学数学·计数问题
几何图形计数问题
例一、
数一数，下图中包含几条线段。
解析：
数线段是几何图形计数问题的重点和基础。点和线段是基本的几何图形元素，一般可采取按照线段端点顺序分类加法计数。 ．．．．．．
1编序号 ○．．
如图，我们先把题图线段上各点按顺序编序号，然后从“0”号端点开始计数。
以“0”号端点为左端点的一类线段有4−0=4条； 以“1”号端点为左端点的一类线段有4−1=3条； 以“2”号端点为左端点的一类线段有4−2=2条； 以“3”号端点为左端点的一类线段有4−3=1条；
将各类线段的数目相加，便可得到题图中所包含的线段总数：
4+3+2+1=10
我们发现：
把题图左端点编为“0”，向右依次编号，一直到“4”，而题图中所包含的线段总数恰为4~1连续自然数的和：4+3+2+1=10；
若某一线段上共有包含两端点在内的10个点，按照上述方法可编号为0~9；那么，这条线段所包含的线段总数应为：
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
2数基本线段 ○．．．．
题图中，相邻两点间的线段，比如𝐴𝐴𝐴𝐴、𝐴𝐴𝐵𝐵 等，这类线段内不包含其它已知点，姑且称之为基本线段。
题图中有4条基本线段:𝐴𝐴𝐴𝐴、𝐴𝐴𝐵𝐵、𝐵𝐵𝐶𝐶、𝐶𝐶𝐷𝐷；
相邻两条基本线段相加: 𝐴𝐴𝐴𝐴+𝐴𝐴𝐵𝐵、𝐴𝐴𝐵𝐵+𝐵𝐵𝐶𝐶、𝐵𝐵𝐶𝐶+𝐶𝐶𝐷𝐷，则组成3条线段； 则组成2条线段； 相邻三条基本线段相加: 𝐴𝐴𝐴𝐴+𝐴𝐴𝐵𝐵+𝐵𝐵𝐶𝐶、𝐴𝐴𝐵𝐵+𝐵𝐵𝐶𝐶+𝐶𝐶𝐷𝐷，相邻四条基本线段相加: 𝐴𝐴𝐴𝐴+𝐴𝐴𝐵𝐵+𝐵𝐵𝐶𝐶+𝐶𝐶𝐷𝐷，则组成1条线段； 将各类线段数目相加，便可得到题图中所包含的线段总数：
4+3+2+1=10
答：图有10条线段
1
学数学·计数问题
例二、如图，数一数，图中包含几个角。
解析：
角的计数，可与线段计数采用相同的方法，即采用分类加法计数。 1标注序号 ○．．
把题图中已知射线依序编号为0、1、2、3，如图所示。 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，叫做角。比如，射线OA绕公共端点O,沿顺时针方向旋转到射线OB的位置，便形成∠AOB .据此，则有：
以0号射线为始边，沿顺时针方向分别旋转到射线1、2、3的位置所形成的角有3个；
以1号射线为始边，沿顺时针方向分别旋转到射线2、3的位置所形成的角有2个；
以2号射线为始边，沿顺时针方向旋转到射线3的位置所形成的角有1个； 把这三类角的数目相加，便得到题图所包含的角的总数:
3+2+1=6
2数基本角 ○．．．
具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
在题图已知的四条具有公共端点的射线中，任取两条相邻的射线都可以组成．．一个角，比如，射线OA与OB相邻，可构成∠AOB；不妨称这类角为“基本角”。 先数一数题图中有几个基本角，再按照不同的组合方式，用基本角来组成其他不同种类的角，最后各类数目相加。
题图中的基本角：∠AOB、∠BOC、∠COD，共有3个；
由两个相邻基本角所组成的角：∠AOB+∠BOC、∠BOC+∠COD，共有2个； 由三个相邻基本角所组成的角：∠AOB+∠BOC+∠COD，共有1个； 则题图所包含的角的总数为:
3+2+1=6.
答：题图中包含6个角。
我们发现：
题图所包含的角的总数等于由表示基本角数的数字开始到1的连续自然数之和：
数数右图共包含多少角？
解：右图共有6个基本角，所包含角的总数是
6+5+4+3+3+1=21
2
学数学·计数问题
例三、
如图，共有多少角？
解析：
本题与例二不同，要求数数一个周角内包含多少角。解题方法可参考例二，采用分类相加计数。
题图共有4个基本角：∠1、∠2、∠3、∠4； 相邻两个基本角相加，可组成4个角： ∠1+∠2、∠2+∠3、∠3+∠4、∠4+1； 相邻三个基本角相加，可组成4个角：
相邻四个基本角相加，可组成1个角：∠1+∠2+∠3+∠4； 这4类角的个数之和为：4×3+1=13 答：图有13个角。
例四、
如图，数数图有几个三角形。
∠1+∠2+∠3、∠2+∠3+∠4、∠3+∠4+∠1、∠4+∠1+∠2；
解析：
1参照数线段的方法，按照三角形边的顺序来分类加法计数。 ○
先把具有共有端点A的线段顺序标注序号，如图所示。 以0号边为左侧边的三角形有4个； 以1号边为左侧边的三角形有3个； 以2号边为左侧边的三角形有2个； 以3号边为左侧边的三角形有1个； 共有三角形10个：4+3+2+1=10
3
学数学·计数问题
2数基本三角形 ○．．．．．
题图特征：
a所有三角形都具有公共顶点A; ○
b线段BF上有4条基本线段。 ○
由A点分别连接一个基本线段的两端点，便可组成一个三角形，比如，∆ABC、∆ACD等，不妨称这类以A为公共顶点的三角形为基本三角形。
显然，题图中的基本三角形与线段BF上的基本线段的数目相同。
将相邻基本三角形两两、三三、四四组合，则可得到不同类型的三角形。 而各类三角形的总数则为由表示基本三角形数（即基本线段数）的数字开始一直到1的连续自然数之和:
4+3+2+1=10
例五、
如图，数数图中包含多少三角形。
解：先不考虑GH线段，BF上共有4条基本线段，故题图共有10个三角形；
GH上的基本线段数与BF相同，也是构成以A为公共顶点的三角形，所以又增加10个三角形；
故图中包含的三角形总数为：
2×10=20
答：图中包含20个三角形。
例六、
如图，猜猜图有几个三角形。
解析：本题特征是没有图中所有三角形都具有的公共顶点。
线段BC上有两条基本线段，分别与连接A点、D点的线段围成2个三角形:
∆ABC、∆DGC
4
学数学·计数问题
线段AB上有两条基本线段，分别与连接C点、F点的线段围成2个三角形：
∆ABC、∆AEF
例七、
如图，数一数图中长方形的数目。
还有以D、H、F为顶点的∆DHF； 所以，图有三角形数为：
2+2−1+1=4
解析：仿照数线段的方法。
大长方形的长边上有4条基本线段，可以组成10条线段，而每条线段对应一个长方形，所以共有10个长方形；
或者说，每条基本线段都对应一个小长方形，姑且称为基本长方形，即把大长方形分割为四个基本长方形，可以组成10个长方形；
再简单一些，直接用由数字4开始直到1的连续自然数的求和计算：
4+3+2+1=10
例八、
如图，数一数图中长方形的数目。
解析：分步相乘计数。 ．．．．．．
第一步，先看大长方形长边上的分割：
依据例五中的题解，大长方形长边上的4条基本线段，把其分割为4个基本长方形，可组成总数为4+3+2+1=10 的小长方形；
第二步，再看大长方形短边上的分割：
与例五中的题解同理，大长方形短边上的2条基本线段，把其分割为2个基本长方形，可组成总数为2+1=3 的小长方形；
所以，题图中长方形的总数目为：
(4+3+2+1)×(2+1)=10×3=30
5
学数学·计数问题
例九、
如图，图中有多少平行四边形。
解:(3+2+1)×(3+2+1)=6×6=36
答：图有36个平行四边形。 例十、
如图，长方形内包含多少正方形。
解析：查找正方形。
设小正方形的边长为1个基本单位，则题图长方形的长为6个基本单位，宽为5个基本单位。
1边长为1基本单位的正方形个数为 6×5=30; ○
2边长为2基本单位的正方形个数为 5×4=20; ○
3边长为3基本单位的正方形个数为4×3=12； ○
4边长为4基本单位的正方形个数为3×2=6； ○
5边长为5基本单位的正方形个数为2×1=2； ○
6所有正方形个数： ○
6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=70
例十一、
一副三角板如图放置，数数图中所包含的锐角、直角和钝角各有几个。
解析：
一副三角板（一个是含有300角的直角三角形，另一个是含有450角的直角三角形），可以拼出许多不同的图形，是常用的几何作图技巧，也是常见的几何图形试题的命题模型。
本题这副三角板的放置特征:
000
1含30角的三角板的30角顶点与含45角的三角板的直角顶点重合； ○
00
2含30角的三角板的斜边与含45角的三角板的直角边重合。 ○
图中包含锐角4个，直角2个，钝角2个。
6
学数学·计数问题
例十二、
如图，在长方形内，锐角、直角及钝角各有几个。
解析：
通过估测对几何图形中的角进行分类查找，对存疑的角也可借助三角板等．．．．工具进行辅助判断。 锐角：8个； 直角：8个； 钝角：1个。
例十三、
如图，数数图中的三角形、正方形、长方形、平行四边形及梯形，各有几个。
解析：解答这类综合性的几何图形计数问题，常常采取分类相加计数方法。
1包含4个直角三角形在内，总计8个三角形； ○
2共有2个正方形； ○
3包含2个正方形在内，共有3个长方形； ○
4包含2个正方形，1个长方形在内，共有5个平行四边形； ○
5包含各类梯形在内，总计9个梯形，如图所示。 ○
答：8个三角形，2个正方形，3个长方形，5个平行四边形，9个梯形。
例十四、
如图，数数图中三角形的个数。
解析：以三角形的边长为标准，分类相加计数。
1边长为1个基本单位长度的三角形共有16个； ○
2边长为2个基本单位长度的三角形共有7个； ○
7
学数学·计数问题
3边长为3个基本单位长度的三角形共有3个； ○
4边长为4个基本单位长度的三角形共有1个； ○
16+7+3+1=27
所以，总计共有27个三角形，如图所示。
例十五、
如图，数数图中三角形的个数。
解析：按照三角形不同的底边或公共顶点来分类相加计数。
1BA边共有3条基本线段，可以组成6个以C点为公共顶点的三角形； ○
2BD边共有3条基本线段，可以组成6个以C点为公共顶点的三角形； ○
3分别以BA、BG、BF为底边，对应以D、E、F为顶点，可组成3个三角○形；
6×2+3=15
所以，共有15个三角形。
8
