2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)

题 适用专业：应化 考试日期：年 月 5.设为曲面xyR(R0)上的0z1部分，则e222x2y2sin(x2y2)dS

＝（ D ）.

：答 号 学 准 ： 名不 姓 内 ： 级 班线 业 专 订 ： 系装院 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分

一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)

1.设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间[1,1]的定义为 f(x)2,1x0线x2,0x1，

则f(x)的傅里叶级数在x2收敛于 1 ． 2.设zxy，则z1x=yxy ; zy=xylnx 3.改变积分顺序 1dyy00f(x,y)dx= 1dx10x2f(x,y)dy .

n 4.将函数sinx x展开成x的幂级数为 1x2nn02n1

5.设L为圆周x2y24，则 Lx2y2ds 8 .

二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)

订 1.设D为圆域: x2y24,曲面D1是D在第一象限中的部分.则有( D ). (A) xd4xd (B) Dyd4yd

D 1DD1 (C) xyd4xyd (D) x2y2d4x2y2d.

DD1DD1  2.lim nun0是级数

un发散的（ A ）

n1 (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 3.设为曲面z3 x2y21则下面积分中不为0的是( D ) (A) xyzdydz (B)xyzdxdy (C) xyzdzdx (D)zdS

 装4.设y1,y2,y3是常系数线性非齐次方程aybycyf(x)的三个线性无关的

解，则aybycy0的通解为( C ).

(A)c 1y1c2y2 (B)c1y2c2y3 (C) c1y1c2y2c1c2y3 (D) c1y1c2y2c3y3

第 1 页 共2页 (A) 0 (B)ReRsinR2 (C) 4R (D)2ReRsinR2 三、

解下列各题。(共5小题，每小题7分，共35分)

1、设zu2lnv，而uxy,vxy求zx,zy。

zuzvu2x2解： zxuxvx2ulnvvy2xylnxyyx（4分） zuu2xy2 zzvyuyvy2ulnvvx2xylnxyy（3分） 2、计算I1sin2(xy)dxdy，其中D:0x,0yD22

解：令 D(x,y)0x2,0y12x，

D(x,y)0x2,2xy22 ， 则

Icos(xy)dxdycos(xy)dxdy

D1D2=

20dx2x0cos(xy)dy20dx2cos(xy)dy

2x=

220(1sinx)dx0(cosx1)dx=xcosx02sinxx02=2

3、 证明曲线积分1,120,02xcosyysinxdx2ycosxx2sinydy在整个平面

内与路径无关，并计算积分值

解：原式1,120,0cosydx2y2dcosxcosxdyx2dcosy

1,10,0dy2cosxdx2cosy

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1,10,0dy2cosxx2cosy

y2cosxx2cosy1,10,0（4分）

2cos1

证明：P2xcosyy2sinx,Q2ycosxx2siny

Py2xsiny2ysinxQx（3分） 4、 计算二重积分xy2dxdy，其中D：0x1，0yx2。 D解：xy2dxdyx22D10xdx0ydy（3分）

11x7130dx（2分）24（2分）

5、计算I(xyz)2dxdydz.

x2y2z2R2Ix2y(xyz)2dxdydz2z2R2x2y2z22(xyyzxz)dxdydz解：

x2y2z2R2(x2y2z2)dxdydz

x2y2z2R2d2dRr4sin4R5000dr5四. (12分) 求解微分方程y2yexx．

yCe2xe2x(exx)e2xdx

Ce2xex11

2x4 五. (11分) 计算曲面积分yzdydzzxdzdxxydxdy,其

中为有向曲面z2x2y20zh的上侧.

解：用1记曲面zh的下侧, 为和1所围成的空间区域

第 2 页 共2页 由高斯公式，

zdydzzxdzdxxydxdy

y1 PxQyRzdv0（4分）

 即yzdydzzxdzdxxydxdy

yzdydzzxdzdxxydxdy0

1 所以

yzdydzzxdzdxxydxdy

yzdydzzxdzdxxydxdy（3分）

1

xydxdy其余两个由于投影面积为零所以积分为零

1

xdxdyydxdy

11

ydxdy0（二重积分对称性）（4分）

x2xdxdyy2h2x2y2h2六. (12分) 求过点2,1,13的平面，使它与三个坐标面在第一象限内

所围成的立体体积最小。

解：设平面方程为截距式：xyzabc1，a,b,c0

由条件知

2a1b13c1（2分） 本题是求函数V12116abc在条件ab3c1下的条件极值问题，

设Fa,b,c,16abc2a1b13c1 (4分) 第 2 页 共2页

Fa16bc2a20F1ac0a6则由b6b2b3 (4分)

Fc1ab20c163cF2a1b13c10这是唯一驻点，故平面方程为x6y3z1 (2分)

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