3立体几何中线、面垂直的证明问题

立体几何中线、面垂直的证明问题

重要知识

1、直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

lalbab

abAl 线面垂直的判定定理可概括为有“线线垂直”则“线面垂直”.

推论：一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线。 2、直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行。

数学语言： a⊥α，b⊥αa∥b 两个重要结论：

（1）垂直于同一条直线的两个平面平行。

（2）如果两条平行线中有一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 3、平面与平面垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 数学语言：a， a面  

面面垂直的判定定理可概括为有“线面垂直”则“面面垂直”。 4、平面与平面垂直的性质定理：

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

b

b lbl 面面垂直的判定定理可概括为由“面面垂直”则“线面垂直”。

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重要关系

线线垂直

重要方法

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：

（1）通过“平移”。

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3）利用勾股定理。

（4）利用直径所对的圆周角是直角。

线面垂直 面面垂直

典型例题

且b⊥平面α,则a⊥平面α） 题型一、通过“平移”.（根据若a//b,例1、在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=求证：AE⊥平面PDC.

1E为PD中点.DC，2D

A E B P C 变式1、如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点．求证：平面PCE⊥平面PCD；

P

F

BEACD

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题型二、利用等腰三角形底边上的中线的性质（三线合一）

例2、三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC．

求证：PCAB；

P

A B

C

题型三、利用勾股定理

例3、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD,PA1,PD2. 求证:PA平面ABCD；

_ B

_ A

_ D

_ P_ C

变式2、如图，四面体ABCD中，CACBCDBD2,ABADBD、BC的中点，求证：AO平面BCD；

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B2. O、E分别是

ADOEC文道教育 高中数学

变式3、如图 四棱锥PABCD底面是直角梯形BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD, E为PC的中点, PA＝AD。证明: BE平面PDC.

题型四、利用直径所对的圆周角是直角

例4、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.求证：平面PAC⊥平面PBC；

变式4、如图，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径AB2,C是狐AB的中点，D为

PA.CODBAC的中点．证明：平面POD平面PAC;

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高考真题

1、（2014•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD． （Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；

（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．

2、（2014•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点． （Ⅰ）求证：AP∥平面BEF； （Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．

3、（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 （Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；

（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．

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4、（2014•开封二模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60° （Ⅰ）证明：AB⊥A1C； （Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=

，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．

5、（2014•陕西）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H． （Ⅰ）求四面体ABCD的体积； （Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．

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6、（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C． （1）证明：B1C⊥AB；

（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．

7、（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC．

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8、（2013•湖南）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=的中点，点E在棱BB1上运动． （1）证明：AD⊥C1E；

（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．

，AA1=3，D是BC

9、（2013•安徽）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=

．

（Ⅰ）证明：PC⊥BD

（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．

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10、（2014•潍坊模拟）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE； （Ⅱ）求证；AE∥平面BFD； （Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．

11、（2014•南昌模拟）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D为AB的中点，且AC=BC=VC=a．

（Ⅰ）求证：AB⊥平面VCD； （Ⅱ）求点C到平面VAB的距离．

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12、（2014•漳州模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD； （Ⅱ）若PH=1，

，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．

，PH为△PAD中AD边上的高．

13、（2014•梅州一模）如图，在直角梯形ABEF中，将四边形DCEF沿CD折起，使∠FDA=60°，得到一个空间几何体如图所示． （1）求证：BE∥平面ADF； （2）求证：AF⊥平面ABCD； （3）求三棱锥E﹣BCD的体积．

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