（0，﹣2），
把C（0，﹣2）代入y＝ax2﹣5ax+4a得4a＝﹣2，解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD＝4a﹣（ax2﹣5ax+4a）＝﹣ax2+5ax， ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵∠BCP＝2∠ABC， ∴∠PCD＝∠ABC， ∴Rt△PCD∽Rt△CBO， ∴PD：OC＝CD：OB，
即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）＝x：4，解得x1＝0，x2＝6， ∴点P的横坐标为6；
（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3， ∵AK＝FK， ∴∠KAF＝∠KFA，
而∠KAF＝∠KAH+∠PAH，∠KFA＝∠PKF+∠KPF， ∵∠KAH＝∠FKP， ∴∠HAP＝∠KPA， ∴HA＝HP，
∴△AHP为等腰直角三角形， ∵P（6，10a），
∴﹣10a＝6﹣1，解得a＝﹣， 在Rt△PFG中，∵PF＝﹣4 ∴FG＝PG＝
PF＝2，
a＝2
，∠FPG＝45°，
第 2 页 共 4 页
在△AKH和△KFG中
，
∴△AKH≌△KFG（AAS）， ∴KH＝FG＝2， ∴K（6，2），
设直线KB的解析式为y＝mx+n， 把K（6，2），B（4，0）代入得解得
，
∴直线KB的解析式为y＝x﹣4，
当a＝﹣时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2，
解方程组 ，
解得 或 ，
∴Q（﹣1，﹣5）， 而P（6，﹣5）， ∴PQ∥x 轴， ∴PQ＝7．
第 3 页 共 4 页
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用全等三角形的知识证明线段相等和相似比计算线段的长．
第 4 页 共 4 页
