高二数学定积分

目标认知 学习目标：

1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思

想，了解定积分的概念、几何意义。

2．直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。

3．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体

验定积分的价值.

教学重点：

正确计算定积分，利用定积分求面积。

教学难点：

定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题。

知识要点梳理

知识点一：定积分的概念 如果函数区间

在区间

上连续，用分点

上任取一点

将

（i=1,2,3…,n），作和式

分为n个小区间，在每个小区间

，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫

做在区间上的定积分.记作.即＝，这叫做被积函

里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间数，叫做积分变量，

叫做被积式.

叫做积分区间，函数

说明：

（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；

（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.

知识点二：定积分的几何意义 设函数 在

在区间上，当

上连续.

时，定积分

在几何上表示由曲线

以及直线

与轴围成的曲边梯形的面积；

在

上，当

时，由曲线

以及直线

与轴围成的曲边

梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的负值；

在

上，当

既取正值又取负值时，曲线

的某些部分在轴的上方，

而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；

在一般情形下，定积分的几何意义是曲线轴所围成的各部分面积的代数和.

，两条直线

与

知识点三：定积分的性质 （1） （2） （3）

（其中

（为常数），

，

），

（4）利用函数的奇偶性求积分： 若函数

在区间

上是奇函数，则上是偶函数，则

；

.

若函数在区间

知识点四：微积分基本定理 如果

在

上连续，且

，则

叫做

,这个结论

的一个原函数.由于

叫做微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）。其中

也是

一般地，原函数在

的原函数，其中c为常数.

简记作

.因此，微积分基本定

上的改变量

理可以写成形式：.

注意：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.

知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线线 (

)围成的曲边梯形的面积：

；

，

，轴（即直线

）及一条曲

2. 如图，由三条直线线

(

)

围

成

的

曲

边

梯

，

，轴（即直线

）及一条曲

形的面积：

；

3．由三条直线上

，在区间

上

轴及一条曲线）围成的图形的面积为：

（不妨设在区间

＝＋.

4. 如图，由曲线成图形的面积公式为：

及直线

，.

围

知识点六：定积分在物理中的应用 ①变速直线运动的路程

作变速直线运动的物体所经过的路程上的定积分，即 ②变力作功 物体在变力到

.

，等于其速度函数

在时间区间

的作用下做直线运动，并且物体沿着与，那么变力

所作的功

.

相同的方向从移动

规律方法指导

1．利用定积分求平面图形面积的步骤：

（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；

（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； （3）写出定积分表达式； （4）求出平面图形的面积.

2.要正确理解定积分的概念，掌握其几何意义，从而解决实际问题； 3.要正确计算定积分，需非常熟悉导数的运算。