一元二次方程复习总结+培优

一元二次方程复习+培优

一．概念

定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的

形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）

例: 若（m+1）xm(m2)1+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．

练习：

1、在4(x1)(x2)5,x2y21,5x2100,2x28x0，

x23x40,

12222x23,a2，3x12x3x，(x3)(2x1)2x中，是x一元二次方程有_________个 。

2

2、要使方程（a-3）x+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________. A．a≠0 B．a≠3

C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0

22

3、关于的x的一元二次方程方程(a-1)x+x+a-1=0的一个根是0, 则a的值是___________. 4、一元二次方程(x1)(x2)2(x21)的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。

二．一元二次方程的解法

一元二次方程的解法有：_____________________________________________________.

例：用适当的方法解下列方程

（1）x2x20 （2）3(x5)22(5x)

（3 ）(x2)(x1)10 （4）(x2)2(6x)2

2（5）(2x3)23(2x3)40 （6）x2(2a1)xa2a0

（7）3x22(a2b)xb2a20

练习：

1..方程x9x180的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 。

2.方程x2x30的解是_______________________

3（2015绵阳）关于m的一元二次方程7nm2n2m20的一个根为2，则

22n2n2= ．

24..一元二次方程axbxc0的一个根是1，且a,b满足等式ba22a1，求

此一元二次方程。

三．根的判别式

1．一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式: b4ac

⑴ 当0时,方程有两个不相等的实数根； (2) 当0时,方程有两个相等的实数根； ⑶ 当0时,方程没有实数根。 以上三点反之亦成立。

2．一元二次方程有实数根0

注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；

(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明b4ac恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方

式+正数”的形式。

221例：已知关于x的方程x2(2k1)x4(k)0。

2（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；

（2）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，

求△ABC的周长。

练习：

1.若关于y的一元二次方程ky-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( ) A.k>-2

7777 B.k≥- 且k≠0 C.k≥- D.k> 且k≠0 44442

2.若一元二次方程 2x（kx－4）－x＋6 ＝ 0 无实数根，则k的最小整数值是（ ） A.－1 B.2 C.3 D.4

3.当k 时，x22(k1)xk25是完全平方式. 4.下面对于二次三项式-x+4x-5的值的判断正确的是（ ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0

5.（2009,潍坊）关于x的方程(a6)x28x60有实数根，则整数a的最大值是( ） A.6 B.7 C.8 D.9 6.（2011 ,佳木斯）若关于x的一元二次方程nx2x10无实数根，则一次函数

y(n1)xn的图像不经过（ ）象限。

A.一 B.二 C.三 D.四

7.（2012, 荆门）关于x的方程ax2(a2)x20只有一解（相同的解算一解），则 a的值为（ ）

A.a =0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2

8.（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数y(5m2)x和关于x的一元二次方程(m1)x2mx10中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是________． 9（2016江苏省扬州市）已知M=系为（ ）

A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定 10．（2016河北省）a，b，c为常数，且(ac)2a2c2，则关于x的方程axbxc0根的情况是（ ）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0

222

27，则M、N的大小关a1，N=a2a（a为任意实数）

99四．一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：

bc2xxx•xx、x222是一元二次方程ax＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则1设1，1

aa2．设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，

bxx012a则：(1)x10,x20时，有

cx•x012abxx012a (2)x10,x20时，有x•xc012acx•x0 (3)x,x20时，有1210a23.以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x(x1x2)xx1x20

例.1.设x1，x2是方程x2-3x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

x2x13443(2)(1) x1x2+x1x2； x1x2

2.(2013·湖北荆门)设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根，则x13＋2014x2

－2013＝ ．

练习：

1. 已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1·x2= ；

11 ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；｜x1－x2｜= 。 x1x22. 关于x的方程2x+(m–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.

3.方程2x23xm0的一个根为另一个根的2倍，则m= .

2

2

4（2016四川省达州市）设m，n分别为一元二次方程x2x20180的两个实数根，则

2m23mn= ．

5（2016江苏省南通市）设一元二次方程x3x10的两根分别是x1，x2，则

2x1x2(x223x2)= ．

6（2016湖北省黄石市）关于x的一元二次方程x2x2m10的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 ．

7.一元二次方程x5xc0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c= ．（只需填一个） ．

8.（2015日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足mm3，nn3，那么代数式2nmn2m2015= ． 9.（2015十堰）已知关于x的一元二次方程x2（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x1

10、（2009 淄博）已知设x1,x2是关于x的方程x2xa0的两个实数根，且

3x12x232 ，（1）求x1，x2及a的值；（2）求x13x122x1x2的值。

222x2222222m3xm220．

31x1x2，求实数m的值．

11.（2009 茂名）设x1,x2是关于x的方程x4xk10的两个实数根，那么是否存在实数k，使得x1•x2x1x2成立？请说明理由。

2

12.（2015鄂州）关于x的一元二次方程x2(2k1)xk210有两个不等实根x1，x2． （1）求实数k的取值范围．

（2）若方程两实根x1，x2满足x1x2x1x2，求k的值．

历年中考演练

1.（2018成都）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a-1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围。

2.（2017成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a= ．

3. （2016成都）已知关于x的方程3x2+2x﹣m=0没有实数解，求实数m的取值范围

4.（2015）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞﹣1

B．k≥﹣1

C．k≠0

D．k＜1且k≠0

5（2015成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 （写出所有正确说法的序号） ①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．

②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；

③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；

④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．

6（2014成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．

（1）若花园的面积为192m2，求x的值；

（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．

7.（2013成都）一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根

8.（2012成都）有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两

个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，O）的概率是 ．

9（2011成都）已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2﹣4mk的判断正确的是（ ） A．n2﹣4mk＜0

10.（2010成都）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为 ．

11.（2010成都）若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．

12.（2009成都）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞﹣1

B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1

D．k＜1且k≠0

B．n2﹣4mk=0

C．n2﹣4mk＞0

D．n2﹣4mk≥0

13.（2008成都）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，则实数k的值是 ．

14．（2007成都）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A．x2+4=0

B．x2﹣4x+6=0

C．x2+x+3=0

D．x2+2x﹣1=0

15（2007成都）已知x是一元二次方程x2+3x﹣1=0的实数根，那么代数式

的值为 ．

16（2004成都）0已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3=0…①的两个不相等实数根中有一个根为0．是否存在实数k，使关于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0…②的两个实数根x1，x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

17．（2016湖北省荆州市）已知在关于x的分式方程

k12①和一元二次方程x1(2k)x23mx(3k)n0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．

（1）求k的取值范围；

（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1(x1k)x2(x2k)(x1k)(x2k)，且k为负整数时，试判断m2是否成立？请说明理由．

18.（2016湖北省鄂州市）关于x的方程(k1)x22kx20． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．

（2）设x1，x2是方程(k1)x22kx20的两个根，记S=吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．

x2x1x1x2，S的值能为2x1x2