初中数学专题解析.doc

专题一

常用的数学思想方法

基础讲解

常用的数学思想方法是近两年中考的热点，特别是运用数学思想方法分析问题、解决问题方面的考查.只要我们认真学习，都会掌握的.

中考解读

一、考查的内容以及要求

1.了解中考常见数学思想方法的常见类型.

2.数学思想方法是数学内容的概括和总结，解决问题需要用到整个初中阶段学习的所有的知识.

3.能通过观察、比较、分析、探索、阅读、综合、猜测发展概括和总结能力，并能充分运用已学过的数学知识和数学思想方法（如数形结合思想、方程与函数思想、类比思想、转化思想等），经过归纳、类比、模拟、联想等推理的手段，得出正确的结论，总结出探索型问题的一般求解思路和方法，形成解决此类问题的一些基本策略.

4.通过专题复习，进一步提高创新意识和创新能力，提高综合运用知识能力.

二、内容考查的方式、趋势和应试策略

数学思想方法是数学知识、数学技能的本质体现.在数学学习中，要提高分析问题、解决问题的能力和形成应用数学的意识，这些都离不开数学思想方法.近年来，各地的中考命题越来越注重对数学思想方法的考查，特别是运用数学思想方法分析问题、解决问题方面的考查，在今后的中考中，必将出现形式更加新颖、内容更加多样化的有关数学思想方法的题型.

导学提示 ●知识储备

（1）数学思想方法是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的本质认识，抓住数学思想方法是提高数学解题能力根本之所在.

（2）常用的数学思想方法有

此主题相关图片如下：171001.jpg

●关键提示

1.要充分掌握初中阶段所学习的基础知识和基本数学思想方法. 2.要多角度思考问题，体会解决问题策略的多样性，培养学生分析问题、解决问题的能力.

典例分析

专题研学 ● 三维整合

1.整体思想：在解数学问题时对某些数学问题从局部入手，若用习惯性的思想方法求解，则头绪繁杂，难以突破；若从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，往往能使问题化繁为简、变难为易，获得问题的捷径，这一过程所体现的就是整体思想.它往往能收到事半功倍的效果（如例1）.数形结合思想即抓住数与形之间本质上的联系，利用数形结合的思想可以把抽象的数转化为直观的形，也可以把复杂的形转化为具体的数，从而使问题得到简捷解决（如例2）.分类讨论思想主要是对于一些较难、较复杂的问题，采用“分解”的方式，把它分解成若干个较简单、较容易解决的问题，进而解决问题的方法.换元的思想方法把具有某一特征的代数式用一个字母来表示，简化整个代数式的结构，最后再把原始的代数式代回.转化思想设法把需要解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或易于解决的问题中，从而使原来的问题得到解决.（如例3）

2.在解题过程中，要培养创新思维，发展创新意识，要注意知识之间的内在联系，运用有关的数学思想方法大胆地提出问题，再对问题进行

解答.这就需要同学们通过大胆猜测、探索，寻找解决问题的方法，不断提高分析问题、解决问题的能力（如例4）.

3.运用数学思想方法解题，既能培养同学们的创新意识和创新能力，又能进一步培养学生的思维能力，有利于直觉思维和发散思维的发展，从而培养同学们科学的学习态度和探究精神等.

●典题诠释 【例1】 计算

－1＋x.

剖析：本题对－1＋x的处理要把它看作一个整体，不能分开处理，即不能看作这样的运算：

－1＋x＝

－＋.

解答：

.

－1＋x＝－＝－＝＝

【例2】 请你观察如图1所示的星阵图，当你对它疑惑不解时，可先完成下列式子的计算，然后再对照星阵图，写出你的猜想，并计算.

1＋3＋5＋…＋199.

完成下列计算：1＋3＝____________________； 1＋3＋5＝____________________； 1＋3＋5＋7＝____________________； 1＋3＋5＋7＋9＝____________________； ……

此主题相关图片如下：172013.jpg

剖析：本题利用数形结合的思想，立意深远.下边式子的结果对应上

边星阵图中的“※”的个数，如1＋3＋5＝32，对应的就是上边每边有3个“※”的星阵图.上述过程也是一个合情推理的完整过程.

解答：1＋3＝4＝22, 1＋3＋5＝9＝32, 1＋3＋5＋7＝16＝42, 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52, ……

猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋（2n－1）＝n2,

因此，1＋3＋5＋7＋9＋…＋199＝1＋3＋5＋7＋9＋…＋ （2×100－1）＝1002＝10000.

对于本题你是否有其他的做法？请写下来.

【例3】 如图2，在△ABC的AB和AC边上分别向外作正方形ABDE和ACNM，连结CE、MB，求证：CE⊥MB并且 CE＝MB.

此主题相关图片如下：172014.jpg

剖析：因为此题具备了等边和等角，可以通过证明三角形全等来完成，但是如果我们换一个方位用旋转的方法来证明，其巧妙之处会令人叫绝.

解答：将△ABM以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转 90°，由于∠BAE＝90°，∠MAC＝90°且AE＝AB，AM＝AC，

∴AB与AE重合（点B与点E重合），AM与AC重合（点M与点C重合）.

∴BM与CE重合.∴CE＝MB.∵当△ABM旋转90°时，其每条边都旋转了90°,∴CE⊥MB.

你对此题有何见解?请写下来.

【例4】 （2004年烟台）如图3，“回”字形的道路宽1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了（ ）

此主题相关图片如下：172015.jpg

A.55米 B.55.5米 C.56米 D.56.5米

剖析：本题考查思想方法的应用，要求它共走了多少米，若直接计算比较复杂，由“道路宽为1米”这个条件易想到，每1米长的道路，其面积为1平方米.故可将“求共走了多少米远”的问题转化为“求所走过的道路面积为多少平方米”的问题.

由7×8＝56（平方米）即可得出结论：这个人共走了56米. 解答：C

专题二 应用型问题

基础讲解

应用型问题是近两年中考的热点，你知道解决这类问题的方法和策略吗？你掌握应用型问题常用的数学模型吗？认真学习，你都会掌握的.

中考解读

一、考查的内容以及要求

1.了解中考应用型问题的常见模型：数与式、方程（组）、不等式（组）、函数、统计、锐角三角函数（解直角三角形）、各种几何图形等. 2.通过建立数学模型解决实际问题，让学生学会用数学的思维方式去观察、分析、解决日常生活和相关学科中的问题，体会数学与现实生活的密切联系.

3.通过将实际问题转化为数学问题来解决，提高综合运用知识能力和数学建模能力，增强数学应用意识.

4.通过专题复习，进一步提高创新意识和创新能力，提高综合运用知识的能力.

二、内容考查的方式、趋势和应试策略

应用型问题在初中数学中涉及的内容较为广泛，考查的知识几乎涵盖了初中数学的全部内容.中考试卷中占比例大的是考查学生应用能力的应用型试题，一般约在19%左右.既有常规意义下的应用题，即需要列方程(组)或不等式(组)求解的应用题，还有与函数有关的应用题、与统计有关的应用型问题、与几何有关的应用题、与锐角三角形比有关的应用题等，应用型问题所涉及的初中数学知识有不断扩展的趋势. 从题型上看，应用题的题型丰富多样，有填空题、选择题、新颖的解答题，又有阅读理解题及开放题、探索题等等.这些试题背景取材于生活，取材于社会，是学生所熟悉的，具有浓厚的时代气息，并且有逐年增加的趋势，成为今后中考命题的热点.

导学提示 ●知识储备

应用型问题的取材面广泛，涉及到生活生产、环境保护、国情国策、市场经济、社会热点、新闻事件等方面.内容涉及方程、不等式、函数、统计与概率、几何、三角函数等等. 常用的重点内容为：

（1）实数的相关定义及计算：________________； （2）方程的种类以及基本形式：______________； （3）不等式（组）的基本解法：________________； （4）函数的性质及其图象：__________________； （5）三角函数的定义：______________________； （6）统计与概率的有关知识：________________； （7）三角形、四边形性质和判定：_____________； （8）圆的有关性质：_________________________. ●关键提示

1.要充分掌握初中阶段所学习的基础知识和基本数学思想方法. 2.要多角度思考问题，灵活运用数学知识解决实际问题，加强学生学习的自主活动性，注重学生综合运用知识的能力和应用意识的 培养.

典例分析

专题研学

● 三维整合

1—1 中考应用型问题的规范解法是数学建模法.它是将某一问题的特征与数量关系借助形式化的数学语言而建立一种数学结构，通过对建立的数学结构的研究解决原问题的方法.

1—2 初中数学中常用的数学模型有：(1)函数应用问题.函数是中学数学的重点内容，它应用的范围非常广泛.在日常生活和社会实践中，普遍存在的求成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省、造价最低等应用型问题，常常可归结为求函数最大（小）值问题.(2)方程、不等式应用问题.实际应用的投资决策、环境保护、生产规划、统筹安排、交通运输、最优化等问题及有关最大（小）值的实际问题，常常需要建立方程或不等式来解决.(3)三角应用问题.现实生活中，诸如测量、建筑、航行等与三角函数知识有关的实际问题，可建立相应的三角函数关系式进行求解.

2.用数学建模法解决应用型问题的一般步骤为：（1）首先将实际应用型问题转化成一个数学问题：在这个过程中，我们需要对实际问题的信息加以分析处理.（2）构建数学模型：对问题提出必要的假设，并进行数学的抽象与概括，从而建立某种数量关系或确定某种几何关系（.3）研究处理数学模型：要依据数学知识进行推理与求解，得出数学结论.（4）检验数学模型：在这一过程中，要把数学结构还原到实际问题中去，对实际问题加以诠释.这样，可以把解答应用型问题思路破译分解为四个步骤：阅读理解、建立模型、模型求解、回归实际.

3.通过对应用型问题的学习，培养和提高学生的数学应用意识，使学生掌握提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科，生产、生活中的数学问题，准确而灵活地运用数学语言研究和表述问题.因此在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养，加大应用问题的教学力度.

●典题诠释

【例1】 某饮料厂为了开发新的产品，用A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：

甲 A（单位：千克） B（单位：千克） 0.5 0.3 （1）假设甲种饮料需配制x千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集.

（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y元，请写出y与x的函数表达式，并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？

剖析：本题部分已知信息由表格提供.根据表格数据和其他已知条件以甲种原料用量不大于19千克，乙种原料用量不大于17.2千克，可列出（1）的不等式组，并求出其解集；（2）由“成本总额＝甲种饮料成

本＋乙种饮料成本”这个关系式，可列出函数表达式，再运用函数的性质，可确定最低总成本.本题的关键在于列不等式和求函数表达式.

解答：（1）解得28≤x≤30.

（2）y＝4x＋3（50－x）＝x＋150（28≤x≤30）.

由一次函数性质可知，k＝1＞0，y随x的增大而增大，所以当x＝28时甲、乙两种饮料的成本总额最少，即y＝28＋150＝178元.

对于本题，你采取的解题方式是什么？

【例2】 市为美化市容，改善居民的生活环境，投入总资金4700万元修建一个游园，为使游园早日造福于市民，承建单位经预算，决定拿出投入总资金的0.4%用于购买某种名贵成树进行绿化.施工中第一次用8万元，从某林场购回若干棵；后经了解，该林场出售此种名贵成树有优惠条件：即一次购买10万元以上者，每棵树优惠20元，于是承建单位第二次将预算购买名贵成树的余下资金一次投入，因此比第一次多购回200棵该种成树.问承建单位两次共购回这种名贵成树多少棵？

剖析：方程型应用题的解题关键是合理地设未知数，并列出等量关系，最后一定要检验所得的解是否符合实际生活意义.

解答：设第一次购树x棵，则第二次购树（x＋200）棵, 由题意得

－

＝20.

解得x1＝400，x2＝－2000（不合题意，舍去）.故x＝400. ∴承建单位共购树棵树为x＋（x＋200）＝1000.

【例3】 如图1，某生活小区的居民筹资1600元，计划在一块上、下两底分别为10 m、20 m的梯形空地上种植花木.

（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/米

2

.当△AMD地带种满花后，共花了160元.请计算种满△BMC地带所需

的费用.

（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/米2和10元/米2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？

剖析：本题以美化、绿化环境为背景，渗透环保意识，解决这一问题的关键是熟练运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”及“相似三角形对应高的比等于相似比”等性质.

解答：（1）易知△AMD∽△CMB，所以S△AMD∶S△CMB＝1∶4.由种植△AMD地带花了160元可得S△AMD＝20×4＝80 m2,费用为80×8＝0元.

（2）S梯形ABCD＝180 m2,S△AMB＋S△DMC＝80 m2,

160＋0＋80×12＝1760元，160＋0＋80×10＝1600元. 故应选择种植茉莉花，刚好用完所筹集的资金.

＝20 m2 ，所以S△CMB＝

专题三 综合型问题

基础讲解

综合型问题是近两年中考的热点，你知道解决这类问题的方法和策略吗？你掌握综合型问题常用的数学思想吗？认真学习，你都会掌握的.

中考解读

一、考查的内容以及要求

1.了解中考综合型问题的常见类型.

2.综合型问题具有较强的综合性，解决此类问题需要用到整个初中阶段学习的所有的 知识.

3.能充分运用已学过的数学知识和和其他学科的知识，经过充分的计算、归纳、类比、模拟、联想等推理的手段，得出正确的结论，总结出综合型问题的一般求解思路和方法，形成解决此类问题的一些基本策略.

4.通过专题复习，进一步提高创新意识和创新能力，提高综合运用知识的能力.

二、内容考查的方式、趋势和应试策略

1.根据近几年的中考分析，综合型问题往往涉及内容丰富，综合运用不同学科、不同领域的知识，可以以中考题中任何一种形式出现.从以往的论证转向发现、猜想和探究.

2.综合型问题是中考一直考查的内容.此类题目既涉及较多的数学知识和其他的知识，以便综合考查学生解决问题的能力，因此预计今后此类题目还会是中考的发展方向.

3.此类问题所考查的方式灵活、内容丰富、实际化、生活化，解决问题时要准确理解题意，综合使用所学的知识进行猜测、合理综合、认真求证. 导学提示 ●知识储备

综合型问题在求解过程中，涉及丰富而重要的各个学科各个领域的知识.同时结合数学概念、数学思想方法，通过观察、试验、猜测、验证、推理等多种数学活动来寻求解决问题的途径，因而几乎涵盖了初中阶段所有的数学基础知识. 常用的重点内容为：

（1）实数的相关定义及计算的综合：__________； （2）方程和函数的综合：____________________； （3）相似三角形和函数的综合：______________； （4）不等式和函数的综合：__________________； （5）不同学科之间的综合：__________________； （6）动点和函数知识的综合：________________； （7）动点和相似三角形以及三角形面积的综合：

______________________________________________. ●关键提示

1.综合型问题具有较强的综合性，解决此类问题需要用到整个初中阶段学习的所有的知识.它需要扎实的功底.

2.要体会综合运用知识来解决问题的策略，多角度思考问题，总结出综合型问题的一般求解思路和方法.

典例分析

专题研学 ● 三维整合

1.综合型问题所涉及的知识涵盖了初中阶段所有内容，解答时重点是需要对问题中涉及的综合知识熟练灵活掌握.难点是要灵活应用基础知识，综合各个方面的知识，找到解决问题的思路与方法.如例1中利用计算机知识和数学探究规律知识的综合，应用二进制和十进制的转化规律得出正确答案.再如例2需要在熟练运用物理上的电学知识和数学中的代数式等知识的基础上进行解答.在例3中则考查了二次函数的增减性、最值、对称性和平行线、三角形和相似图形等知识等性质，以及对函数图象的阅读能力.例4则可以综合运用二次函数的知识和一元二次方程和相似三角形等知识，很好地掌握二次函数的性质、一元二次方程和相似三角形的基础知识可以正确解答此题.都属于综合型的考查.

2.在解综合型问题的过程中，要注重各个学科、各个知识点的综合掌握，如例1中利用计算机知识和数学探究规律知识的综合；例2需要熟练运用物理上的电学知识和数学中的代数式等知识的基础上进行解答.

例3则可以综合运用二次函数的增减性、对称性、最大（小）值、图象和平行线、三角形和相似图形等综合知识.

3.综合型题目，既让学生能够灵活掌握所学的知识，同时也培养同学们综合运用各个方面知识的能力，又可以进一步培养理性思维和综合能力.如例1、例3、例4等.

●典题诠释

【例1】 计算机利用的是二进制数，它共有两个数0、1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个2n数的和，依次写出1或0即可，如19（十）＝16＋2＋1＝1×24＋0× 23＋0×22＋1×21＋1×20＝10011（二）为二进制下的5位数，则十进制数2004是二进制下的（ ）

A.10位数 B.11位数 C.12位数 D.13位数

剖析：此题是利用计算机知识和数学探究规律知识的综合.很好地理解二进制和十进制的转化规律是解答本题的关键.

解答：B

【例2】 图1所示的电路的总电阻为10Ω，若R1＝2R2，则R1、R2的值分别是（ ）

图1

A.R1＝30Ω，R2＝15Ω

B.R1＝Ω，R2＝Ω

C.R1＝15Ω，R2＝30Ω D.R1＝

Ω，R2＝

Ω

剖析：此题是不同学科之间的综合，需要运用物理上的电学知识和数学中的代数式等知识的综合.

解答：A

【例3】 如图2，在平行四边形ABCD中，AD＝4 cm， ∠A＝60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.

图2

(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求 △APE的面积；

(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2.

剖析：可以综合运用二次函数的增减性、对称性、最大（小）值、图象和平行线、三角形和相似图形等知识，很好地掌握二次函数的性质和全等三角形、相似三角形的基础知识可以正确解答此题.

解答：(1) 当点P运动2秒时， S△APE＝(2)①S关于t的函数关系式为

.

S＝

②当0≤t≤6时，S的最大值为所以当t＝8时，S有最大值为6

.

;当6≤t≤8时，S的最大值为6.

【例4】 已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋3. （1）证明抛物线顶点一定在直线y＝－x＋3上.

（2）若抛物线与x轴交于M、N两点，当OM·ON＝3，且OM≠ON时，求抛物线的解析式.

（3）若（2）中所求抛物线顶点为C，与y轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线y＝－x＋3与x轴交于点A.点P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足D在线段AC上.试问：是否存在点P，使S△PAD＝S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

剖析：可以综合运用二次函数的的知识和一元二次方程和相似三角形等知识，很好地掌握二次函数的性质、一元二次方程和相似三角形的基础知识可以正确解答此题.

解答：（1）顶点坐标为（m,－m＋3），顶点在直线y＝－x＋ 3上.

（2）∵抛物线与x轴交于M、N两点,∴Δ＞0,即(2m)2－ 4(m2＋m－3)＞0.解得m＜3.∴m＝0，m＝－1.∴当m＝0时，y1＝－x2＋3（与OM≠ON矛盾，舍）.∴m＝－1,y1＝－x2－2x＋3；当m2＋m－3＝0时，y2＝－x2＋4x－3,y3＝－x2－6x－3.

（3）P(－1,2

)或P′(－1,－2

).

专题四

图表信息型问题

基础讲解

图表信息型问题是近两年中考的热点，你知道解决这类问题的方法和策略吗？你掌握图表信息问题常用的数学思想吗？ 中考解读

一、考查的内容以及要求

1.了解中考图表信息问题的常见类型.

2.图表信息问题具有较强的广泛性、灵活性，解决此类问题需要有扎实的基础知识、较强的分析能力.

3.这类题目一般是通过观察图象、整理信息，抽象出数学问题，并用数学语言抽象成数学模型，使学生“亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，有利于学生理解、掌握相关知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，感受到数学创造的乐趣，树立学好数学的自信心.

4.通过专题复习，加强学生识图能力和处理图表信息能力，提高学生综合运用知识的 能力.

二、内容考查的方式、趋势和应试策略

信息时代的到来，呼唤信息型的中考试题，近年来中考数学试题，很多都是以图象、图表为背景展现在考生面前，这方面的试题不拘泥于大纲和课本，形式多样.所谓信息型题就是根据图象、图表等给出数据信息，进而依据这些给出的信息通过整理、分析、加工、处理等手段解决的一类实际问题.由于此类问题命题背景广泛、蕴含知识丰富，突出对考生收集、整理与加工信息能力的考查，近年来常在各地的中考试卷中出现.此类问题内容背景新颖、实际、灵活，解决问题时要准确理解题意，进行大胆分析、处理信息. 导学提示 ●知识储备

1.图表信息问题，需要通过观察、试验、猜测、验证、推理等多种数学活动来寻求解决问题的途径，因而几乎涵盖了初中阶段所有的数学基础知识.

2.常用的重点内容为：

（1）方程的种类及其基本形式:_______________； （2）方程组:_______________________________； （3）统计中的常见名词:_____________________； （4）函数的解析式的确定：__________________； （5）函数的性质及其图象：__________________.

●关键提示

1.要充分掌握初中阶段所学习的基础知识和基本数学思想方法. 2从实际问题中获取必需的信息——分析、处理有关信息——转化为数学问题（建模）——解答数学问题——解答.

典例分析

专题研学 ● 三维整合

1—1 图表信息题背景广泛，形式多样，蕴含知识丰富.其中 包括： （1）将“图形语言”转化成“符号语言”的图表信息问题； （2）以方程模型为背景的图表信息问题； （3）以方程组模型为背景的图表信息 问题； （4）以函数模型为背景的图表信息问题； （5）以统计模型为背景的图表信息问题.

1—2 重点是需要对问题中涉及的基础知识熟练灵活掌握.例如,例1要用到统计中的频率分布直方图、抽样调查、样本、频率以及用样本估计总体等知识，只有对这些基础知识掌握牢固才能灵活运用.

1—3 难点是对图表信息认真分析、合理利用，按照题意要求，准确地输出信息.

2.在解题过程中要求考生依据这些给出的信息通过整理、分析、加工等手段对信息作出合理的解释与推断，并运用方程、方程组、函数、统

计等去刻画具体问题，建立合适的数学模型.例如,例3是运用方程组建立数学模型，在解题过程中关键是要分清图表中提供的相关信息，依据得到的信息列出方程组解决问题.

3.图表信息题目，既培养同学们的创新意识和激发学生接触数学信息的愿望，又使学生感受到数学与日常生活之间的密切联系，从而对身边事物产生好奇心，感受到数学问题的趣味性，发展学生的发散思维，培养同学们的探究精神.如例3等.

●典题诠释

【例1】 2004年6月6日是全国爱眼日，其主题是“防止屈光不正及低视力,提高儿童和青少年眼保健水平”.让我们行动起来，爱护我们的眼睛!某学校为了做好全校2000名学生的眼睛保健工作，对学生的视力情况进行一次抽样调查.图1是利用所得的数据绘制的频率分布直方图（长方形的高表示该组人数）.请你根据图中提供的信息，回答下列问题（把答案填写在横线的上方）：

(1)本次调查共抽测了_______________名学生；

(2)在这个问题中，样本指的是_______________；视力在第四组内的频率是_______________；

(3)如果视力在第一、二、三组范围内均属视力不良，那么该校约有_______________名学生的视力不良，应给予治疗、矫正.

剖析：此题主要考查“统计”中通过频率分布直方图读取信息的能力，其中涉及到抽样调查、样本、频率、用样本估计总体等统计中的基础知识.

解答：(1)160 (2)160名学生的视力情况 0.25 (3)1250

【例2】 2003年夏天，湖南省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图2是某水库的蓄水量V(万立方米)与干旱持续时间t(天)之间的关系图，请根据此图，回答下列问题：

(1)该水库原蓄水量为多少万立方米?持续干旱10天后，水库蓄水量为多少万立方米?

(2)若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发出严重干旱警报？

(3)按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？

剖析：此题是一次函数的图象信息题.其中（1）该水库原蓄水量可直接由图看出是1000万立方米，而持续干旱10天后，水库蓄水量可由图直接读出，也可由坐标（0，1000）（30，400）得到一次函数表达

式，求当x＝10时y的值得到.（2）可直接读出信息.（3）可利用一次函数的表达式求当y＝0时x的值.

解答：(1)水库原蓄水量为1000万立方米，持续干旱10天后蓄水量为800万立方米；

(2)持续干旱30天后将发生严重干旱警报； (3)持续干旱50天水库将干涸.

【例3】 一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这种货车的情况如下表：

第一次 2 3 15.5 甲种辆数(辆) 乙种辆数(辆) 累计运货吨数(吨) 现租用该公司3辆甲货车与5辆乙货车一次刚好运完这批货，如按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？

剖析：由上表可看出，间接设未知数，求得甲、乙两车的单车运载量，再按现在的条件计算出付款数.

解：设甲种货车每辆运货x吨，乙种货车每辆运货y吨，依题意，

得解得

∴30×(3x＋5y)＝735(元). 答：这次货主应付运费735元.

专题五

操作型问题

基础讲解

操作型问题是近两年中考中的热点，你知道解决这类问题的方法和策略吗？你掌握了操作型问题常用的数学思想吗？认真学习，你都会掌握的.

中考解读

一、考查的内容以及要求

1.了解中考操作型问题的常见类型；

2.操作型问题具有较强的实践性，解决此类问题需要动手、动脑相结合；

3.能通过实验、观察、分析、探究、猜想，归纳发展操作性思维，并能充分运用已学过的数学知识和数学思想方法（如：数形结合思想、方程与函数的思想、分类讨论的思想、转化思想），经过归纳、类比、模拟、联想等推理手段，得出正确的结论，总结出操作型问题的一般求解思路和方法，形成解决此类问题的一些基本策略；

4.通过专题复习，进一步提高创新意识和创新能力，提高综合运用知识的能力.

二、内容考查的方式、趋势和应试策略

1.根据近几年的中考分析，操作型问题往往涉及内容丰富，构思新颖，立意深刻，形式灵活，可以以中考题中任何一种形式出现.

2.操作型问题是近两年中考中的热点与发展方向，此类题目既涉及较多的数学知识，又以一种灵活的方式考查解决问题的能力，因此预计今后此类题目还会是中考的发展方向.

3.此类问题所考查的方式灵活，内容背景新颖、实际化、生活化，解决问题时要准确理解题意，熟练掌握基础知识，进行大胆猜测、合理操作、认真求证.

导学提示 ●知识储备

操作型问题在求解过程中，涉及丰富而重要的数学概念、数学思想方法，需要通过观察、试验、猜测、验证、推理等多种数学活动来寻求解决问题的途径，因而几乎涵盖了初中阶段所有的数学基础知识.

常用的重点内容为：

（1）三角形相似的性质和判定：______________； （2）三角形全等的性质和判定：______________； （3）特殊四边形性质与判定：________________； （4）图形的变换等等. ●关键提示

1.要充分掌握初中阶段所学习的基础知识和基本数学思想方法. 2.要多角度思考问题，体会解决问题策略的多样性，培养思维的开放性，总结出操作型问题的一般求解思路和方法.

典例分析

专题研学 ● 三维整合

1.操作型问题所涉及的知识涵盖了初中阶段所有内容，解答时的重点是需要对问题中涉及的基础知识熟练灵活掌握,难点是要灵活应用基础知识，多角度地进行思考，发展思维的开放性，找到解决问题的思路与方法.如例1第一问用三角形全等的知识来解决，第二问用三角形相似的知识来解决.同时，结合了动手操作的活动.例2中考查了学生的三角形全等知识和动手操作能力.三例都属于基础知识与基本技能的考查.

2.在解题过程中，要培养动手和动脑相结合的方法，并且能灵活运用到现实中.

3.开放性探究题目，既可以培养同学们的创新意识和创新能力，又可以进一步培养思维的开放性和广阔性，有利于直觉思维和发散思维的发展，从而培养同学们科学的学习态度和探究精神.例2需要学生多方面考虑，不能按部就班.例3答案不唯一，教师应该鼓励学生开动脑筋.

●典题诠释

【例1】 若∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：

1.将三角尺的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边与边OA、OB交于点C、D.

（1）在图1甲中，证明PC＝PD；

（2）在图1乙中，点G是CD与OP的交点，且PG＝△POD与△PDG的面积之比.

PD，求

2.将三角尺的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与OB交于点D，OD＝1，另一直角边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，使以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，在图1丙中作出图形，试求OP的长度.

剖析:第1问中的(1)用三角形全等的知识来解决,第1问中的(2)和第2问需要用三角形相似的知识来解决.我们在解第2小题时,只要用三角板在点P处操作转动，一条边始终与OB相交，当另一条边与OA及它的延长线相交时，求得的两种情况显而易见.第二问设OP为x，关键是通过三角形的相似对应线段成比例构造关于CP的方程.

【例2】 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图①.第二步：再把点B折在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图②.第三步：沿EB线折叠得到折痕EF，如 图③.

利用展开图④探究：

（1）△AEF是什么三角形？

（2）对于任意矩形，按照上述方法是否能折出这种三角形？说明理由?

解答:（1）等边三角形；（2）不一定,例如正方形.

【例3】 如图3，菱形公园有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分，（1）用直线分割；（2）每个部分内各有一个景点；（3）各部分的面积相等.

剖析:此题目主要考查四边形的综合知识以及三角形知识的综合运用，可以连结菱形的两条对角线.

专题六

阅读理解型问题

基础讲解

阅读理解型问题是近两年中考中的热点，你知道解决这类问题的方法和策略吗？你掌握阅读理解型问题常用的数学思想吗？认真学习，你都会掌握的.

中考解读

一、考查的内容以及要求

1.阅读理解型问题具有较强的综合性，解决此类问题需要用到整个初中阶段学习的所有知识；

2.能通过阅读、分析、探索、猜想、归纳、类比，总结阅读理解题型的一般方法.发展探索性思维，并能充分运用已学过的数学知识和数学思想方法（如：数形结合思想、方程与函数的思想、分类讨论的思想、转化思想），经过归纳、类比、模拟、联想等推理手段，得出正确的结论，总结出阅读理解型问题的一般求解思路和方法，形成解决此类问题的一些基本策略.

二、内容考查的方式、趋势和应试策略

1.根据近几年的中考分析，阅读理解问题往往涉及内容丰富，构思新颖，立意深刻，形式灵活，可以中考题中任何一种形式出现.

2.阅读理解型问题是近两年中考中的热点与发展方向，此类题目既涉及较多的数学知识，又以一种灵活的方式考查解决问题的能力，因此预计今后此类题目还会是中考的发展 方向.

3.此类问题所考查的方式灵活，内容背景新颖、实际化、生活化，解决问题时要准确理解题意，熟练掌握基础知识，进行大胆猜测、合理探索、认真求证.

导学提示 ●知识储备

阅读理解型问题在求解过程中，涉及丰富而重要的数学概念、数学思想方法，需要通过观察、试验、猜测、验证、推理等多种数学活动来寻求解决问题的途径，因而几乎涵盖了初中阶段所有的数学基础知识.

常用的重点内容为：

（1）实数的相关定义及计算：________________； （2）方程的种类以及基本形式：______________； （3）函数的性质及其图象：__________________； （4）函数的解析式的确定：__________________； （5）三角形相似的性质和判定：______________； （6）三角形全等的性质和判定：______________； （7）特殊四边形性质与判定：________________； （8）图形的变换等等. ●关键提示

1.要充分掌握初中阶段所学习的基础知识和基本数学思想方法. 2.要多角度思考问题，体会解决问题策略的多样性，培养思维的开放性，总结出阅读理解型问题的一般求解思路和方法.

典例分析

专题研学 ● 三维整合

1.阅读理解型问题所涉及的知识涵盖了初中阶段所有内容，解答时重点是需要对问题中涉及的基础知识熟练灵活掌握.难点是要灵活应用基础知识，多角度地进行思考，发展思维的开放性，找到解决问题的思路与方法.如例2需要阅读、探索、归纳里面的结论.在例1中则考查了学生归纳、计算、阅读、猜测的能力.两者都属于基础知识与基本技能的考查.

2.在解题过程中，要培养创新思维，发展创新意识，要注意条件的不确定性和结论的不确定性，从而总结解决问题策略的多样性.开放性问题不是指问题的答案多于1个，而是指问题的条件和结论以及解题方法等的不唯一性.有的试题需要根据题意，由所学的知识首先提出不同问题（且根据不同问题的层次得到不同的评价，即评价开放）,再对所提出的问题进行解答，这就需要同学们通过大胆猜测，探索条件、结论，寻找解决方法.

3.开放性探究题目，既培养同学们的创新意识和创新能力，又可以进一步培养思维的开放性和广阔性，有利于直觉思维和发散思维的发展，从而培养同学们科学的学习态度和探究 精神.

●典题诠释

【例1】 十六大提出全面建设小康社会.国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为n＝家庭类型 n ×100%.

贫困 n＞60% 根据上述材料，解答下列问题：

某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查.从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元.1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元.

（1）1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多 少元？ （2）设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为nm（m为正整数）.请用m的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数nm，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数（百分号前保留整数）.

（3）按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活？该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标？

剖析:本题主要是考查学生的阅读能力，需要根据公式认真阅读理解. 解答：(1)4000元到4800元；（2）54；（3）能. 【例2】 观察下列各式，你会发现什么规律？ 3×5＝15，而15＝42－1；

温饱 50%＜n≤60% 小康 40%＜n5×7＝35，而35＝62－1； ……

11×13＝143，而143＝122－1,将你猜到的规律用含一个字母的式子表示出来.

解答:（2n－1）（2n＋1）＝（2n）2－1.

专题七

探索型问题

基础讲解

探索型问题是近两年中考的热点，你知道解决这类问题的方法和策略吗？你掌握探索型问题常用的数学思想了吗？认真学习，你都会掌握的.

中考解读

一、考查的内容以及要求

1.了解中考探索型问题的常见类型；

2.探索型问题具有较强的综合性，解决此类问题需要用到整个初中阶段学习的所有的 知识；

3.能通过观察、比较、分析、探索、阅读、综合、猜测发展探索性思维，并能充分运用已学过的数学知识和数学思想方法（如：数学结合思想、方程与函数的思想、分类讨论的思想、转化思想），经过归纳、类

比、模拟、联想等推理的手段，得出正确的结论，总结出探索型问题的一般求解思路和方法，形成解决此类问题的一些基本策略；

4.通过专题复习，进一步提高创新意识和创新能力，提高综合运用知识的能力.

二、内容考查的方式、趋势和应试策略

1.根据近几年的中考分析，探索型问题往往涉及内容丰富，构思新颖，立意深刻，形式灵活，可以以中考题中任何一种形式出现.

2.探索型问题是近两年中考中的热点与发展方向，此类题目既涉及较多的数学知识，又以一种灵活的方式考查解决问题的能力，因此预计今后此类题目还会是中考的发展方向.

3.此类问题所考查的方式灵活，内容背景新颖、实际化、生活化，解决问题时要准确理解题意，熟练掌握基础知识，进行大胆猜测、合理探索、认真求证.

导学提示 ●知识储备

探索型问题在求解过程中，涉及丰富而重要的数学概念、数学思想方法，需要通过观察、试验、猜测、验证、推理等多种数学活动来寻求解决问题的途径，因而几乎涵盖了初中阶段所有的数学基础知识.

常用的重点内容为：

（1）实数的相关定义及计算：________________； （2）方程的种类以及基本形式：______________； （3）函数的性质及其图象：__________________；

（4）函数的解析式的确定：__________________； （5）三角形相似的性质和判定：______________； （6）三角形全等的性质和判定：______________； （7）特殊四边形性质与判定：________________； （8）图形的变换等等. ●关键提示

1.要充分掌握初中阶段所学习的基础知识和基本数学思想方法. 2.要多角度思考问题，体会解决问题策略的多样性，培养思维的探索型，总结出探索型问题的一般求解思路和方法.

典例分析

专题研学 ● 三维整合

1.探索型问题所涉及的知识涵盖了初中阶段所有内容，解答时的重点是需要对问题中涉及的基础知识熟练灵活掌握.难点是要灵活应用基础知识，多角度的进行思考，发展思维的开放性，找到解决问题的思路与方法.如例1需要熟练掌握平行四边形的判定方法，如两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.同时,当取④⑤时可以转化为平行四边形的判定定理.而第（2）问中考查了同学们解答问题的能力,需要在掌握等腰梯形、平行四边形的区别与联系的基础上进行解答.在

例3中则考查了二次函数的增减性、最值、对称性等性质，以及对函数图象的阅读能力.都属于基础知识与基本技能的考查.

2.在解题过程中，要培养创新思维，发展创新意识，要注意条件的不确定性和结论的不确定性，从而总结解决问题策略的多样性.开放性问题不仅仅指问题的答案多于1个，而是指问题的条件和结论、以及解题方法等的不唯一性.如例3，根据题意，由所学的知识首先提出不同问题（且根据不同问题的层次得到不同的评价，即评价开放）,再对所提出的问题进行解答，这就需要同学们通过大胆猜测，探索条件、结论，寻找解决方法.

3.开放型探究题目，既可以培养同学们的创新意识和创新能力，又可以进一步培养思维的开放性和广阔性，有利于直觉思维和发散思维的发展，从而培养同学们科学的学习态度和探究精神.如例2、例3等.

●典题诠释

【例1】（2004年常州）已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥CD；②OA＝OC； ③AB＝CD；④∠BAD＝∠DCB；⑤AD∥BC.

（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）：如①与⑤ .

（2）对由以上5个条件中任意选取2个条件不能推出四边形ABCD是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明.

剖析：此题是对平行四边形的判定的考查，要求同学们要熟练掌握平行四边形的判定定理，并在熟练掌握的基础上进行判断与选择.

解答：(1)①③,①④,④⑤,①②,②⑤,①⑤；（2）取③⑤，而四边形ABCD也可能为等腰梯形.(结论不唯一，合理即可)

【例2】 （2004年锦州）某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图1，图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系.观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：

(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析式.

剖析：可以运用二次函数的增减性、对称性、最大（小）值、图象等，得出多个结论.这是对二次函数的基础知识的考查，很好的掌握二次函数的性质可以正确解答此题.

解答：(1)2月份每千克销售价是3.5元；(2)7月份每千克销售价是0.5元；(3)1月到7月的销售价逐月下降；(4)7月到12月的销售价逐月上升；(5)2月与7月的销售差价是每千克3元；(6)7月份销售价最低，1月份销售价最高； (7)6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价相同；(答案不唯一，只要是根据图象得出正确信息，并且叙述正确即可)

对于本题你是否有其他的做法？请写下来.

【例3】 （2004年江西）如图2，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB＝BC＝1，连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、 Q、R.

，

（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；

（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并解答.（根据提出问题的层次和解答过程进行评分）

剖析：此题是一道结论、评价完全开放的题目，同学们可以根据自己的实际情况提出不同的问题，使得不同程度的同学都可以正确解答，关键还是要掌握（等腰）三角形、全等三角形、相似三角形的基础知识.

解答：(1)∵△ABC≌△DCE≌△FEG， ∴BC＝CE＝EG＝BG＝1，即BG＝3.

∴FG＝AB＝.∴＝＝＝.

又∠BGF＝∠FGE，∴△BFG∽△FEG. ∵△FEG是等腰三角形，

∴△BFG是等腰三角形.∴BF＝BG＝3.

(2)A层问题（仅用一个知识点）求证:∠PCB＝∠REC或求证:PC∥RE.

B层问题（有一定思考，用2至3个知识点）如：求证： ∠BPC＝∠BFG；或求证：BP＝PR；或求证：△ABP∽△CQP；或求证：△BPC∽△BRE；或求证：△ABP∽△DQR.

C层问题〔有深刻思考，用到4个或4个以上知识点,或用到（1）中的结论〕.例如：求证：△ABP≌△ERF；或求证：PR＝RE；求证：△PCQ≌△RDQ；或求BP的长；或求AC∶PC的值.

A层问题解答举例：求证:PC∥RE. 证明：∵△ABC≌△DCE， ∴∠BGF＝∠FGE.∴PC∥RE. B层问题解答举例：求证：BP＝PR. 证明：∵∠ACB＝∠REC，

∴AC∥DE.又∵BC＝CE，∴BP＝PR. C层问题解答举例：求AC∶PC的值. 解：∵AC∥FG，∴∴AP＝

＝＝.∴PC＝.又AC＝.

－＝.∴AC∶PC＝2.