维普资讯 http://www.cqvip.com 第２４卷，第５期 ２００７年１０月 科学技术与辩证法 Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｄｉａｌｅｃｔｉｃｓ Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．５ Ｏｃｔ．，２００７ 杨武之 中国当代杰出的数学教育家 张 莉 （山西大学科学技术哲学研究中心，山西太原０３０００６） 摘要：论文论述了杨武之对中国和世界近现代数学史的贡献。作为数学家，杨武之在数论和“华林问题”上 有突出成就。作为数学教育家，杨武之发现并培养了一大批著名的数学家。文中以西南联大、杨振宁、华罗庚、陈 省身、闵嗣鹤等时期和人物为重点，进行了论述。 关键词：杨武之；数学史；数学教育家 中图分类号：Ｎ０９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３—５６８０（２００７）０５—００８９—０５ 中国古代数学史的研究成果颇丰。但中国近现代数学 史相比而言有些落后。笔者认为可以先选几个点，然后连成 线。杨武之就是一个较好的进行中国现代数学史研究的切 人点。 一近代数学最早开拓的数学研究领域之一。杨武之首先将近 代数论引人中国”（中国大百科全书（数学）“数论”条目最后 一段），是“中国数论这门学科的创始人”－１］。杨武之在美国 留学时，师从著名美国数学家迪克森（Ｌ．Ｅ．Ｄｉｃｋｓｏｎ，１８７４— 杨武之的生平及成就 １９５４），迪克森在当时美国名声很高，领导一个很大的学派。 杨武之主要从事“华林问题”的研究（Ｗａｒ＇ｉｎＮ’ｓ Ｐｒｏｂｌｅｍ），共 发表过三篇论文，他证明了任何正整数都可以表示成９个棱 锥数之和，这比当时最好的结果——每个充分大的正整数都 可表示成１２个棱锥数之和进了一大步。这个纪录，杨武之保 杨武之，原名克纯，字武之，是家中长子。生于１８９６年４ 月１４日，卒于１９７３年５月１２日。父亲是清末秀才。他育有 四子一女。长子就是著名的物理学家、诺贝尔奖获得者杨振 宁，其余四人也各有成就。 杨武之父亲杨邦盛（１８６２—１９０８），是清末秀才，常年在 外，母亲患病多年卧床。家庭环境使杨武之从小养成自强、 勤奋、关心他人的好品德。１９１４年在安徽省立第二中学毕 持了２０多年，这在当时中国的数学界是一个比较大的成就。 但是，杨武之跟随的迪克森学派正走下坡路，随着解析 数论的兴起而衰落。杨振宁认为“所以我父亲的研究工作以 后未能有大的发展。”－２ Ｊ １９３４年杨武之利用“清华大学教授 休假”一年的机会到德国柏林大学进修，力图改变研究方向， 但未成功。 业。第二年考入北京高等师范学校，１９１８年成为《数理杂志》 的编辑。杨武之１９１９年毕业于北京高师数理部（今北京师 范大学）。１９２３年公费留学美国，师从美国著名的代数数论 专家迪克森（Ｌ．Ｅ．Ｄｉｃｋｓｏｎ，１８７４—１９５４）学习，专攻数论方面 相比其在数学上的成就，杨武之作为数学教育的耕耘者 则取得了更大的成就，不仅培养了杨振宁这样的诺贝尔奖获 得者，还发现与培养了华罗庚、陈省身、许宝骤等在中国乃至 世界数字史上有重要影响的数学家。还培养了不少中国在 近代数学各分支的创始人和多位中科院院士（后文论述）。 的堆垒问题。１９２８年获芝加哥大学博士学位。成为我国在 代数与数论领域方面的第一个博士学位获得者，旋即回国， 先受聘于厦门大学数学系教授，并代理数学系主任。１９２９年 受聘于清华大学数学系教授，并担任研究生导师。杨武之在 清华大学工作一直到１９４８年，期间担任系主任或代理系主 任长达１２年，为清华大学数学系的发展做出了卓越的贡献， 并培养了一大批在国际国内影响深远的数学家和优秀人才。 正是由于杨武之的推动和辛勤培育，使中国的近现代数学与 世界的差距在某些领域有所减小。 杨武之为人正直、纯朴，有很高的道德情操，对于委屈总 能忍受，让时间证明他自己无愧于时代，无愧于国家。１９１９ 年５月４日，北京学生联络各校在天安门前举行集会和 １９４９年后受聘于同济大学、复旦大学等高校数学系教授， １９７３年病逝。杨武之在中国近现代数学史上有着重要地位。 他是中国近现代数学开拓者之一。“数论的研究，也是中国 示威，提出“外争主权、内除”的宣言口号。杨武之的同 【收稿日期】２００６—１２—３１ 【作者简介】张莉（１９７０一），女，山西汾阳人，山西大学科学技术哲学研究中心科技史专业在读博士。 ８９ 维普资讯 http://www.cqvip.com 学匡日休当晚亲手放火，即著名的“火烧赵家楼”。“五四运 动”开始后杨武之受到深刻的爱国主义教育。当时流行的一 首歌伴随了他一生。歌词是：“中国男儿，中国男儿，要将只 手撑天空，长江大河，亚洲之东，峨峨昆仑……古今多少奇丈 夫，碎首黄尘，燕然勒功，至今热血犹殷红。”他以后将这首歌 下宇称不守恒而获诺贝尔奖，给世人印象他似乎只有物理学 方面的贡献，而无数学上的贡献。其实不然，杨振宁对当代 数学的发展也有重大的贡献。特别是他提出的杨一米尔斯 （Ｙａｎｇ—Ｍｉｌｌｓ）理论和杨一巴克斯特（Ｙａｎｇ—Ｂａｘｔｅｒ）方程在 ２０世纪８０年代后成为现代数学研究的热门。“先后进入当 代数学发展的主流，引起文献爆炸，形成了少见的全球研究 热潮。”［６］ 教给他的子女，教育下一代，随时准备报效祖国。他说：“我 教书一生，清白一世，除脑力体力欠佳，不能多做研究外，我 一生无愧于祖先，无愧于后代……我也无愧于社会，无愧于 杨振宁１９５４年提出非交换规范场论，他在作研究生时， 中国人民。”＿３ Ｊ有两件典型事例可以反映杨武之宽大的胸怀 试图把规范不变性推广到有同位旋作用的情况，但不成功。 和高尚人格。 一件事是杨武之于１９２９年到１９４８年一直在清华大学 工作，并担任多年的数学系主任或代理系主任，为清华数学 系的发展倾注了一生中最宝贵的时光。１９４９年，杨武之病体 初愈，从昆明飞抵上海，准备回清华工作，却突然被清华大学 拒聘。杨振宁认为可能是一偶然事件引起。 “那是１９４８年底，人民已包围北京城，蒋介石派 一架飞机，专接北大、清华校长胡适、梅贻琦等。那时碰巧我 父亲遇到梅校长，梅说机上尚有一空位，问愿不愿随机走，那 时父亲孑身一人在北京（母亲、弟妹等均在昆明），即应允搭 机去了南京。以后他转民航机去昆明，并接家眷先回上海， 待命回北京。”ｌ４ 杨武之可能因这件事遭清华校方拒聘，虽然对他打击很 大，但他说：“我虽然不能回清华，但我继续在同济大学和复 旦大学教书。……我总认为我的教学方法不比苏联差。”ｌ５］ 表现了一个中国知识分子的宽大胸怀和高尚情操。 另一件事，是在１９６４年，此时，杨振宁已加入美国籍。 是年１２月，杨武之夫妇到与杨振宁相见，美国驻总 领事不止一次打电话给杨振宁，说如果双亲要赴美国，可以 马上办理手续。杨武之很坚定地告诉儿子要回上海，并于 １９６５初返回上海。表明了他深厚的爱国情怀和忠于祖国的 高尚人格。 杨武之有四子一女，按杨家各房议定的家谱“家、邦、克、 振”排行，这一辈的孩子该为“振”字辈：杨振宁，杨振平，杨振 汉，杨振玉，杨振复。他们都深受父亲的影响，各自成为学有 成就的著名学者或企业家。他们对杨武之有深深的敬佩和 怀念之情。杨振玉女士在纪念杨武之诞辰一百零一年周年 纪念会上回忆道：“父亲成长与工作的年代正是中国社会动 荡变革的时代。他经历的满清、辛亥、军阀混战、抗 日战争和战争的年代。尽管客观环境骤变，父亲对祖 国、对事业、对亲友的态度却是始终一致的……我相信他的 品格将影响着人们，因为像父亲一辈的知识分子、教授、科学 家的价值标准是有着永恒的意义的”。 二杨武之对杨振宁的引导 杨武之对中国数学史的贡献，不仅在于他自身是中国第 一个数沦方面的博士和重要的学术成就，更在于他作为数学 教育家培养出来的优秀人才，同时也体现在这些优秀人才对 中国数学和对中国科学所做的贡献上，杨振宁就是其中杰出 的一位。 杨振宁作为物理学家因和李政道一起提出弱相互作用 ９０ １９５４年受米尔斯启发，在公式一端加上一个２×２的矩阵，从 而克服了困难。“杨一米尔斯方程”就诞生了。此方程最早 出于两个人合写的论文《同位旋守恒和同位旋规范不变性》 （Ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ Ｉｓｏｔｏｐｉｃ ＳＦＩｉｎ ａｎｄ Ｉｏｓｔｏｐｉｃ Ｇａｕｇｅ Ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ）， 发表于１９５４年的美国《物理评论｝９６卷第１期。［ ］杨振宁提 出的规范场理论与现代微分几何有密切的关系，规范场理论 与作为微分几何重要基础的纤维丛理论有着密切的联系。 规范场理论也因此成为上个世纪８０年代数学界研究的主流 之一。杨振宁提出这个数学方程对当代数学的作用可用如 下一段话说明： “杨一米尔斯方程的自对偶解具有像柯西一黎曼方程的 解那样的基本重要性，它对代数、几何拓扑，分析都将是重要 的……在任何情况下，杨一米尔斯理论，都是现代理论物理 学和核心数学的所有子学科间紧密联系的漂亮的原则，杨一 米尔斯理论乃是吸引未来越来越多数学家的一门年轻的学 科。”［８］ 杨振宁对现代数学的第二个贡献是提出杨一巴克斯特 方程。这个方程最初来源于杨振宁在２０世纪６０年代的统 计力学工作，他得出如下方程： Ａ（ｕ）Ｂ（ｕ＋ｖ）Ａ（ｖ）＝Ｂ（ｖ）Ａ（ｕ＋ｖ）Ｂ（ｕ） 在上个世纪７０年代，巴克斯特得出同样的方程。称为 “杨一巴克斯特方程”。这个方程提出了非常基本的数学结 构，可以衍生出其他许多数学分支。 １９９０年的世界数学家大会，菲尔兹奖授予４位数学家： 德林菲尔德（ＤｒｉｎＦｅｌｄ）、琼斯（ｖ．Ｊｏｎｅｓ）、森重文（ｓ．Ｍｏｒｉ）、威 滕（Ｅ．Ｗｉｔｔｅｎ）。这其中三人德林菲尔德、琼斯、威滕的工作 与研究“杨一巴克斯特方程”有关，可见，杨振宁提出的数学 理论对数学发展的重大影响。 杨振宁对现代数学的贡献，与其父亲杨武之有着密切关 系。杨振宁小时候数学能力就很强，有很好的数学天赋。杨 武之的书架上有许多英文和德文的数学书籍，杨振宁经常翻 看，看不懂时，杨武之总是说“慢慢来，不要着急”，并解释一 两个基本概念。杨振宁稍大一些后，杨武之又介绍了近代数 学的精神。１９４１年，杨振宁写学士论文，杨武之指导杨振宁 看了狄克逊写的一本小书《近代代数理论》，使杨振宁了解到 群论的美妙之处，对杨振宁后来的工作有决定性影响。１９４７ 年杨振宁在美国发的第一篇文章和博士论文都与群论有密 切关系，甚至让其获得诺贝尔奖的宇称不守恒理论也与群论 有关。［９］ 杨武之不仅给予杨振宁数学才能的天赋和良好数学基 维普资讯 http://www.cqvip.com 础教育，更给杨振宁中国传统思想文化，特别是儒家文化的 熏陶和爱国主义的培养。在杨振宁小时候，杨武之并不是急 于对其传授数理化，而是学习中国传统文化，如诗词、《孟子》 除了数学系主任外，杨武之还担任其他行政职务。１９３８ 年他担任联大校务委员会委员和联大招考委员会委员；１９３９ 年担任学生入学资格审查委员会委员；１９４２年担任抗战期中 等。杨武之在上个世纪５０年代去日内瓦与杨振宁团聚时， 总是向他们讲解中国的许多新鲜事物，还给他们提了两句诗 “每饭勿忘亲爱永，有生应感国恩宏”。＿１ｏ＿ 杨振宁虽然后加入美国籍，可一直念念不忘自己是个中 国人。晚年回国定居清华更多的原因恐怕还是儒家文化的 感召力所致。杨振宁说：“我的身体里循环着的是父亲的血 液，是中华文化的血液。”ｌｕ Ｊ 清华教授评议员等。不过教学工作是他最主要的事，他一直 担任着高等代数、微积分、数论、初等微积分、方程式论等教 学工作。杨振玉后来回忆说：“父亲为联大数学系的教学和 各种系务操劳，年过四十已是头发斑白。”＿１ Ｊ 杨武之为了教好书，自己不断学习。西南联大图书馆的 图书他亲手借阅过很多。在现存云南师范大学图书馆的藏 书中，其中杨武之曾经签名借阅过的有：１，Ｏｓｇｏｏｄ，Ｗ・Ｆ・著： 三西南联大时期的杨武之 现在人们对西南联大已比较陌生，许多人只知道云南师 范大学的前身是西南联大，而对于西南联大却知之甚少，杨 武之在西南联大的史实也是我们研究的重要内容。１９３７年， 日本全面侵华，当时教育部决定将清华大学、北京大 学和天津的南开大学三校合并，迁往长沙组成临时大学。年 底再次迁移昆明。１９３８年，教师、学生分成两批，分别前往昆 明，形成了特殊年代下著名的西南联合大学。西南联合大学 于１９４６年解散。杨武之在西南联大工作了八年。 国立西南联合大学是由清华大学、北京大学和南开大学 三校合并组成，无论在科学史还是教育史上都有重要的价值 和地位。从１９３８年底，日机开始越来越频繁地轰炸昆明， １９４０年，一颗落在杨武之家的院子里爆炸，幸亏人及时 躲进了防空洞，才保住了性命。华罗庚也在１９４１年的轰炸 中险些被活埋，家也被炸毁，后住进闻一多家，华罗庚写道 “挂布分屋共容膝，岂止两家共坎坷，布东考古布西算，专业 不同心同仇”。【ｌ２Ｊ 尽管在这样恶劣的环境下，杨武之怀着忧国忧民的历史 责任感，严谨的治学态度，活泼的教学方法，培养了很多日后 享誉中外的数学人才。杨武之在１９３７年长沙临时大学成立 时江泽涵未到之前，代理数学系主任之职。１９３９年，江泽涵 辞去了西南联大数学系职务后，杨武之正式担任西南联大数 学系主任职务。杨武之中间因病辞职一年外，一直担任西南 联大数学系主任的职务。下图为１９３９年９月１４日梅贻琦 与沈履签署并于１６日颁发的聘请杨武之为清华数学系主任 聘书的影印件。１９４３年，西南联大再次聘请杨武之，“兹经二 八一次常务委员会决议：聘请杨武之先生为本大学理学院数 学系主任暨师范学院数学系主任”ｌ１３］。 Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔＯ ｔｈｅ ｃａｌｅｕｌＬ１Ｓ（《微积分入门》）；２，Ｏｓｇｏｏｄ，Ｗ・Ｆ・ 著：Ａｄｖａｎｃｅｄ ｃａｌｃｕｌｕｓ（（高等微积分》）；３，Ｇｉｂｂｓ，Ｊ・ｗ・著：Ｖｅｃ— ｏｔｔ ａｎａｌｙｓｉｓ——ａＴｅｘｔ——ｂｏｏｋｆｏｒｔｈｅＵＳｅｏｆ ｓｔｕｄｅｎｔｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔ— ｉｃｓ ａｎｄ ｐｈｙｓｉｃｓ（《向量分析》一本适合于数学和物理的学生用 书）；４，Ｓｎｙｄｅｒ，Ｖ・ａｎｄ Ｓｉｓａｍ，Ｃ・Ｈ・著：Ａｎａｌｙｔｉｃ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｏｆ Ｓｐａｃｅ／ｃｏｐｌ一２（《空间解析几何》第１—２册）；５，Ｏｓｂｏｒｎｅ，Ｇ・Ａ ・著：Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ ａｎｄ Ｉｎｔｅｇｒｌａ ｃａｌｃｕｌｕｓ（（微积分》）；６，Ｈａｒｄｉｎｇ， Ａ・Ｍ・ａｎｄ Ｍｕｌｌｉｎｓ，Ｇ・Ｗ・著：ｎＡ—Ａｌｔｙｉｅ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ（《解析几 何》）；７，Ｒｏｂｅｒｔｓ，Ｍ・Ｍ・ａｎｄ Ｃｏｌｐｉｔｔｓ，Ｊ・Ｔ・著：Ａｎａｌｔｙｉｓ Ｃｒｅｏｍｅ— ｔｒｙ（｛解析几何》）等等。这些书现藏于云南师范大学图书馆 “国立西南联合大学图书特藏室”。ｌ Ｊ 联大当时经费奇缺，研究条件极差，图书馆的图书也非 常有限，１９４１年杨武之为了改善联大数学系的研究条件，提 高教学质量，向校长提出图书改善计划，其主要内容为： “（一）作算学研究全赖书籍和期刊，后者尤为重要，一日不可 缺少。而吾校现存之算学期刊，概皆至１９２０年为止，且有若 干种重要者则全套沦陷于北平，于研究极感不便。（去年曾 因参考之需由浙大抄录若干篇，既耗金钱，又费时日。）拟仅 先将美英两国之著名算学期刊约八种，至少自１９３０年起，补 充至现在。若能补至与现有者相衔接则更善。（二）算学研 究部现有研究员三人，由华罗庚、陈省身两先生分任指导。 华、陈两位年来于研究工作极勤，又复担任教课与指导研究， 每有搜集材料长篇抄录、论文校对等事殊需人帮助。拟请添 一研究助教（教员待遇）以利进行。是否有当，敬俟均 裁。”ｌ１６］总之，杨武之在联大对教育事业的奉献，对近代中国 教育事业的发展起了重要作用。 四 杨武之促成华罗庚的三次破格提升 华罗庚是自学成才的大数学家，在解析数论、代数学、多 复变函数论、数值分析等领域作出了许多重大贡献，提出了 很多以他名字命名的定理与方法。他的被发现与成长有多 方面的因素，但杨武之无疑起了重要作用。华的三次破格提 升都与杨武之分不开。 杨武之十分爱惜人才，也善于发现人才。华罗庚只有初 中学历，但勤奋好学，尽量通过论文来反映自己的数学才能。 １９２９年１２月，《科学》第１４卷第７期发表了他的论文｛ｓｔｕｒｍ 氏定理之研究》，１９３０年１２月《科学》第１５卷第２期又发表 了他的另一篇论文《苏家驹之代数的五次方程解法不能成立 之理由》。这两篇论文尤其第二篇文章引起了杨武之的注 意。打听之后，华罗庚是清华教员唐培经的同乡，而且是自 ９】 维普资讯 http://www.cqvip.com 学成才。杨武之惜才之心油然而生。他极力向系主任熊庆 陈省身１９２６年进入南开大学，１９３０年考取清华大学数 学系研究生，同时录取的还有吴大任，但吴大任家庭生活困 来推荐，清华决定破格请华罗庚来清华工作。这是华罗庚的 第一次破格提升。 华罗庚１９３１年到清华后，工作勤奋，学习刻苦，三年后 就开始发表论文。最初发表论文情况如下表： 时间 发表论文总数 论文内容 难，为缓解困境，他申请暂缓一年入学。由于只有陈省身一 人，不便开班，清华算学系（后改称数学系）把陈省身聘为助 教。陈省身教两个班的“高级算学”，内容是解析几何。虽然 大部分学生都比他大（时年陈省身１９岁），但师生相处融洽。 分析 １ 数论 １９３４ ８ ５ 代数 ２ 陈省身的导师是孙光远，但他也听杨武之的课。１９３４年 上半年，孙光远调到南京的大学，系主任熊庆来到法国 １９３５ ７ ５ ２ ０ 进修，杨武之就代理数学系主任。杨武之协助陈省身办妥了 １９３６ ６ ４ ０ ２ （材料来源：余郁杨武之与华罗庚） 从表中可以看出，最初几年发表的论文中数论占了２／３， 而且是沿着迪克森和杨武之的工作进行，包括对“华林问题” 的研究。可见杨武之对华罗庚早期学术发展有重要影响。 １９３２年杨武之代理清华数学系主任，同意郑桐荪教授的 提议，将华罗庚从行政系列助理提升为教学系列的助教。这 是在杨武之帮助下华罗庚得到的第二次破格提升。１９３６年 夏，又在杨武之等人的支持下，华罗庚得到中华文化教育基 金会的资助，到英国剑桥大学留学。因他无力交足费用，不 能成为正式注册的研究生，最终两年留学生活结束后未能拿 到任何学位。但是这两年华罗庚学术成就突飞猛进，发表了 大量高水平的学术论文。 １９３８年秋天，华罗庚学成回国，回到当时的西南联大。 如何聘用他，又成为争论的焦点。杨武之亲力亲为，大力推 荐。他拿出华罗庚已发表的几十篇论文，得到理学院院长吴 有训的支持，然后以数学系主任的身份在教授聘任委员会上 大力争取，说明情况，最后全体通过华罗庚为教授。这是华 罗庚在杨武之的帮助下人生中第三次大幅度的破格。而就 在这一年的夏天，华罗庚的夫人吴筱元带着子女和亲属６人 逃难到昆明。杨武之虽从未见过，但马上帮助找房子、买家 具，安顿全家，为华罗庚解决了后顾之忧。 正是在杨武之的发现、培养、支持和赞助下，华罗庚才从 一个自学成才的农村青年很快跃升到世界级的著名数学家。 杨武之的爱才、惜才、荐才的精神可见一斑。华罗庚对杨武 之也是无限感激。１９３４年，杨武之至德国柏林大学进修一 年，华罗庚给杨武之信中深情写到：“古人云生我者父母，知 我者鲍叔，我之鲍叔乃杨师也。”［”］ １９５７年，华罗庚的名著《数论导引》出版之后，他赠送杨 武之一本，并在书本扉页恭敬的写道：“武之吾师，罗庚敬 赠。”１９６４年，华罗庚特地到上海拜见杨武之，并宴请他。 五杨武之与陈省身的师生情 陈省身是现代微分几何的奠基人，是世界一流的大数学 家。１９４４年他用内蕴方法证明了广义高斯一博内（ＧａｕＳｓ— Ｂｏｎｎ￣）公式，继而发表了陈示性类的理论，对微分几何的发 展做出了重大贡献，并对近代物理理论产生了重要影响。杨 武之是陈省身的老师，二人交往甚厚。“四年内同杨先生（杨 武之）有多次谈话，天南地北，得益甚大”【１８］。 陈省身评价杨武之时说道：“武之先生为人正直，深受同 事和同学的爱戴。他显然是一个数学家的榜样。”＿１９Ｊ ９２ 毕业和学位授予等手续。陈省身成了我国自己培养出来的 第一个数学专业研究生。杨武之在与陈省身的师生交往中 发现他是个难得的人才，就以代理系主任的身份为陈省身争 取到清华公费留学两年的机会。但是按当时规定清华公费 留学是要去美国的，而陈省身希望去德国跟随ｗ．布拉希克 （Ｗ．Ｂｌａｓｃｈｋｅ，１８８５—１９６２）学习。杨武之支持他的想法，便 亲自帮助他办理改派和出国手续。陈省身回忆这段经历时 充满深情地说：“我去德国的想法得到杨先生的积极支持，我 第一次出国没有经验，在申请改派和办理出国手续中，杨先 生帮了很多忙，他是我那时在学校最可靠的朋友。去德国汉 堡读博士的决策，对我后来的学术发展影响很大，是一个明 智的选择。”［２０Ｊ 杨武之对陈省身不仅在学业上有很大帮助，还促成了陈 省身与郑士宁（郑桐荪教授的女儿）的婚姻，使他们组成幸福 的家庭。陈省身认为幸福的家庭“成为我在数学研究中取得 成就的重要保障。”［２１］杨武之与陈省身虽然是师生，分属两 代人，但却有非常好的友谊。１９６２年，杨武之和夫人到日内 瓦看望杨振宁，陈省身专程从美国到日内瓦去看望恩师。杨 武之对陈省身取得的成就非常高兴，由衷赞誉，并为其题诗 一首： 冲破乌烟阔壮游，果然捷足占鳌头。 昔贤今圣还多让，独步遥登百丈楼。 汉堡巴黎访大师，艺林学海植深基。 蒲城身手传高奇，畴史新添一健儿。［２２］ 六杨武之对中国数学人才的培养 杨武之作为一个数学家，在数论方面尤其是“华林问题” 上取得重要成就。同时作为一个杰出的数学教育家，则发现 并培养出了一大批优秀的数学家。除了前已叙及的杨振宁、 华罗庚、陈省身等人外，还发现与培养了许宝骤、闵嗣鹤、柯 召、段学复、庄圻泰、施祥林、徐贤修、钟开莱、徐利治、陈国 才、万哲先等等数学家，其中很多成了中科院院士，在各自的 领域里作出了重要的贡献。本文择其一二论述。 闵嗣鹤（１９１３—１９７３），在解析数论和黎曼函数上有突出 贡献。他原是杨武之在北京师范大学作兼职教授时教过的 学生。闵嗣鹤对当时数论发展的一个新方向：解析数论很感 兴趣，并写出这方面的论文。杨武之敏锐地发现他是个很有 潜力的人才。１９３７年，杨武之接替熊庆来担任清华大学算学 系主任，将闵嗣鹤从北师大附中调到清华当助教。并安排他 跟学成回国的陈省身学习几何，跟华罗庚学习解析数论。闵 嗣鹤进步很快，不久就写出了几篇重要的论文，杨武之鼓励 维普资讯 http://www.cqvip.com
他报考公费留学。１９４５年，闵嗣鹤考取公费留学，到英国牛 津大学学习解析数论。１９４８年取得博士学位后回清华任教， 取得很大成绩。 柯召是我国数论和组合论方面的著名数学家。他的成 长成才与杨武之也有密切的关系。杨武之１９２８年至１９２９ 年在厦门大学任教时，柯召是他教过的学生，发现柯召很有 哲先回忆杨老师讲课的一个突出的特点是不断提问，启发思 维。１９４８年秋，杨武之从昆明来到北京清华大学任教，万哲 先当时是初等数论课的助教，和选课同学一起听他的课。 １９５３年，万哲先从北京出差去上海，专程看望杨武之。万哲 先回忆道“他还鼓励我，努力做研究，要像开矿那样，不断拓 展，要越开越深，越开越大。”＿２５－ 除此之外，杨武之还发现与培养了一大批的优秀数学 家，为中国当代数学的发展做出了重要贡献。杨武之因其在 数论和“华林问题”的贡献，尤其是在培育杰出的数学家方面 的贡献，而在中国和世界近现代数学史上有着重要地位。 数学潜能，大有发展前途，就推荐他于１９３１年转学到清华。 他受到杨武之的教导对数论产生浓厚兴趣。杨武之因材施 教，根据柯召的兴趣和自身素质建议他到英国留学。１９３５年 柯召考取中英庚款赴英留学，到曼彻斯特大学跟随莫尔达 （Ｍｏｒｄｄ１）学习数论。柯召拜见莫尔达时，以杨武之教过的一 些数论书籍和指导的毕业论文答服莫尔达的提问，莫尔达很 满意，当即决定接受他作博士生，并亲自带柯召办理入学手 续。两个月后，柯召完成一篇论文，莫尔达教授即说可获得 博士学位，但要等两年期满，才能授予。柯召的迅速成长与 杨武之的辛勤培育是分不开的。柯召在《忆武之师》的纪念 文章中写道：“凡此种种，与武之师的培育密不可分。”【ｚ３］ 段学复是中国科学院资深院士，著名的数学家和数学家 教育家。他也是杨武之的学生。段学复１９３２年在北京师范 【参考文献】 ［１］王元．杨武之先生与中国数论，清华大学应用数学系编， 杨武之先生纪念文集［Ｃ］．北京：清华大学出版社，１９９７． １１７． ［２］［４］张奠宙．杨振宁教授谈中国现代科学史研究［Ｊ］．科 学，１９９１（２）：８５，８６． ［３］［５］［１４］［１７］徐胜蓝，孟东明．杨振宁传［Ｍ］．上海：复旦 大学出版社，１９９７．２６８—２６９，２６８—２６９，２８４，１３． ［６］［７］［８］张奠宙．中国现代数学史略［Ｍ］．南宁：广西教育 出版社，１９９３．２３３，２３５，２４４． 大学附中毕业，同年考入清华大学。当时他的身体比较瘦 弱，希望一年级少学点课程，必修的物理放在二年级再学。 杨武之根据他的实际情况，重新给他安排了教学计划。杨武 之因材施教，有一次布置了二十道高次方程的题目，段学复 只做了十道，认为已经掌握，没做其他十道。杨武之也允许 他过了。段学复回忆杨武之时深情地说：“杨先生讲课非常 ［９］杨振宁．忆海拾珍．２００３（９）：１７． ［１０］［１１］杨振宁．父亲和我［Ｊ］．纵横，１９９８（９）：２８，２９． ［１２］中国民主同盟委员会宣传部．华罗庚诗文选［Ｍ］． 中国文史出版社，１９８６． 仔细而清晰。每堂讲新内容前先要复述已讲过的有关内容。 讲课中不时提问，虽然所提问题不难，但要求答者概念十分 清楚，促使我们听课时不能走神。”［ＨＩ 万哲先出生于山东淄川。１９４８年毕业于清华大学数学 ［１３］北京大学、清华大学、南开大学、云南师范大学．国立西 南联合大学史料（四）［ｚ］．昆明：云南教育出版社，１９９８． ４３． ［１５］杨德华，沈乾芳．杨武之与西南联大［Ｊ］．云南民族大学 学报（哲社版），２００６（１）：１２８． ［１６］云南师范大学校史编写组．云南师范大学校史稿（１９３８ —系。５０年代和８０年代初解决了典型群的结构和自同构方面 一系列难题。１９５８年对解决运输问题的图上作业法给出理 论证明并进行了推广应用。６０年代中和９０年代初运用华罗 庚开创的中国典型群学派的矩阵方法研究有限域上典型群 的几何学，获得了系统的重要成果，并利用它构造了一些结 合方案、ＰＢＩＢ设计和认证码并研究了有限域上型表型问题， 典型群的子空间轨道生成的格等。９０年代运用代数方法研 究卷积码，澄清了一系列疑问。１９９１年当选为中国科学院院 士（学部委员）。 １９４９年）［ｚ］．昆明：云南教育出版社，１９８８．５４９． ［１８］陈省身．怀念杨武之先生，回忆清华的生活［Ａ］．清华大 学应用数学系编．杨武之先生纪念文集［Ｃ］．北京：清华 大学出版社，１９９７．９９． ［１９］［２０］［２１］［２３］清华大学应用数学系编．杨武之先生纪念 文集［Ｃ］．北京：清华大学出版社，１９９７．１０１，１７９，２３０， １１０． 杨武之对万哲先启发很大，１９４３—１９４４年万哲先在昆明 ［２２］陈省身．我与杨家两代的姻缘［Ａ］．张奠宙，王善平主编． 陈省身文集［Ｃ］．上海：华东师范大学出版社。２００２．７９． ［２４］丁石孙，袁向东，张祖贵．数学实践与认识［Ｍ］．１９９４． ５９． 联大附中读中学六年级。为了加强教学，聘请了好几位著名 的专家包括西南联大数学系主任杨武之教授。万哲先回忆 杨武之上课很生动，第一次课关于数的起源和发展的开场白 用了很长时间，接着自然地把讲课从数轴引到解析几何。万 ［２５］万哲先．数学通报，１９９８（１０）：４７． （责任编辑魏屹东） ９３
