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第八节 函数与方程
[考纲传真] (教师用书独具)结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．
(对应学生用书第27页)
[基础知识填充]
1．函数的零点
(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点． (2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
(4)二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点所似值的方法叫作二分法．
2．二次函数y＝ax＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系
Δ＝b－4ac 二次函数y＝ax＋222
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 bx＋c (a＞0)的图像 与x轴的交点 零点个数 (x1,0)，(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0 [知识拓展] 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )
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(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (5)二次函数y＝ax＋bx＋c在b－4ac＜0时没有零点．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2
2．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是( )
2
2
xA．(1,2) B．(2,3) D．(4，＋∞)
1C．，1和(3,4) e
2
B [易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜
30.故选B．]
3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cos x C．y＝ln x
B．y＝sin x D．y＝x＋1
2
2
A [由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数，y＝x＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cos x是偶函数又有零点．]
4．(教材改编)函数f(x)＝e＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3 1
B [∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，
e∴f(x)在(－1,0)内有零点，
又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．]
5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
x1，1 [∵函数f(x)的图像为直线，
3
由题意可得f(－1)·f(1)＜0， 1
∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，
3
1∴实数a的取值范围是，1.] 3
(对应学生用书第28页)
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x－2
判断函数零点所在区间 1 (1)已知函数f(x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是( ) 2
A．(0,1) C．(2,3)
B．(1,2) D．(3,4)
(2)(2018·北京东城区综合练习(二))已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在
k，k＋1(k∈Z)内，那么k＝________. 22
1(1)C (2)5 [(1)∵f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上是增函数，
21又f(1)＝ln 1－＝ln 1－2＜0， 21f(2)＝ln 2－＜0， 21f(3)＝ln 3－＞0， 2
∴x0∈(2,3)，故选C．
15(2)∵f′(x)＝＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且fx255＝ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零点在，3内，则整数k＝5.]
22[规律方法] 判断函数零点所在区间的方法 解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断. 利用零点存在性定理进行判断. 数形结合画出函数图像，通过观察图像与x轴在给定区间内是否有交点来判断. [跟踪训练] (1)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．(0,1) C．(2,3)
210
－1
x－2
B．(1,2) D．(3,4)
(2)函数f(x)＝x－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．
(1)B (2)存在 [(1)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－
x＋2图像交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：
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可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
(2)法一：∵f(1)＝1－3×1－18＝－20＜0，
2
f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，
∴f(1)·f(8)＜0，
又f(x)＝x－3x－18，x∈[1,8]的图像是连续的， 故f(x)＝x－3x－18在x∈[1,8]上存在零点． 法二：令f(x)＝0，得x－3x－18＝0， ∴(x－6)(x＋3)＝0.
∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．]
2
2
22
判断函数零点的个数 (1)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( ) A．0 C．2
B．1 D．3
2
ln x－x＋2x，x＞0，
(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f(x)＝
4x＋1，x≤0
的零点个数是
________.
【导学号：79140061】
(1)C (2)3 [(1)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x＞0)，y＝ln x(x＞0)的图像，如图所示：
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
(2)当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x－2x的图像，
2
由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点； 1
当x≤0时，由f(x)＝0得x＝－，
4综上，f(x)有3个零点．]
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[规律方法] 判断函数零点个数的三种方法 解方程法：所对应方程fx＝0有几个不同的实数解就有几个零点. 零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断. 数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数. 2x[跟踪训练] (1)函数f(x)＝0.9－x的零点个数是( )
21
A．0个 C．2个
xB．1个 D．3个
(2)函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
2x(1)B (2)B [(1)因为f(x)＝0.9－x，则函数f(x)为减函数，值域为R，所以函数
21
f(x)的图像必与x轴有一个交点，即方程0.9x－x＝0有一解．
221
(2)令f(x)＝2|log0.5x|－1＝0，
x1可得|log0.5x|＝. 2
1设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可2
以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．]
xx 函数零点的应用
(1)设函数f(x)＝e＋x－2，g(x)＝ln x＋x－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( ) A．g(a)＜0＜f(b) C．0＜g(a)＜f(b)
B．f(b)＜0＜g(a) D．f(b)＜g(a)＜0
x2
|x|，x≤m，
(2)(2016·山东高考)已知函数f(x)＝2
x－2mx＋4m，x>m，
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其中m>0.若存在实
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数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________． (1)A (2)(3，＋∞) [(1)∵f(x)＝e＋x－2， ∴f′(x)＝e＋1＞0， 则f(x)在R上为增函数，
又f(0)＝e－2＜0，f(1)＝e－1＞0， 且f(a)＝0，∴0＜a＜1. ∵g(x)＝ln x＋x－3， 1
∴g′(x)＝＋2x.
20
xxx当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0，g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0，∴1＜b＜2，∴a＜b，
f(b)＞f(a)＝0，∴
g(a)＜g(b)＝0.
故选A．
(2)作出f(x)的图像如图所示．
当x>m时，x－2mx＋4m＝(x－m)＋4m－m，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m0.又m>0，解得m>3.][规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围. 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解. [跟踪训练] (1)已知函数f(x)＝e＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝ln x－1的零点依次为a，x2
2
2
2
2
b，c，则( )
A．a＜b＜c C．c＜a＜b
B．c＜b＜a D．b＜a＜c
2x(2)函数f(x)＝2－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
x【导学号：79140062】
A．(1,3) C．(0,3)
B．(1,2) D．(0,2)
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(1)A (2)C [(1)∵e＝－a，∴a＜0，∵ln b＝－b，且b＞0，∴0＜b＜1，∵ln c＝1，∴c＝e＞1，故选A．
22xx(2)∵函数f(x)＝2－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2－－a的一个
axx零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.]
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