(完整版)2017年全国高考理科数学试题及答案-北京卷

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A{x|2x1}，B{x|x1或x3}，则AIB=

（A）{x|2x1} （B）{x|2x3} （C）{x|1x1} （D）{x|1x3}

（2）若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

（A）(,1) （B）(,1) （C）(1,) （D）(1,) （3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（A）2

3 25（C）

38（D）

5（B）

x3（4）若x,y满足xy2 ，则x2y的最大值为

yx（A）1 （B）3 （C）5 （D）9

xx（5）已知函数f(x)3()，则f(x)

13

（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数

（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数

（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

（A）32 （B）23 （C）22 （D）2

（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的

原子总数N约为1080.则下列各数中与

M最接近的是（ ）（参考数据：lg3≈0.48） N（A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

y2（9）若双曲线x1的离心率为3，则实数m=_________.

m2（10）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1b11,a4b48，则

2a2=_______. b2（11）在极坐标系中，点A在圆2cos4sin40上，点P的坐标为（1,0），

则|AP|的最小值为___________.

（12）在平面直角坐标系xOy中，角a与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.

若sina1，则cos(a)___________. 3（13）能够说明“设a,b,c是任意实数．若abc，则abc”是假命题的一组整数

a,b,c的值依次为______________________________．

（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵

坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第

i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.

①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1,Q2,Q3中最大的是______. ②记Pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则P1,P2,P3中最大的是_________.

三、解答题：共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

在ABC中，A60,c（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）若a7，求ABC的面积. （16）（本小题14分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC,PAPD（I）求证：M为PB的中点； （II）求二面角BPDA的大小；

（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

o3a 76,AB4

（17）（本小题13分）

为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药，一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； （Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大

于1.7的人数，求的分布列和数学期望E()；

（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的

大小.（只需写出结论）

（18）（本小题14分）

已知抛物线C:y2px过点P(1,1),过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点

212M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B，其中O为原点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A为线段BM的中点. （19）（本小题13分）

已知函数f(x)ecosxx

（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,（20）（本小题13分）

设{an}和{bn}是两个等差数列，记

x2]上的最大值和最小值.

cnmax{b1a1n,b2a2n,,bnann}(n1,2,3,)，

其中max{x1,x2,,xs}表示x1,x2,,xs这s个数中最大的数．

（Ⅰ）若ann，bn2n1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，

数m，使得cm,cm1,cm2,是等差数列．

cnM；或者存在正整n

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理科数学参（北京卷）

一、选择题

（1）A （2）B （3）C （4）D （5）A （6）A （7）B （8）D 二、填空题 （9）2

（10）1

（11）1

（12）7 9（13）-1，-2，-3 三、解答题 （15）解： （1）根据正弦定理

（14）Q1；p2

acc×sinA33333=sinC==sin60。== sinAsinCa77214（2）当a=7时，c=3a=3 7CA

cosC1sin2C1(33213) 1414sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)

sinAcosCcosAsinC

=313133+ 21421443 7=S△ABC=（16） （1）证明：

114acsinB=733=63 227连接AC，BD.ACIBD=O.连接OM

∵PD∥平面MAC， 平面PBDI平面MAC=MO ∴PD∥MO ∵O为BD中点 ∴M为PB中点 （2）取AD中点G，连接PG

∵PA=PD ∴PG⊥AD

又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PADI平面ABCD=AD ∴PG⊥平面ABCD

因为G是AD的中点，O是AC的中点，所以OG//CD， 因此，OG⊥AD

以G为坐标原点，分别以GD,GO,GP

所在直线为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系 则B(-2，4，0)，P(0，0，2)，D(2，0，0)，A(-2，0，0)

ur易知平面PDA的法向量m(0,1,0)

r设平面BPD的法向量n(x0,y0,z0)，则

ruuurngDPx,y,z2,0,22x2z000000ruuur ngDBx0,y0,z04,4,04x04y00r∴n=1,1，2

urrurrmgn11rrcosm,nu |m||n|1g1212(2)22∴二面角B-PD-A的平面角为（3）解：

 3

uuuurur2CM(3,2,)，平面PAD的一个法向量为m(0,1,0)

2所以，直线MC与平面BDP所成角的正弦值为

uuuururuuuururCMmrur|||cosCM,m||uuuu|CM||m|（17）解：

219412|26 9（Ⅰ）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患

者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：P153 5010（Ⅱ）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在私人中随

机选出的2人中指标x的值大于1.7的人数的可能取值为0,1,2.

P(0)11， 2C4611C2C2P(1)22，

C43P(2)11， 2C46所以，的分布列如下：

 P 0 1 2 1 62 31 6121E()0121

636（Ⅲ）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大。 （18）解：

（Ⅰ）因为抛物线C过点P(1,1)，

把P(1,1)代入y2px，得p∴C:yx

∴焦点坐标(,0)，准线为x

221

2

141。 4

（Ⅱ）设过点(0,)的直线方程为l:ykx121 2M(x1,y1),N(x2,y2)

直线OP:yx，直线ON:yy2x x2由题意知A(x1,y1),B(x1,x1y2) x21ykx1由2，可得k2x2(k1)x0

4y2xx1x21k1 ,xx12k24k21x1(kx2)xy122kxx1x2 y112kx11x22x22x21k2k2kx12kx1(1k)2x12x1 1224kx1∴A为线段BM中点。

（19）解：

（Ⅰ）f(x)ecosxx

∴f(x)e(cosxsinx)1

∴曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为ke(cos0sin0)10 切点为(0,1)，

∴曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y1 （Ⅱ）f(x)e(cosxsinx)1，

令g(x)f(x)

则g(x)e(cosxsinxsinxcosx)2esinx 当x[0,xxx0xx2]，可得g(x)2exsinx0，

即有g(x)在[0,所以f(x)在[0,2]上单调递减，可得g(x)g(0)0， ]上单调递减，

2所以函数f(x)在区间[0,22]上的最大值为f(0)e0cos001；

最小值为f()e2cos222

（20）解：

（Ⅰ）a11,a22,a33,b11,b23,b35，

当n1时，c1max{b1a1}max{0}0，

1}=1， 当n2时，c2=max{b12a1，b22a2}=max{1，3，4}=2， 当n3时，c3=max{b13a1，b23a2，b33a3}=max{2，下面证明：

对于nN*且n2，都有cnb1na1， 当kN*且2kn时， (bkakn)(b1a1n)

[(2k1)nk]1n (2k2)n(k1) (k1)(2n)

因为k10，且2n0，所以bkaknb1a1n 所以，对于nN*且n2，cnb1na11n 所以，cncn11 又 c2c11 所以{cn}是等差数列。 （Ⅱ）

（1）设{an}、{bn}的公差为d1,d2，对于b1a1n,b2a2n,,bnann

其中任意项biain（iN*,1biain=b1(i1)d2a1(i1)d1n

=（b1a1n）（+i-1）(d2-d1n)

nb1a1gn① 若d20,则bi-aigi1d20

则对于给定的正整数n，Cn=b1a1gn 此时Cn+1-Cn=-a1，故数列{Cn}为等差数列 ② 若d20，则(biain)(bnann)(in)d20

则对于给定正整数n，Cn=bnann=bna1n 此时Cn+1-Cn=d2-a1，∴数列{Cn}为等差数列

（2）若d10，此时d1nd2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，

*故必存在mN，使得nm时，d1nd20

*则当nm时，(biain)(b1a1n)(i1)(d1nd2)0(iN,1in)

因此，当nm时，cnb1a1n 所以，{cn}是从第m项开始为等差数列。

（3）若d10，此时d1nd2为一个关于n的一次项系数为整数的一次函数，

*故必存在sN，使得ns时，d1nd20，

*则当ns时，(biain)(bnann)(i1)(d1nd2)0(iN,1in)

因此当ns时，cnbnann 此时，

cnbnannbbdannd1n(d1a1d2)12 nnnn令d1A0,d1a1d2B,b1d2C 下面证明：cnC存在正整数m，使得nm时，AnB对任意正整数M，

nn

cnm n① 若C0，取m[当nm时，

|MB|]1 ([x]表示不大于x的最大整数) Acn|MB|MBAmBA([]1)BABM nAA|MCB|]1

A此时命题成立 ② 若C0，取m[当nm时，

cn|MCB|MBAmBAmBCA([]1)BABCMnAA此时命题成立。

综上，对任意正整数M存在m，使得当nm时，综合以上三种情况，命题得证.

cnm n