判断函数零点个数

2－|x|，x≤2，

(1)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，2

x－2，x＞2，

则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( A )

A．2 C．4

B．3 D．5

|x－2|＋1，x≥0，

解析：由已知条件可得g(x)＝3－f(2－x)＝函2

3－x，x＜0.

数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示．

由图可知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2，故选A.

πx

(2)函数f(x)＝4cos22·cos2－x－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为





2__.

解析：f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，x＞－1，

函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin2x(x＞－1)与y2＝|ln(x＋1)|(x＞－1)的图象的交点个数．

分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．

第 1 页 共 4 页

【条件探究】 将典例(1)中条件变为“函数f(x)＝

x＋1，x≤0，”，判断函数y＝f(f(x))＋1的零点个数． log2x，x＞0

解：由f(f(x))＋1＝0，得f(f(x))＝－1，

11

由f(－2)＝f2＝－1，得f(x)＝－2或f(x)＝2. 

1

若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝4； 11

若f(x)＝2，则x＝－2或x＝2.

综上可得函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是4.

判断函数零点个数的方法

第 2 页 共 4 页

(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( D )

A．{1,3} C．{2－7，1,3} 令x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x. 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)．

第 3 页 共 4 页

B．{－3，－1,1,3} D．{－2－7，1,3}

解析：求出当x＜0时f(x)的解析式，分类讨论解方程即可．

所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x. 所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.

令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3. 当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3. 令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，

解得x＝－2＋7＞0(舍去)或x＝－2－7.

所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}． (2)(2019·广元三诊)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝sinπx＋2|sinπx|，则方程f(x)－|lgx|＝0在区间[0,10]上根的个数是( C )

A．17 C．19

B．18 D．20

3sinπx，0≤x≤1，

解析：f(x)＝sinπx＋2|sinπx|＝

－sinπx，1＜x≤2，

由f(x＋4)＝f(x)可知，f(x)是以4为周期的周期函数． 方程f(x)－|lgx|＝0，即f(x)＝|lgx|，

方程的根即为函数y＝f(x)与y＝|lgx|图象交点的横坐标，作出两函数图象如图所示．

由图象可知，方程f(x)－|lgx|＝0在区间[0,10]上根的个数是19.

第 4 页 共 4 页