谈联想思维在数学解题教学中的应用
[摘要] 摘要] 联想是一种心理现象，数学学习中的联想往往是由数学] 联想是一种心理现象，数学学习中的联想往往是由数学问题的知识特征而引发的，在数学解题中，如果能根据题目里的数学特征进行联想往往会收到很好的效果。 学特征进行联想往往会收到很好的效果。
[关键词] 关键词] 联想；定义；定理；公式；数形结合] 联想；定义；定理；公式；数形结合 联想；定义；定理；公式；数形结合
联想是一种心理现象，是由一个事物想到另一个事物的心理过程，在数学教学中具有承前启后的作用，是问题转化的桥梁。解数学题时，由此及彼的联想能力，正是思维活动的结果。因此在解题教学中，引导学生合理的运用联想，对于拓展学生的思维，开发智力有着重要的作用。 力有着重要的作用。
解题联想的一般过程是：解题前，根据题意充分注意命题的结构、条件与结论的特征，然后联想有关定义、定理、公式及常用的解题方法和技巧去解题。 解题方法和技巧去解题。 一、 一、 联想??联想??—相关定义??—相关定义 —相关定义
在解题中，发现一些学生能够自觉地根据已知条件，联想相应的公式﹑法则，却往往忽视对数学定义的应用，以至不能迅速获解，出现了舍近求远的现象。 出现了舍近求远的现象。 例1 判断给定曲线1 判断给定曲线 判断给定曲线 的类型。 的类型。
分析：若直接将方程两边平方化简，整理成标准方程后，再判断是何种曲线会非常麻烦，计算量较大，若能联想到圆锥曲线第二定义来判定则很简捷。 定义来判定则很简捷。
略解：设曲线上任意一点p（x，y），则 ，则
故曲线为双曲线。 故曲线为双曲线。 二 联想??联想??—相关定理??—相关定理 —相关定理
一些题目，往往和某些定理在结构上相似（或经过变形相似），只要认真观察，稍作联想，将问题的缺口打开，问题便迎刃而解。 只要认真观察，稍作联想，将问题的缺口打开，问题便迎刃而解。 例2 求sin220°sin220°+cos250°+cos250°+sin20°+sin20°cos50°的值cos50°的值 °的值 解：将式子变形= sin220解：将式子变形= sin220°= sin220°+sin240°+sin240°+sin20°+sin20°sin40°sin40° = sin220°= sin220°+sin240°+sin240°-2sin20°-2sin20°sin40°sin40°cos120°cos120° 由此结构式联想到余弦定理，作δabc使得b=sin40°，∠b=sin40°，∠a=20°，∠a=20°，∠c=120°，∠c=120°，则∠c=120°，则∠b=40°，则∠b=40°，b=40°，a=sin20°，a=sin20°，a=sin20°，c=sin120°，c=sin120°c=sin120° ∴原式=a2+b2-2abcosc=c2=sin2120∴原式=a2+b2-2abcosc=c2=sin2120°=a2+b2-2abcosc=c2=sin2120°= 三 联想-联想-相关公式-相关公式 相关公式
公式是解题中不可缺少的工具，灵活地联想公式的条件、特征，可简化解题过程，有独僻蹊径的效果。 可简化解题过程，有独僻蹊径的效果。
例3.已知3.已知 0已知 0分析：对于此题很多学生感到证明难的原因在于他们的思维仅限于不等式的性质及证明方法的小圈子里，缺乏丰富的联想意识。若认真观察发现目标式左边四项的共同点是形如式子 联想意识。若认真观察发现目标式左边四项的共同点是形如式子 ，联想公式|x+yi|= ，利用|z1|+|z2|+|z3|+|z4|联想公式|x+yi|= （|x+yi|= （x，y∈r），利用|z1|+|z2|+|z3|+|z4|≥|z1|+|z2|+|z3|+|z4|≥|z1+z2+z3+z4|即可证。|z1+z2+z3+z4|即可证。 即可证。 四、联想—三角代换 四、联想—三角代换
联想到一些三角知识，用代换法去解题有时非常容易。多做这种训练有利于学生思维灵活性的培养和提高，当然这需要有扎实的基本功。 基本功。
例4 若n，p，q均为正实数，且m2+n2=1，p2+q2=1，则mp+nq4 若m，m2+n2=1，p2+q2=1，≤1.
解此题若能及时联想到sin2α+cos2α=1，=1，sin2β+cos2β=1，=1，从而令sinα=mcosα=n，=n，sinβ=p，=p，cosβ=q，则有=q，则有sin2α+cos2α=1，=1，sin2β+cos2β=1，则=1，则mp+nq=sinαcosβ+cosαsinβ，所以mp+nq=sin（，而sin（mp+nq=sin（α+β）sin（α+β）≤1）≤1，因此mp+nq≤mp+nq≤1，问题得证。 得证。
五、联想—数形结合 五、联想—数形结合
数形结合是一种极高数学特点的信息转换方法，也是一种重要的数学思想。在解题中，巧妙地将数与形有机地结合起来，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。 繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。 例5.求5.求 = + 的最小值 = + 的最小值 y c 的最小值 y c
分析：如果运用代数方法，此题显得即繁又难，若将原式稍做变形 b 变形 b = +
便可联想到两点间距离公式，进而联想到求y的最 0 a x 的最 0 a x 小值 0 a x 小值就是求动点a（x，0）到两定点b（1，1），c（3，2） 距离之和的最小值，（如图），动点a在x轴上 轴上
移动。通过直观图形，使问题变得简捷易懂，真可谓以奇制胜。 由此可见在解题教学中，联想思维的应用使得解题方法变得巧妙﹑新颖、简捷﹑独特，不仅能加深学生对知识的理解，还有利于激发学生的学习兴趣，培养思维的灵活性，真可谓一举多得。 激发学生的学习兴趣，培养思维的灵活性，真可谓一举多得。
参考文献： 参考文献： [1] 朱道元等编著[1] 朱道元等编著.朱道元等编著.数学建模案例精选[m]数学建模案例精选[m]科学出版社[m]科学出版社 科学出版社 [2] 吴长兴[2] 吴长兴.吴长兴.数学教学中非智力因素的培养[j]数学教学中非智力因素的培养[j]中学数学研究[j]中学数学研究 中学数学研究 [3] 彭建平[3] 彭建平中学数学学习方法指导探索[m]中学数学学习方法指导探索[m]中学数学研究[m]中学数学研究 中学数学研究
